考研数学二分类模拟题73

考研数学二分类模拟题73解答题1.

设，求：(1)2A11+A12-A13；(2)A11+4A21+A31+2A41．正确答案：[解]

2.

设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，|A|=1/3，求|4A-(3A*)-1|．正确答案：[解]由

|4A-(3A*)-1|=|4A-A|=3A|=27|A|=9.

3.

A是三阶矩阵，三维列向量组β1，β2，β3线性无关，满足Aβ1=β2+β3，Aβ2=β1+β3，Aβ3=β1+β2，求|A|.正确答案：[解]

令B=(β1，β2，β3)，由Aβ1=β2+β3，Aβ2=β1+β3，Aβ3=β1+β2得

，两边取行列式得

因为β1，β2，β3线性无关，所以B可逆，故|A|=2.

4.

设，其中A可逆，求B-1．正确答案：[解]由初等变换的性质得

B=AP1P2，则

5.

设A，B为三阶矩阵，满足AB+E=A2+B，E为三阶单位矩阵，又知求矩阵B．正确答案：[解]由AB+E=A2+B得

(A-E)B=A2-E，

，因为|A-E|≠0，所以A-E可逆，

从而

6.

已知，AP=PB，求A与A5．正确答案：[解]由AP=PB得A=PBP-1，

由

7.

设矩阵满足A-1(E-BBTA-1)-1C-1=E，求C．正确答案：[解]由A-1(E-BBTA-1)-1C-1=E得

C(E-BBTA-1)A=E，即C(A-BBT)=E，解得

C=(A-BBT)-1．

由

由得

8.

解方程正确答案：[解]令X=(X1，X2)，

由得

故

9.

设向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α4的秩分别为(Ⅰ)=2，秩(Ⅱ)=3.证明向量组α1，α2，α3+α4的秩等于3.正确答案：[证明]由向量组(Ⅱ)的秩为3得α1，α2，α4线性无关，从而α1，α2线性无关，由向量组(Ⅰ)的秩为2得α1，α2，α3线性相关，

从而α3可由α1，α2线性表示，令α3=k1α1+k2α2．

由

故r(α1，α2，α3+α4)=r(α1，α2，α4)=3.

10.

已知线性方程组问k1和k2各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多组解?在方程组有无穷多组解时，试求出一般解．正确答案：[解]

(1)当k1≠2时，方程组有唯一解；

(2)当k1=2时，

情形一：k2≠1时，方程组无解；

情形二：k2=1时，方程组有无数个解，

由

原方程组通解为

11.

设向量组

试问：当a，b，c满足什么条件时

(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一；

(2)β不能由α1，α2，α3线性表出；

(3)β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一，并求出一般表达式．正确答案：[解]

(1)当a≠-4时，β可由α1，α2，α3唯一线性表示．

当a=-4时，

(2)当c-3b+1=0时，β可由α1，α2，α3线性表示，但表示方法不唯一，

由

则

(3)当c-3b+1≠0时，β不可由α1，α2，α3线性表示．

12.

设线性方程组

(1)求线性方程组(Ⅰ)的通解；

(2)m，n取何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有公共非零解；

(3)m，n取何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．正确答案：[解]令

(1)由

方程组(Ⅰ)的通解为

(2)

当m=-2或n=3时，两个方程组有公共的非零解．

(3)当m=-2，n=3时，两个方程组同解．

设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为且已知另一个四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T．13.

求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；正确答案：[解]

方程组(Ⅰ)的基础解系为

14.

当a为何值时，方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)有非零公共解?正确答案：[解](Ⅱ)的通解为

代入(Ⅰ)得

整理得

因为两个方程组有公共的非零解，所以l1，l2不全为零，

从而，解得a=-1或a=0.

15.

已知0是的特征值，求a和A的其他特征值及线性无关的特征向量．正确答案：[解]因为0为A的特征值，所以，解得a=1.

由得λ1=0，λ2=λ3=2.

λ1=0代入(λE-A)X=0，

由得

λ1=0对应的线性无关的特征向量为

λ2=λ3=2代入(2E-A)X=0，

由得

λ2=λ3=2对应的线性无关的特征向量为

16.

设A是三阶矩阵，其特征值是1，2，3，若A与B相似，求|B*+E|．正确答案：[解]因为A～B，所以B的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，

B*的特征值为

B*+E的特征值为7，4，3，故|B*+E|=84.

17.

已知二次型，通过正交变换化成标准形．求参数a及所用的正交变换矩阵．正确答案：[解]设，则f=XTAX.

A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5，

由|A|=2(9-a2)=10得a=2，

λ1=1代入(λE-A)X=0，

由得

λ1=1对应的线性无关的特征向量为

λ2=2代入(λE-A)X=0，

由得

λ2=2对应的线性无关的特征向量为

λ3=5代入(λE-A)X=0，

由得

λ3=5对应的线性无关的特征向量为

令

则

18.

设a是整数，若矩阵的伴随矩阵A*的特征值是4，-14，-14.求正交矩阵Q，使QTAQ为对角形．正确答案：[解]|A*|=4×(-14)×(-14)=282，由|A*|=|A|2得|A|=28或|A|=-28.

若-6a-40=28，则，不合题意，舍去；

若-6a-40=-28，则a=-2，从而

A的特征值为λ1=-7代入(λE-A)X=0，

由得

λ1=-7对应的线性无关的特征向量为

λ2=λ3=2代入(λE-A)X=0，

由得

λ2=λ3=2对应的线性无关的特征向量为

令

单位化得

所求的正交矩阵为

19.

n阶矩阵A满足A2-2A-3E=0，证明A能相似对角化．正确答案：[证明]由A2-2A-3E=0得(E+A)(3E-A)=0，则

r(E+A)+r(3E-A)≤n；

由r(E+A)+r(3E-A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E-A)=n．

(1)当r(E+A)=n时，A=3E为对角阵；

(2)当r(3E-A)=n时，为对角矩阵；

(3)r(E+A)＜n，r(3E-A)＜n，则|E+A|=0，|3E-A|=0，

A的特征值λ1=-1，λ2=3.

λ1=-1对应的线性无关的特征向量个数为n-r(-E-A)=n-r(E+A)；

λ2=3对应的线性无关的特征向量个数为n-r(3E-A)．

因为n-r(E+A)+n-r(3E-A)=n，所以A可相似对角化．

20.

设，已知A有三个线性无关的特征向量且λ=2为矩阵A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．正确答案：[解]由λ1=λ2=2及λ1+λ2+λ3=tr(A)=10得λ3=6.

因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以r(2E-A)=1，

由得a=2，b=-2.

λ1=λ2=2代入(λE-A)X=0，

由得λ1=λ2=2对应的线性无关的特征向量为

λ3=6代入(λE-A)X=0，

由得λ3=6对应的线性无关的特征向量为

令，则P可逆，且

已知21.

t取何值时，A为正定矩阵?为什么?正确答案：[解]由得t＞0，当t＞0时，因为A的顺序主子式都大于零，所以A为正定矩阵．

22.

t取何值时，A与B等价?为什么?正确答案：[解]由得r(B)=2，

因为A与B等价，所以r(A)=r(B)=2＜3，故t=0.

23.

t取何值时，A与C相似?为什么?正确答案：[解]C的特征值为λ1=1，λ2=3，λ3=5，

由得

A的特征值为λ1=1，λ2=3，λ3=t，故t=5.

24.

t取何值时，A与D合同?为什么?正确答案：[解]由得

矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=3，λ3=t，

因为A与D合同，所以特征值中正、负个数一致，故t＜0.

25.

考虑二次型，问λ取何值时，f为正定二次型?正确答案：[解]

因为A正定，所以解得-2＜λ＜1.

设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知r(A)=2.26.

求A的全部特征值；正确答案：[解]令AX=λX，

由A2+2A=O的(λ2+2λ)X=0，注意到X≠0，则λ2+2λ=0，

解得λ=0或λ=-2.

由r(A)=2得λ1=0，λ2=λ3=-2.

27.

当k为何值时，矩阵