考研数学二模拟395

考研数学二模拟395一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

设存在正整数N，使得n＞N时，有an≤A≤bn，且则______

A．但不一定存在．

B．都存在，但不一定相等．

C．都不一定存在．

D．正确答案：D[解析]因为存在N，当n＞N时，an≤A≤bn，所以0≤A-an≤bn-an．

对上述不等式令n→∞，由题设条件及夹逼准则，有

即得另外由bn=(bn-an)+an，又得到

注意：由an≤bn和推不出存在，例如：

2.

若f(x)在[a，b]上可导，且f'+(a)·f'-(b)＞0和f(a)=f(b)=0．今给出下列论断：

①f(x)在(a，b)内必有拐点．

②f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点．

③f(x)的最大值点和最小值点都在(a，b)内．

④f(x)在(a，b)内只可能有有限个极值点．

其中正确的论断有______A.一个．B.二个．C.三个．D.四个．正确答案：C[解析]对选项①：用反证法，如果f(x)在(a，b)内没有拐点，则f(x)在(a，b)内都是上凸的，或者都是下凸的．即f'(x)在(a，b)内是单调减的，或者f'(x)在(a，b)内是单调增的．因此f'(x)在(a，b)至多有一个零点．但由条件f'+(a)·f'-(b)＞0和f(a)=f(b)=0，可推出f(x)在(a，b)内至少还有一个零点，即f(x)在[a，b]内至少有三个零点，因此f'(x)在(a，b)内至少有两个零点，这与f'(x)在(a，b)内单调矛盾．因此①正确．

对选项②③：f(x)在[a，b]上连续f(x)在[a，b]上有最大、最小点；

f(a)=f(b)和f'(a)·f'(b)＞0最大最小点不在端点；

区间内的最大值、最小值点必是极大值、极小值点f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点，②③正确．

对选项④：不正确，可举反例：

满足条件：在[a，b]上可导，且f'+(a)·f'-(b)＞0和f(a)=f(b)=0．其导函数为

显然它在x=0点附近有无穷多个极值点．

3.

设Dt={(x，y)∈R2|x2+y2≤t2，t＞0}，f(x)为满足的连续函数，则F'(1)=______A.π．B.2π．C.-2π．D.-π．正确答案：B[解析]依题得

令u=t-ρ，得

因为f(u)是连续函数，所以F(t)可导，且

所以

4.

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]因为

又

则

5.

设则函数f(x)在点x=a处______A.取极大值．B.取极小值．C.可导．D.不可导．正确答案：D[解析]由极限的保号性可知，存在x=a点的某邻域U(a)，当x∈U(a)时，

即当x＜a时，f(x)＜f(a)；当x＞a时，f(x)＞f(a)，故点x=a不是极值点．

又所以f(x)在点x=a不可导．

6.

设f0(x)在(-∞，+∞)上可积，且满足则f4(x)在(-∞，+∞)上______A.连续，但不一定可导．B.可导，但不一定二阶可导．C.二阶可导，但不一定三阶可导．D.三阶可导，但不一定四阶可导．正确答案：D[解析]f0(x)在(-∞，+∞)上可积，则

连续，但不一定可导；

可导，但不一定二阶可导；

二阶可导，但不一定三阶可导；

三阶可导，但不一定四阶可导．

7.

n阶矩阵A经初等行变换得到矩阵B，下列命题正确的是______A.A与B有相同的特征值和特征向量．B.Ax=b是Bx=b的同解方程组．C.A的行向量组与B的行向量组是等价的．D.A的列向量组与B的列向量组是等价的．正确答案：C[解析]矩阵A经初等行变换得到矩阵B，故有可逆矩阵P，使PA=B，将A，B按行分块，有

故

βi=Pi1α1+Pi2α2+…+Pinαn(i=1，2，…，n)，

故β1，β2，…，βn可由α1，α2，…，αn线性表出．

又因为A=P-1B，从而

即α1，α2，…，αn可由β1，β2，…，βn线性表出．

所以A与B的行向量组是等价的．

由于|λE-B|=|λE-PA|≠|λE-A|，经初等变换，矩阵A，B的特征值是不同的，从而特征向量也不同．A不成立．

对于B，仅对系数矩阵而非增广矩阵作初等行变换，两个方程组不同解，B不成立．

初等行变换后，A，B的列向量组不等价，如

A，B的列向量组不等价，D不成立，故选C．

总结：PA=B(P可逆)，A与B的行向量组是等价的，

AP=C(P可逆)，A与C的列向量组是等价的．

8.

已知则______A.a=-10.B.a=10．C.a≠10.D.a≠-10.正确答案：A[解析]已知

则b=2是A的二重特征值，应对应两个线性无关特征向量，故r(2E-A)=1，

所以a=-10．

二、填空题1.

微分方程y'''-4y"+4y'=1的一般解为______．正确答案：(C1，C2，C3为任意常数)[解析]y'''-4y"+4y'=0的特征方程为λ3-4λ2+4λ=0，特征根是λ1=0，λ2=λ3=2．因而齐次微分方程一般解为

观察得到非齐次微分方程的一个特解为

因此非齐次微分方程的一般解为(C1，C2，C3为任意常数)．

2.

定积分正确答案：[解析]思路一：

又

则

思路二：

令φ=arcsinx，则x=sinφ，dx=cosφdφ，故

3.

若f(x)在(-1，1)内可微，且f'(0)=0，f"(0)=A，则正确答案：[解析]

其中ξ在x与ln(1+x)之间，即

由夹逼准则得到再由极限运算准则得

4.

设z=xf(y)-yg(xy)，其中函数f，g具有二阶连续导数．若f'(0)=1，g'(0)=g"(0)=A．则正确答案：1[解析]由已知得

所以

5.

设则正确答案：[解析]令x-2=t，则dx=dt，故

6.

设A是n(n＞2)阶非零实矩阵，满足aij=Aij(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n)，若a11=a12=a13=…=a1n，则a11=______．正确答案：[解析]因为aij=Aij，故A*=[Aji]=[Aij]T=[aij]T=AT，则

AA*=AAT=|A|E|A|2=|A|nA2(|A|n-2-1)=0．

所以|A|=0或者|A|n-2=1．因为A为非零矩阵，所以A中至少有一元素aij不等于0，则

因此得|A|n-2=1|A|=1(n＞2)，则

得

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

求极限正确答案：利用等价无穷小：1-ex2～-x2，sinx2～x2．

2.

设F(x)是f(x)的一个原函数，且F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，求的值．正确答案：由已知得F'(x)=f(x)，又由F(x)f(x)=cos2x，得

从而有F2(x)=sin2x+C．

又由F(0)=1，得C=1，所以

F2(x)=sin2x+1，

则

因此

3.

求常微分方程初始值问题的解．正确答案：思路一：将y看成自变量，x看成是y的函数，则原方程是关于未知函数x=x(y)的一阶线性微分方程此方程的通解为

由初始条件得C=e，所求特解为x=ey-yey．

思路二：

若f(x)=3x2+64x-3．4.

在(0，+∞)内作y=f(x)的图形；正确答案：考察(0，+∞)内的函数特性．

因为f'(x)=6x-192x-4=6x(1-32x-5)，

由f'(x)=6x-192x-4=0，得唯一驻点x1=2．

又f"(x)=6+768x-5＞0，曲线为下凸，

x1=2为极小值点，极小值为f(2)=20．

因为所以f(x)在(0，+∞)内有垂直渐近线x=0．

因为所以f(x)在(0，+∞)内没有斜渐近线．

由以上分析，得下图．

5.

证明：3x5-20x3+64≥0．正确答案：由于f(x)=3x2+64x-3在(0，+∞)上连续且有唯一极值点x=2，且所以x=2也是f(x)=3x2+64x-3在(0，+∞)内的最小值点，最小值为f(2)=20．

所以，f(x)=3x2+64x-3≥20，即3x5-20x3+64≥0

6.

已知平面图形D由y轴、曲线y=ex(x≥0)和该曲线过原点的切线围成，求D的面积和D绕y轴旋转所得旋转体的体积．正确答案：曲线y=ex(x≥0)在(x0，ex0)处的切线方程为y=ex0+ex0(x-x0)，令x=0，y=0，得x0=1，故曲线y=ex(x≥0)过原点的切线方程为y=e+e(x-1)(如下图)，所以D的面积为

D绕y轴旋转所得旋转体的体积为

7.

设f(x)在[a，b]上连续非负，且单调增加，为区域D={(x，y)∈R2|a≤x≤b，0≤y≤f(x)}的重心，证明正确答案：本题要证即要证

思路一：将b视为变量，引入变上限的积分F(x)，证明函数不等式F(x)≥0．

令则F(a)=0．

又

其中ξ∈(a，x)，又f(x)单调增加，因而F(x)＞0，令x=b，则不等式(1)成立．

思路二：利用积分的不等性质和对区间的可加性，按被积函数同号划分区间

其中用到：

思路三：利用广义积分中值定理

因为，其中则有ξ2＞ξ1，由f(x)单调增加，则有

f(ξ2)≥f(ξ1)．

8.

若当x→0时，nlnf(x)与lncosx是等价无穷小，求参数n的值；正确答案：当x→0时，

由即当x→0时，lnf3(x)～lncosx．

9.

证明不等式：f3(x)≥cosx，正确答案：证明不等式：由于f(x)，cosx都是偶函数，及f3(0)=cos0=1，所以只需考虑x∈(0，π]．

引入函数得

再引入函数

h(0)=0．

h'(0)=0，

h"(x)=12x2-6xsin2x=6x(2x-sin2x)≥0．

由此得，当x∈(0，π]，

即有f3(x)≥cosx，

10.

(Ⅰ)求满足AX-XA=0的所有X；

(Ⅱ)AX-XA=E，E是二阶单位矩阵，是否有解．若无解，说明理由；若有解，求满足方程的所有的X．正确答案：(Ⅰ)设则

得齐次方程组

由

得其基础解系α1=[2，2，1，0]T，α2=[1，0，0，1]T，其通解为[x1，x2，x3，x4]T=c1α1+c2α2，即

x1=2c1+c2，x2=2c1，x3=c1，x4=c2(c1，c2为任意常数)．

所求的所有矩阵为其中c1，c2为任意常数．

故AX-XA=E无解．

11.

若n阶矩阵A满足AAT=E，其中E是n阶单位矩阵，则称A为正交矩阵．证明：

(Ⅰ)若A，B是n阶正交矩阵，则ATB也是n阶正交矩阵；

(Ⅱ)若λ是正交矩阵A的实特征值，则λ只可能是1或-1；

(Ⅲ)若|A||B|＜0，则|A+B|=|A|+|B|．正确答案：[证明]A，B为正交矩阵，则AAT=E，|A|=|AT||A|2=1|A|=±1；同理有|B|=±1．因此|A|+|B|=0或±2．

(Ⅰ)A为正交矩阵，则有AAT=E，即A-1=AT，从而有

A-1(A-1)T=AT(A-1)T=(A-1A)T=E，

由此证得A-1，AT为正交矩阵．

A，B为正交矩阵，则

(AB)(AB)T=ABBTAT=A(BBT)AT=AAT=E，

所以AB也为正交矩阵．

综上可知ATB也为正交矩阵．

(Ⅱ)若A为正交矩阵，λ是A的实特征值，设p≠0为相应λ的特征向量，则

Ap=λppTAT=λpT

pTAT(Ap)=λpT(λp)

pT(ATA)p=λ2(pTp)

pTp=λ2(pTp)．

由pTp≠0λ2=1．由于λ是实数，因此