考研数学二分类模拟题188

考研数学二分类模拟题188解答题1.

设向量组

证明：向量组α1，α2，…，αs线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组

有非零解(唯一零解)．正确答案：证：α1，α2，…，αs(线性无关)线性相关

(不)存在不全为0的x1，x2，…，xs，使得x1α1+x2α2+…+xsαs=0成立

(不)存在不全为0的x1，x2，…，xs，使得成立

齐次线性方程组

有非零解(唯一零解)．

2.

已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表出式的系数全不为零，证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．正确答案：证：用反证法．设α1，α2，…，αs，β中存在s个向量α1，α2，…，αi-1，αi+1，…，αs，β线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，ks，k使得

k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+ksαs+kβ=0．①

另一方面，由题设

β=l1α1+l2α2+…+liαi+…+lsαs，

其中li≠0，i=1，2，…，s．代入①式，得

(k1+kl1)α1+(k2+kl2)α2+…+(ki-1+kli-1)αi-1+kliαi+(ki+1+kli+1)αi+1+…+(ks+kls)αs=0，因已知α1，α2，…，αs线性无关，从而有kli=0，li≠0，故k=0，从而由①式得k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，ks均为0，矛盾．

故α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．

3.

已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，证明：A不可逆．正确答案：证：因Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使得

k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=0，

即

A(k1α1+k2α2+…+ksαs)=Aξ=0，其中ξ=k1α1+k2α2+…+ksαs，因已知α1，α2，…，αs线性无关，对任意不全为零的数岛，k1，k2，…，ks，有

ξ=k1α1+k2α2+…-+ksαs≠0，

而

Aξ=0．

说明线性方程组AX=0有非零解，从而|A|=0，即A是不可逆矩阵．

设n阶矩阵A的秩为1，试证：4.

A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积；正确答案：证：将A以列分块，则r(A)=r([α1，α2，…，αn])=1表明列向量组α1，α2，…，αn的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为αi=[a1，a2，…，an]T(αi≠0)，其余列向量均可由αi线性表出，设为αj=bjαi(j=1，2，…，n，j=i时，取bi=1)，则

5.

存在常数μ，使得Ak=μk-1A．正确答案：证：记α=αi=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T，则

A=αβT，Ak=(αβT)k=(αβT)(αβT)…(αβT)=α(βT)(βTα)...(βTα)βT．

记βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=μ，则

Ak=αμk-1βT=μk-1A

6.

设A是n×n矩阵，对任何n维列向量X都有AX=0，证明：A=O．正确答案：证：方法一由于对任何X均有AX=0，取X=[1，0，…，0]T，由

得a11=a21=…=an1=0．

类似地，分别取X为e1=[1，0，…，0]T，e2=[0，1，0，…，0]T，…，en=[0，0，…，1]T代入方程，可证每个aij=0，故A=O．

方法二因对任何X均有AX=0，故有Aei=0，i=1，2，…，n，合并成分块阵，得

[Ae1，Ae2，…，Aen]=A[e1，e2，…，en]=AE=A=O．

方法三因对任何X均有AX=0，故方程基础解系向量个数为n，

又r(A)+n(基础解系向量个数)=n(未知量个数)，故有r(A)=0，即A=O．

7.

设线性方程组

λ为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解．正确答案：解：方程组是齐次线性方程组

因

当λ≠-2且λ≠2时，方程组有唯一零解；

当λ=2时，方程组有无穷多解，其解为

k1[1，-1，0，0]T+k2[1，0，-1，0]T+k3[1，0，0，-1]T，k1，k2，k3为任意常数；

当λ=-2时，方程组为

其通解为k[1，1，1，1，1]T为任意常数．

8.

已知由两个四元一次方程组成的齐次线性方程组的通解为

X=k1[1，0，2，3]T+k2[0，1，-1，1]T，求原方程组．正确答案：解：以原方程组的基础解系作新的方程组系数矩阵的行向量，求解新的方程组，则新方程组的基础解系即是原方程组系数矩阵的行向量的转置．

设

即

求得①的基础解系为η1=[-2，1，1，0]T，η2=[-3，-1，0，1]T．故原方程组为

9.

已知η1=[-3，2，0]T，η2=[-1，0，-2]T是线性方程组

的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数a，b，c．正确答案：解：对应齐次方程有解

ξ=η1-η2=[-2，2，2]T或化简为[-1，1，1]T，

故对应齐次方程至少有一个非零向量组成基础解系，故系数矩阵A的秩与增广矩阵[A|b]的秩应满足

又显然应有r(A)=r([A|b])≥2，从而r(A)=r([A|b])=2，故方程组有通解

k[-1，1，1]T+[3，2，0]T．

其中k为任意常数．

将η1，η2代入线性方程组第一个方程，得

3a+2b=2，-a-2c=2，

解得a=-2-2c，b=-2-3c，c为任意常数，可以验证：当a=-2-2e，b=-2-3c，c任意时

r(A)=r([A|b])=2．

已知线性方程组

的通解为[2，1，0，1]T+k[1，-1，2，0]T．记

αj=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．

问：10.

α4能否由α1，α2，α3，α5线性表出，说明理由；正确答案：解：α4能由α1，α2，α3，α5线性表出

由线性非齐次方程的通解[2，1，0，1]T+k[1，-1，2，0]T知

α5=(k+2)α1+(-k+1)α2+2kα3+α4，

故

α4=-(k+2)α1+(k-1)α2-2kα3+α5．

11.

α4能否由α1，α2，α3线性表出，说明理由正确答案：解：α4不能由α1，α2，α3线性表出．因对应齐次方程的基础解系只有一个非零向量，故r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4，α5)=4-1=3，且由对应齐次方程的通解知α1-α2+2α3=0，即α1，α2，α3线性相关，r(α1，α2，αs)＜3，若α4能由α1，α2，α3线性表出，则r(α4，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)＜3，这和r(α1，α2，α3，α4)=3矛盾，故α4不能由α1，α2，α3线性表出．

12.

已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．正确答案：解：方法一由α1=2α2-α3及α2，α3，α4线性无关知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，且对应齐次方程AX=0有通解k[1，2，1，0]T，又β=α1+α2+α3+α4，即

故非齐次方程有特解η=[1，1，1，1]T，故方程组的通解为k[1，-2，1，0]T+[1，1，1，1]T，k为任意常数．

方法二

故方程有两特解η1=[1，1，1，1]T，η2=[0，3，0，1]T，

又r(A)=3，故方程组的通解为

k(η1-η2)+η1=k[1，2，1，0]T+[1，1，1，1]T，k为任意常数．

方法三由AX=[α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4，得

x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4．

将α1=2α2-α3代入，整理得

(2x1+x2-3)α2+(x1+x3)α3+(x4-1)α4=0，α2，α3，α4线性无关，得

解方程组，得X=k[1，-2，1，0]T+[0，3，0，1]T，其中k是任意常数．

13.

设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，-1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求该非齐次方程的通解．正确答案：解：r(A)=1，AX=b的通解应为k1ξ1+k2ξ2+η，其中对应齐次方程AX=0的解为

ξ1=(η1+η2)-(η2+η3)=η1-η3=[-1，3，2]T，

ξ2=(η2+η3)-(η3+η1)=η2-η1=[2，3，1]T．

因ξ1，ξ2线性无关，故是AX=0的基础解系，

取AX=b的一个特解为

故AX=b的通解为

k1[-1，3，2]T+k2[2，-3，1]T+[0，1，0]T，k1，k2为任意常数．

14.

设三元线性方程组有通解

求原方程组．正确答案：解：设非齐次线性方程为

ax1+bx2+cx3=d，

由η1=[1，3，2]T，η2=[2，3，1]T是对应齐次方程的基础解系，代入对应齐次线性方程组

由上式解得a=-9k，b=-5k，c=3k，k是任意非零常数，又η=[1，-1，3]T是非齐次方程解，代入得

d=-b=5k，

故原方程是

9x1+5x2-3x3=-5．

假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：15.

为A-1的特征值；正确答案：证：设A对应于特征值λ的特征向量为x，则

16.

为A的伴随矩阵A*的特征值．正确答案：证：由第一小题设可知

17.

设有4阶方阵A满足条件|3E+A|=0，AAT=2E，|A|＜0，其中E是4阶单位矩阵求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值．正确答案：解：由|3E+A|=0，得λ=-3为A的特征值．由AAT=2E，|A|＜0，得|A|=-4，则A*的一个特征值为．

18.

已知B是n阶矩阵，满足B2=E(此时矩阵B称为对合矩阵)．求B的特征值的取值范围．正确答案：解：设B有特征值λ，对应的特征向量为ξ，即Bξ=λξ，两端左边乘B，得

B2ξ=Eξ=ξ=λBξ=λ2ξ，(λ2-1)ξ=0，ξ≠0，故λ=1或λ=-1，则B的特征值的取值范围是{1，-1}．

19.

设A，B是n阶方阵，证明：AB，BA有相同的特征值．正确答案：证：方法一利用特征值的定义，

设AB的任一特征值λ，其对应的特征向量为ξ，则

ABξ=λξ，①

①式两端左边乘B，得

BABξ=BA(Bξ)=λ(Bξ)，②

若Bξ≠0，②式说明，BA也有特征值λ(其对应的特征向量为Bξ)，若Bξ=0，由①式知，λξ=0，ξ≠0，得AB有特征值λ=0，从而|AB|=0，且|BA|=|B||A|=|A||B|=|AB|=0，从而BA也有λ=0的特征值，故AB和BA有相同的特征值．

方法二利用特征方程及分块矩阵的运算，

设AB有特征值λ，即有|λE-AB|=0，因

知AB和BA有相