考研数学二分类模拟197

考研数学二分类模拟197一、选择题1.

=______

A．

B．

C．ln(1+lnx)-ln(1+2x)

D．ln(1+lnx)-2ln(1+2x)正确答案：A[解析]

故选A。

2.

设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n)，其中n为正整数，则f'(0)=______A.(-1)n-1(n-1)!B.(-1)n(n-1)!C.(-1)n-1n!D.(-1)nn!正确答案：A[解析]根据导数的定义，有

故选A。

具体型函数求导时，常采用直接计算的方法，但是在求0点处的导数值或特殊的情况下，可以考虑用导数的定义来求解。特别是当求导过程比较复杂时，利用定义来求导有时会有奇效。

3.

对任意的x∈(-∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f'(0)=1，则f'(1)=______A.0B.1C.2D.以上都不正确正确答案：C[解析]由f'(0)=1可知f(x)在x=0处连续。令x=0，则f(1)=f2(0)=1，且由导数的定义可得

故选C。

4.

设函数f(x)在(-∞，+∞)存在二阶导数，且f(x)=f(-x)，当x＜0时有f'(x)＜0，f"(x)＞0，则当x＞0时，有______A.f'(x)＜0，f"(x)＞0B.f'(x)＞0，f"(x)＜0C.f'(x)＞0，f"(x)＞0D.f'(x)＜0，f"(x)＜0正确答案：C[解析]由f(x)=f(-x)可知，f(x)为偶函数，因可导偶函数的导数是奇函数，可导奇函数的导数是偶函数，即f'(x)为奇函数，f"(x)为偶函数，因此当x＜0时，有f'(x)＜0，f"(x)＞0；当x＞0时，有f'(x)＞0，f"(x)＞0。故选C。

5.

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=f2(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是______A.n![f(x)]n+1B.n[f(x)]n+1C.[f(x)2nD.n![f(x)]2n正确答案：A[解析]由f'(x)=f2(x)可得，f"(x)=2f(x)f'(x)=2![f(x)]3。

假设f(k)(x)=k![f(x)]k+1，则

f(k+1)(x)=(k+1)k![f(x)]kf'(x)=(k+1)![f(x)]k+2，

由数学归纳法可知，f(n)(x)=n![f(x)]n+1对一切正整数成立。故选A。

6.

设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上______A.当f'(x)≥0时，f(x)≥g(x)B.当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x)C.当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)D.当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D[解析]方法一：令F(x)=g(x)-f(x)=f(0)(1-x)+f(1)x-f(x)，则F(0)=F(1)=0，

且

F'(x)=-f(0)+f(1)-f'(x)，F"(x)=-f"(x)，

若f"(x)≥0，则F"(x)≤0，曲线F(x)在[0，1]上是向上凸的。又F(0)=F(1)=0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，从而g(x)≥f(x)，故选D。

方法二：首先将函数变形为

g(x)=[f(1)-f(0)]x+f(0)，

易知直线g(x)过曲线f(x)上的两个点(0，f(0))，(1，f(1))，则直线g(x)是曲线f(x)上的一条割线，当f"(x)≥0时，曲线f(x)为凹函数，连接曲线上任意两点的直线在曲线的上方，故g(x)≥f(x)，故选D。

本题中用到的曲线凹凸性的定义可以这样记忆：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上任意两点的连线都在曲线上方(下方)，则y=f(x)在[a，b]上为凹函数(凸函数)。

另外，凹凸性还可以通过曲线和切线的关系来定义：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上任意一点的切线都在曲线上方(下方)，则y=f(x)在[a，b]上为凸函数(凹函数)。

7.

设在[0，1]上f"(x)＞0，则f'(0)，f'(1)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是______A.f'(1)＞f'(0)＞f(1)-f(0)B.f'(1)＞f(1)-f(0)＞f'(0)C.f(1)-f(0)＞f'(1)＞f'(0)D.f'(1)＞f(0)-f(1)＞f'(0)正确答案：B[解析]由已知f"(x)＞0，x∈[0，1]，可得函数f'(x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得

f(1)-f(0)=f'(ξ)，ξ∈(0，1)。

因此有

f'(0)＜f'(ξ)＜f'(1)，

即可得

f'(0)＜f(1)-f(0)＜f'(1)。

故选B。

8.

设f(x)=x2(x-1)(x-2)，则f'(x)的零点个数为______A.0B.1C.2D.3正确答案：D[解析]容易验证f(0)=f(1)=f(2)=0，因此由罗尔定理知至少存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使f'(ξ1)=f'(ξ2)=0成立，所以f'(x)至少有两个零点。又f'(x)中含有因式x，因此可知x=0也是f'(x)的零点。故选D。

9.

设函数f(x)在R+上有界且可导，则______

A．当时，必有

B．当存在时，必有

C．当时，必有

D．当存在时，必有正确答案：B[解析]可以用反证法证明选项B是正确的。假设，则由拉格朗日中值定理可知，存在ξ，使得x＜ξ＜2x，所以当x→+∞时，ξ→+∞，有

f(2x)-f(x)=f'(ξ)x→∞(x→+∞)，

但这与|f(2x)-f(x)|≤|f(2x)|+|f(x)|≤2M矛盾(|f(x)|≤M)。故选B。

10.

设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为______

A．2

B．-1

C．

D．-2正确答案：D[解析]将题中等式两端同乘2，得

所以

由导数定义可知，f'(1)=-2。故选D。

11.

周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，又则y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为______

A．

B．0

C．-1

D．-2正确答案：D[解析]因为f(x)在(-∞，+∞)内可导，且f(x)=f(x+4k)，其中k为整数，故有

f'(x)=f'(x+4k)，

取x=1，k=1，可得f'(1)=f'(5)。

又由

可得f'(1)=-2。故选D。

二、填空题1.

正确答案：[解析]因为则

所以

2.

正确答案：48[解析]根据参数方程的求导公式有：

从而

所以

3.

正确答案：[解析]由题干可知

当时，有

4.

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=______。正确答案：[解析]

则

5.

正确答案：[解析]

6.

已知f'(ex)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=______。正确答案：[解析]令ex=t，则x=lnt，于是有

对上式两端同时积分得

由f(1)=0得C=0，故

7.

作变量替换x=lnt，方程可简化为______。正确答案：[解析]由题干可得

将(1)(2)式代入中，整理可得

8.

函数f(x)=x2·2x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=______。正确答案：n(n-1)(ln2)n-2[解析]根据莱布尼茨公式有

从而

9.

已知函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+，则当n≥2时，f(n)(0)=______。正确答案：5·2n-1[解析]由已知条件得f(0)=1，f'(x)=2(x+1)+2f(x)，则f'(0)=4，f"(x)=2+2f'(x)，且有f"(0)=10。

在等式f"(x)=2+2f'(x)两边同时对x求n-2阶导可得f(n)(x)=2f(n-1)(x)。则

f(n)(0)=2f(n-1)(0)=2n-2f"(0)=5·2n-1。

10.

函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=______。正确答案：-2n(n-1)!(n=1，2，3，…)[解析]将ln(1+t)按照泰勒公式展开成级数的形式

令t=-2x，可得故y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数为

y(n)(0)=-2n(n-1)!(n=1，2，3，…)。

11.

曲线在点处的切线方程为______。正确答案：[解析]曲线在点处的切线的斜率为，在曲线方程两端同时对x求导，得

因此

所求的切线方程为

三、解答题1.

设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1。证明：

(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1；

(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f"(η)+f'(η)=1。正确答案：证明：(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x，则F'(x)=f'(x)-1，且

F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)-1=0，

由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F'(ξ)=0，即f'(ξ)=1。

(Ⅱ)令G(x)=ex[f'(x)-1]，由(Ⅰ)知，存在ξ∈(0，1)，使G(ξ)=0，又因为f(x)为奇函数，故f'(x)为偶函数，知G(-ξ)=0，则存在η∈(-ξ，ξ)(-1，1)，使得G'(η)=0，即

eη[f'(η)-1]+eηf"(η)=0，即f"(η)+f'(η)=1。

2.

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，证明存在使得f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2。正确答案：证明：令则F(1)=F(0)=0。

在区间上分别应用拉格朗日中值定理，

将上面两个等式相加

即

F'(ξ)+F'(η)=f'(ξ)-ξ2+f'(η)-η2=0，

整理后得

f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2。

3.

设e＜a＜b＜e2，证明正确答案：证明：方法一：对函数y=ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得

设

当t＞e时，φ'(t)＜0，所以φ(t)单调减少，从而φ(ξ)＞φ(e2)，即

故有

方法二：设则

所以当x＞e时，φ"(x)＜0，因此φ'(x)单调减少，从而当e＜x＜e2时，

即当e＜x＜e2时，φ(x)单调增加。

因此当e＜x＜e2时，φ(b)＞φ(a)(e＜a＜b＜e2)，即

故有

4.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)=1。证明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη-ξ[f(η)+f'(η)]=1。正确答案：证明：设F(x)=exf(x)，由已知f(x)及ex在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此存在ξ，η∈(a，b)，使得

F(b)-F(a)=ebf(b)-eaf(a)=F'(η)(b-a)=eη[f'(η)+f(η)](b-a)

及

eb-ea=eξ(b-a)。

将以上两式相比，且由f(a)=f(b)=1，整理后有

eη-ξ[f(η)+f'(η)]=1。

5.

已知曲线点O(0，0)，点A(0，1)。设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L所围图形的面积。若P运动到点(3，4)时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率。正确答案：解：设在t时刻，P点坐标为则

对上式求导可得由题意可知，当x(t)=3时，x'(t)=4，代入上式可得S'(t)|x=3=10。[解析]导数在物理上表示速度或加速度，或是广义的速度：变化率。利用这些信息，我们可以解决一些实际问题。如果某一物理量或几何量随时间变化(是时间的函数)，那么它的变化率就是该物理量或几何量对时间的导数。

6.

设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f"(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又un＜u2，证明正确答案：证明：对函数f(x)分别在区间[k，k+1](k=1，2，…，n，…)上使用拉格朗日中值定理

u2-u1=f(2)-f(1)=f'(ξ1)＞0，1＜ξ1＜2，

…………

un-1-un-2=f(n-1)-f(n-2)=f'(ξn-2)，n-2＜ξn-2＜n-1，

un-un-1=f(n)-f(n-1)=f'(ξn-1)，n-1＜ξn-1＜n。

因f"(x)＞0，故f'(x)严格单调增加，即有

f'(ξn-1)＞f'(ξn-2)＞…＞f'(ξ2)＞f'(ξ1)=u2-u1，

则有

un=(un-un-1)+(un-1-un-2)+…+(u2-u1)+u1

=f'(ξn-1)+f'(ξn-2)+…+f'(ξ1)+u1

＞f'(ξ1)+f'(ξ1)+…+f'(ξ1)+u1

=(n-1)(u2-u1)+u1，

于是有

7.

已知曲线L的方程

(Ⅰ)讨论L的凹凸性；

(Ⅱ)过点(-1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程；

(Ⅲ)求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积。正确答案：解：(Ⅰ)

当t＞0时，有