考研数学二分类模拟250

考研数学二分类模拟250解答题1.

设f(x)为偶函数，且f'(-1)=2，求．正确答案：解：因为f(x)为偶函数，所以f'(x)为奇函数，于是f'(1)=-2．

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

2.

求微分方程y"'-x-ex=0，满足y(0)=1，y'(0)=1，y"(0)=2的解．正确答案：解：将方程改写为y"'=x+ex，积分得

再积分得

继续积分得

[考点]常微分方程

3.

证明：若xn＞0(n=1，2，…)且存在，则．正确答案：证明：记，则an＞0且，

因此

[考点]极限、连续及其应用

4.

求微分方程(x-2y)dy=2ydx的通解．正确答案：解：．令，则，则．

化简得

即

积分得．将代入原方程的通解为y=C(x+2y)2．[考点]常微分方程

5.

设四阶矩阵B满足，且，求矩阵B.正确答案：解：|A|=4，

[考点]矩阵

6.

．正确答案：解：．

设，通分后应有5x2-6x+1≡A(x-2)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x-2)．在这恒等式中，令x=0，得1=6A，；令x=2，得9=-2B，；令x=3，得28=3C，．于是

[考点]不定积分、定积分、反常积分

设向量α=(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A=ααT．7.

求方程组Ax=0的通解；正确答案：解：因为r(A)=1，所以Ax=0的基础解系含有n-1个线性无关的特征向量，其基础解系为

则方程组Ax=0的通解为k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1(k1，k2，…，kn-1为任意常数)．[考点]特征值、特征向量及二次型

8.

求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．正确答案：解：因为A2=kA，其中，所以A的非零特征值为k，因

Aα=ααTα=kα

所以非零特征值k对应的线性无关的特征向量为α．[考点]特征值、特征向量及二次型

9.

设求f'(x)．正确答案：解：显然f(x)在x=-1处不连续，故也不可导；又因为

所以f(x)在x=1处也不可导，故

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

10.

求的导数．正确答案：解：原方程两边取对数，得

上式两边同时对x求导，得

于是

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

11.

讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数．正确答案：解：设f(x)=4x+ln4x-4lnx-k(x＞0)，则

令f'(x)=0，则得x=1．

当0＜x＜1时，f'(x)＜0，则f(x)在(0，1)内单调递减；

当x＞1时，f'(x)＞0，则f(x)在(1，+∞)内单调递增．

故f(1)=4-k为函数f(x)的最小值．所以：

当f(1)＞0时，即k＜4时，f(x)无零点，即两曲线无交点；

当f(1)=0时，即k=4时，f(x)有唯一零点，即两曲线有唯一交点；

当f(1)＜0时，即k＞4时，由于

因此f(x)分别在(0，1)，(1，+∞)内各有一个零点，即两曲线有两个交点．[考点]一元函数微积分

12.

设A，B，C均为n阶方阵，证明

正确答案：证明：

[考点]矩阵、向量、方程组

13.

求方程的通解．正确答案：解：令u=x+y，则，从而原方程化为．

分离变量得，积分得

即．

代入u=x+y得原方程的通解为．[考点]常微分方程

14.

．正确答案：解：设，则x=t6，dx=6t5dt．代入得

[考点]不定积分、定积分、反常积分

15.

设函数f(x)在区间[a，b]上满足

|f(x)-f(y)|≤M|x-y|α①

其中M＞0，α＞1为常数，证明：f(x)在[a，b]上恒为常数．正确答案：证明：由式①可得

对，固定x，令y→x，由式②及夹逼准则，得

即f'(x)=0，因此f(x)在[a，b]上恒为常数．[考点]一元函数微积分

16.

设，-1＜x＜1，证明：．正确答案：证明：令，则当x≠0时

故可设F(x)=C．当x=0时，显然有φ(0)=0，且

从而φ(x)在x=0处连续，于是F(x)在x=0处也连续．故C=F(0)=0，所以，x∈(-1，1)．[考点]一元函数微积分

17.

已知线性方程绍的系数矩阵的秩等于矩阵的秩，证明：方程组有解．正确答案：证明：β=(b1，b2，…，bn)T，，已知r(B)=r(A)，故有r(A，β)=r(A)，于是Ax=β有解．[考点]线性方程组

判断下列向量组是线性相关还是线性无关．如果线性相关，试找出其中一个向量，使得它可以由其余向量线性表出，并且写出它的一种表达式．18.

；正确答案：解：考虑齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=0，把它的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵

由于阶梯形矩阵的非零行数目3等于未知量的数目，因此原齐次线性方程组只有零解．从而α1，α2，α3线性无关．[考点]向量

19.

．正确答案：解：考虑齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0．

原齐次线性方程组有非零解．从而α1，α2，α3，α4线性相关．方程组的一般解公式为

x4是自由未知量．取x4=1，得x1=1，x2=1，x3=-1．从而α1+α2-α3+α4=0．则α3=α1+α2+α4．[考点]向量

设A是n阶矩阵，且满足A2=A(此时A称为幂等矩阵)．20.

求A的特征值的取值范围；正确答案：解：设A有特征值λ，则A2-A有特征值λ2-λ．由A2-A=0，得λ2-λ=0，故λ=0或λ=1．[考点]特征值与特征向量

21.

证明：E+A是可逆矩阵．正确答案：证明：由第一小题知，满足A2=A的矩阵A的特征值的取值是{0，1}，E+A的特征值的取值是{1，2}，均不为0，故|E+A|≠0(或假设|E+A|=0，则-1是A的特征值，这与第一小题中的结论矛盾)，故E+A是可逆矩阵．[考点]特征值与特征向量

22.

设n阶矩阵A有n个互不相同的特征值，且AB=BA.证明：A的特征向量也是B的特征向量．正确答案：证明：设A的一个特征向量ξ，对应的特征值为λ，即

Aξ=λξ

上式左边乘B，得BAξ=ABξ=λBξ，即A(Bξ)=λ(Bξ