考研数学二模拟391

考研数学二模拟391一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.

设f(x)在[0，1]连续且非负但不恒等于零，记

则它们的大小关系为A.I1＜I2＜I3．B.I3＜I1＜I2．C.I2＜I1＜I3．D.I3＜I2＜I1．正确答案：B[解析]比较两个连续函数的定积分大小关系时，若积分区间不同，常常是通过变量替换转化为积分区间相同的情形，从而转化为比较被积函数的大小．

因此I3＜I1＜I2．选B．

因此I3＜I1＜I2．选B．

2.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)＞0(x∈(a，b))，又

则下列不等式成立的是A.L＞M＞N．B.L＞N＞M．C.M＞L＞N．D.N＞L＞M．正确答案：B[解析一]由题设知y=f(x)是[a，b]上的凹函数，借助于几何直观我们可选择正确答案．

L，M，N分别代表梯形ABCD，梯形ABFGE与曲边梯形ABCGD的面积(如图)，G是点，EF是曲线y=f(x)在点G处的切线，于是由面积的大小关系可得L＞N＞M．故选B．

[解析二]y=f(x)是[a，b]上的凹函数，由凹函数的性质，它的几何意义是：弦在曲线y=f(x)(x∈(a，b))的上方，除G点外曲线y=f(x)(x∈[a，b])在曲线上G点的切线EF的上方(如上图)．用式子表示即

将上述不等式各项求积分得

其中

因此L＞N＞M．故选B．

3.

设其中1＜λ≤2，则f(x)在x=0处A.不连续．B.连续但不可导．C.可导但f'(x)在x=0不连续．D.可导且f'(x)在x=0连续．正确答案：C[解析]先考察

其中在x=0空心邻域有界，

再求

其中

当λ＞1时，

当λ≤2时，

时

即f'(x)在x=0不连续．

因此，选C．

由上述讨论易知：

1.当λ＞2时，即f'(x)在x=0连续．

2.当0＜λ≤1时，f(x)在x=0连续但不可导．

3.当λ≤0时，f(x)在x=0不连续．

4.

设f(x)是arcsin(1-x)的原函数且f(0)=0，则

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]已知f'(x)=arcsin(1-x)，求我们不必先求出f(x)，而是把求I转化为求与f'(x)相关的积分，就要用分部积分法或把再积分．

[方法一]用分部积分法可得

也可用分解法求出

选D．

[方法二]由于且f(0)=0，于是

代入得

其中

D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤z}

={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤1}

现交换积分次序得

5.

设f(x)在[0，+∞)连续，又f(x)是的解，则

A．0.

B．a．

C．∞．

D．正确答案：C[解析]先求解方程

两边同乘得

(ex2y)'=ex2f(x)

积分得通解

于是

因此选C．

6.

设区域D：x2+y2≤1，则可以化成的累次积分为

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]因为区域D：x2+y2≤1关于x轴，y轴均对称，函数f(x2+y2)关于y，x都是偶函数，所以

其中D1：x2+y2≤1，x≥0，y≥0.作极坐标变换并化为累次积分得

选C．

若先y后x化为累次积分是

7.

已知α1，α2，α3，α4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是A.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1．B.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1．C.α1，α2+α3，α3+α4，α4．D.α1+α2，α2-α3，α3-α4，α4+α1．正确答案：C[解析]由题意Ax=0的基础解系是由4个线性无关的解向量所构成．

根据齐次方程组解的性质，所给出的4组向量都是Ax=0的解，因而本题是要判断哪一组线性无关．

用观察法，知

(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0

故A线性相关．

或由

而，故

r(α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1)＜4

即选项A线性相关．类似可知选项B、D线性相关．

用秩可判断出选项C线性无关．

8.

设矩阵，则A和BA.合同，但不相似．B.合同，且相似．C.相似，但不合同．D.既不合同，也不相似．正确答案：A[解析]两个实对称矩阵相似特征值相同，

两个实对称矩阵合同正、负惯性指数分别相等．

得A的特征值：1，4，0.而B的特征值：3，2，0.

所以A和B不相似，但A和B合同(因为p=2，q=0)．

二、填空题1.

数列极限正确答案：1[解析一]由积分中值定理知，ξ∈(n，n+1)使得

[解析二]x≥1时估计利用适当放大缩小法求该极限．

现考察的单调性．

因为

因此当单调下降．

当x∈[n，n+1]时，，于是

又

因此

2.

设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，又则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线的斜率为______．正确答案：-2[解析]由f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f(x)=f(x+4)，两边对x求导，则f'(x)=f'(x+4)，故f'(5)=f'(1)．

又因为

则f'(1)=-2.故y=f(x)在(5，f(5))处的切线斜率为f'(5)=-2.

3.

函数的值域区间是______．正确答案：[1，+∞)[解析]y(x)在(1，+∞)连续，求f(x)的值域区间，归结为分析y(x)的单调性并求

为y(x)在(1，+∞)上的最小值．又

因此y(x)的值域区间是[1，+∞)．

4.

设有摆线则L绕x轴旋转一周所成的旋转面的面积A=______．正确答案：[解析]按曲线由参数方程给出时，旋转面的面积公式：

该题有如下变式：

(Ⅰ)摆线L的弧长l=______．

解：按由参数方程给出的曲线的弧长计算公式

(Ⅱ)摆线L的形心=______．

解：L关于y轴对称只须求按曲线的形心公式有

因此，形心

5.

设u=u(x，y)，则u(x，y)=______．正确答案：[解析]

6.

三元二次型xTAx经正交变换x=Qy化为标准型如果矩阵A属于特征值λ=1的特征向量是α=(1，1，-2)T，那么Q=______．正确答案：[解析]求正交变换Q就是求矩阵A的特征向量，而二次型矩阵A是实对称矩阵，实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故可设矩阵A属于特征值λ=2的特征向量是X=(x1，x2，x3)T．于是

αTX=x1+x2-2x3=0

解出α2=(-1，1，0)T，α3=(2，0，1)T．

由于Q是正交矩阵，现在α2，α3不正交，故需Schmidt正交化．

令β1=α2=(-1，1，0)T，则有

再单位化，得

所以

三、解答题15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

设f(x)在[0，+∞)连续且则在(0，+∞)为常数；正确答案：[证明]实质上x＞0时f(x)可导，考察由题设

2.

设f(x)在(a，b)二阶可导且x∈(a，b)时则lnf(x)在(a，b)为凹函数．正确答案：y=lnf(x)(x∈(a，b))，先求

再求

在(a，b)为凹函数．

已知函数y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定．3.

求证：y(x)在x=0取极值，并判断是极大值还是极小值，又判断曲线y=y(x)在x=0附近的凹凸性；正确答案：[证明]在方程中令

将方程两边对x求导两次得

eyy'+6xy'+6y+2x=0

①

eyy"+eyy'2+6xy"+12y'+2=0

②

将x=0，y=0代入①得y'(0)=0，再以x=0，y=0，y'=0代入②得y"(0)=-2.因此y(x)在x=0取极值，并取极大值．

由方程知，y(x)有二阶连续导数．由y"(x)的连续性知存在x=0的一个邻域，

在此邻域y"(x)＜0，即曲线y=y(x)在点(0，0)附近是凸的．

4.

求证：g(y)=ey+6y在(-∞，+∞)有唯一零点，该零点取负值．正确答案：[证明]考察则g'(y)=ey+6＞0，g(y)在(-∞，+∞)单调上升，又g(0)-1＞0，在(-∞，+∞)有唯一零点，记为y1，y1＜0.

5.

求证：y(x)在x=1某邻域是单调下降的．正确答案：[证明]在原方程中令x=1得ey(1)+6y(1)=0，由(Ⅱ)的结论，于是y(1)=y1＜0.

由①式

由

再由y'的连续性知，存在x=1的一个邻域，在此邻域y'(x)＜0，即y(x)在此邻域单调下降．

已知通过x轴上的两点A(1，0)，B(3，0)的抛物线y=a(x-1)(x-3)，a为参数．6.

求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于x轴与该抛物线所围成的面积；正确答案：[证明]过A(1，0)，B(3，0)两点的抛物线方程为y=a(x-1)(x-3)，则两坐标轴与该抛物线所围成的面积为：

x轴与该抛物线所围成的面积为

所以S1=S2．

7.

计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比．正确答案：[解]两坐标轴与该抛物线所围成的图形绕x轴旋转一周所产生的旋转体体积为

x轴与该抛物线所围成的图形绕x轴旋转一周所产生的旋转体体积为

所以[解析]本题考查①平面图形面积；②旋转体体积．具体到本题，根据已知条件设抛物线方程为y=a(x-1)(x-3)很重要，这样可以使后面计算简化．

8.

设曲线Γ的方程为φ(x，y)=0，其中φ(x，y)有一阶连续偏导数且在Γ上任意点处φ'x(x，y)与φ'y(x，y)不同时为零．设点P(x*，y*)为Γ外一点，(Q在Γ上，坐标为(x0，y0))为点P到曲线Γ的最短距离．求证：必位于曲线Γ在点Q处的法线．正确答案：[证明]Γ上任意点M(x，y)与P(x*，y*)的距离平方为

按题设，Q(x0，y0)为f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的最小值点．用拉格朗日乘数法，引入函数

L(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)

则Q(x0，y0)应满足

由此要证的斜率等于Γ在Q点的法线的斜率．

由①②式

由隐函数求导法知，Γ在Q(x0，y0)处切线的斜率是

Γ在Q点的法线斜率是而的斜率是因此④式表示，必位于曲线Γ在点Q处的法线．

9.

计算正确答案：[解法一]由被积函数和区域D可看出，本题宜采用极坐标．

的极坐标方程分别为r=2和r=2cosθ．D的极坐标表示：

于是

[解法二]D看成区域D'1与D'2的差集，D'1是由直线段圆弧及x轴围成的区域，D'2是圆弧及x轴围成的半圆域．它们的极坐标表示是

于是

[解析]这是x2+y2在某区域D上的二重积分的累次积分．直接计算累次积分不方便，求I即确定D，然后求出这个二重积分．

从题设的累次积分知，如图所示．

①上述计算中用到了公式

②计算的另一方法是化二倍角和四倍角后直接积分：

10.

有一弹性轻绳(即本身的重量可忽略不计)上端固定，下端悬挂一重量为3克的物体，且已知此绳受一克重量的外力作用时伸长厘米．如果物体在绳子拉直并未伸长时放下，问物体向下运动到什么地方又开始上升?正确答案：[解]取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移s向下为正．

(1)受力分析

弹性恢复力f=ks，由条件知，g为重力加速度．

重力mg=3g．

(2)列方程与初始条件

由牛顿第二定律得

初始条件：

(3)转化．按题意，我们需求物体速度与s的关系．

于是方程改写为

初条件为

(4)求解初值问题

分离变量得vdv=(g-8gs)ds

积分得

由

(5)结论．当物体开始向下运动到它开始向上运动时，此时速度v=0，故有

0=gs-4gs2

因此为所求．

设x∈(-∞，+∞)时f(x)有连续的导数，且又数列{xn}如下定义：x1任意给定，xn+1=f(xn)(n=1，2，3，…)，求证：11.

存在；正确答案：[证明]为证只须证{xn}单调有界．

若x2=x1，则f(x2)=f(x1)，即x3=x2，依此类推可得xn=x1(n=1，2，……)

下设x2≠x1．先证xn单调．由f'(x)＞0(x∈(-∞，+∞))f(x)在于是

由xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)

与xn-xn-1同号，由此可归纳证明{xn}单调．(若x2＞x1，则xn单调上升；若x2＜x1，则xn单调下降)．

再证{xn}有界，易知

其中M＞0为某常数，因此|xn|=|f(xn-1)|≤M．

因{xn}单调有界，所以

12.

方程x=f(x)有唯一根．正确答案：[证明]记对xn+1=f(xn)，两边令n→∞取极限，由f(x)的连续性得a=f(a)，即a是f(x)=x的一个根，也是F(x)=x-f(x)的一个零点．

由在(-∞，+∞)单调上升，故零点唯一，即x=f(x)的根唯一．

已知齐次方程组Ax=0为

又矩阵B是2×4矩阵，Bx=0的基础解系为

α1=(1，-2，3，-1)T，α2=(0，1，-2，1)T13.

求矩阵B；正确答案：[解]由B(α1，α2)=0有(α1，α2)TBT=0

那么矩阵BT的列向量(亦即矩阵B的行向量)是齐次方程组(α1，α2)Tx=0的解．对系数矩阵(α1，α2)T作初等行变换，有

得到基础解系：(1，2，1