考研数学二分类模拟257

考研数学二分类模拟257解答题1.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内有二阶导数，试证：存在c∈(a，b)使．正确答案：证明：

作辅助函数

其中．[考点]一元函数微积分

2.

．正确答案：解：设cos2x=t，则，故得

[考点]一元函数微积分

3.

判断反常积分的敛散性．正确答案：解：由对数不等式，有

而收敛，再由比较判别法可得收敛．[考点]不定积分、定积分、反常积分

4.

函数f(x)在闭区间[0，1]上单调不增，证明：对于任何α∈(0，1)，有

正确答案：证明：即证

亦

或

由积分中值定理，分别存在ξ∈[0，α]，η∈[α，1]，使得，，但f(x)单调不增，故

[考点]一元函数微积分

设y=arcsinx．5.

证明：它满足方程

(1-x2)y(n+2)-(2n+1)xy(n+1)-n2y(n)=0正确答案：解：(1)由，得．两边关于x求导，得

化简得

(1-x2)y"-xy'=0

上式两边求n次导，由莱布尼兹求导法则，得

整理得

(1-x2)y(n+2)-(2n+1)xy(n+1)-n2y(n)=0①[考点]极限、连续及其应用

6.

求y(n)|x=0．正确答案：在式①中，令x=0，则得递推公式

y(n+2)|x=0=n2y(n)|x=0

由此得

而y'(0)=1，y"(0)=0，因此y(2m)|x=0=0，y(2m+1)|x=0=[(2m-1)!!]2．[考点]极限、连续及其应用

7.

指出下列实二次型中，哪些是等价的?说明理由

正确答案：解：令

则

令

则

令

则

综上所述，f1(x1，x2，x3)与f3(z1，z2，z3)的秩都等于3，且正惯性指数都等于2，因此它们等价．由于f2(y1，y2，y3)的正惯性指数为1，因此f2(y1，y2，y3)与f1(x1，x2，x3)不等价，与f3(z1，z2，z3)也不等价．[考点]二次型

8.

证明

r(A+B)≤r(A)+r(B)正确答案：证明：设A，B的列向量组分别为α1，α2，…，αn；β1，β2，…，βn，则A+B的列向量组为α1+β1，α2+β2，…，αn+βn，设αi1，αi2，…，αir是向量组α1，α2，…，αn的一个极大线性无关组；βj1，βj2，…，βjt是向量组β1，β2，…，βn的一个极大线性无关组，则α1+β1，α2+β2，…，αn+βn可以由向量组αi1，αi2，…，αir，βj1，βj2，…，βjt线性表出．因此

r{α1+β1，α2+β2，…，αn+βn}≤r{αi1，αi2，…，αir，βj1，βj2，…，βjt}≤r+t

于是

r(A+B)≤r(A)+r(B)[考点]矩阵、向量、方程组

9.

已知f(x)=(x-a)2φ(x)，其中φ'(x)在点x=a的某邻域内连续，求f"(a)．正确答案：解：因为f(x)=(x-a)2φ(x)，则

f'(x)=2(x-a)φ(x)+(x-a)2φ'(x)

所以

由于φ'(x)在点x=a的某邻域内连续，因此φ'(x)在该邻域内有界，从而

所以f"(a)=2φ(a)．[考点]一元函数微积分

10.

计算下述行列式，并且将结果因式分解

正确答案：解：

[考点]行列式

11.

讨论方程组解的情况．正确答案：解：

(1)当a≠0，a≠b时，方程组有唯一解为；

(2)当a=0时，，因为，所以方程组无解；

(3)当a=b≠0时

方程组有无穷多个解，通解为．[考点]线性方程组

12.

设n阶实对称矩阵A的全部特征值按大小顺序排成：λ1≥λ2≥…≥λn．证明：对于任一非零列向量α，都有

正确答案：证明：因为A是n阶实对称矩阵，所以有n阶正交矩阵T，使得

T-1AT=diag{λ1，λ2，…，λn}

任取一个非零列向量α，设(TTα)T=(b1，b2，…，bn)，则

同理

因此

[考点]特征值、特征向量及二次型

13.

证明：数列{xn}收敛，其中x1=1，，n=1，2，…，并求极限．正确答案：证明：利用基本不等式

则{xn}有下界，又

所以{xn)单调递减，从而存在，设．对两边取极限，得，解得，即．[考点]函数、极限

14.

证明两个可交换的正定矩阵的乘积仍是正定矩阵；正确答案：证明：设A，B均为n阶正定矩阵，且AB=BA，证AB是正定矩阵．

因

AT=A，BT=B，AB=BA

故

(AB)T=BTAT=BA=AB

故AB是实对称矩阵．

设λ是AB的任一个特征值，对应的特征向量为ξ，则

ABξ=λξ

①

式①两端左乘A-1，得

Bξ=λA-1ξ

②

式②两端左乘ξT，得

ξTBξ=λξTA-1ξ

③

由A正定，A-1正定及B正定，且ξ≠0，及③得

ξTBξ＞0，ξTA-1ξ＞0

则，故实对称矩阵仙的任一个特征值大于零，故AB正定．[考点]特征值、特征向量及二次型

15.

设A和A-E均为n阶正定矩阵，证明E-A-1为正定矩阵．正确答案：证明：由题设A，A-E为正定矩阵，故A-1也为正定矩阵，且

A-1(A-E)=E-A-1=(A-E)A-1

由第一小题知A-1和A-E的积E-A-1是正定矩阵．[考点]特征值、特征向量及二次型

16.

，求．正确答案：解：

所以．[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

17.

求．正确答案：解1：令，则

解2：

记，则．

注．

解3：因为，所以

从而

因此

进一步有．[考点]函数、极限

18.

证明

正确答案：证明：左端行列式的每一列都是两组数的和，从而可以拆成8个行列式的和．由于两列相同，行列式的值为0；两列互换，行列式反号，因此

[考点]行列式

19.

设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，求[(A*)*]-1(用A*表示)．正确答案：解：(A*)*=|A|n-2A，故

[考点]矩阵

20.

设函数y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1确定的．求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否为极值点．正确答案：解：将2y3-2y2+2xy-x2=1两边对x求导，有

6y2y'-4yy'+2y+2xy'-2x=0

得

令y'=0，得y=x，将y=x代入原方程，得

2x3-2x2+2x2-x2=1

即

(x-1)(2x2+x+1