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文档简介
山东省潍坊市2025届高考数学二模试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设双曲线的右顶点为,右焦点为,过点作平行的一条渐近线的直线与交于点,则的面积为()A. B. C.5 D.62.已知函数,,若存在实数,使成立,则正数的取值范围为()A. B. C. D.3.已知,是两条不重合的直线,,是两个不重合的平面,则下列命题中错误的是()A.若,,则或B.若,,,则C.若,,,则D.若,,则4.执行如图的程序框图,若输出的结果,则输入的值为()A. B.C.3或 D.或5.已知函数,若,则的取值范围是()A. B. C. D.6.已知是等差数列的前项和,,,则()A.85 B. C.35 D.7.在中,,,分别为角,,的对边,若的面为,且,则()A.1 B. C. D.8.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是()A. B.C. D.9.函数的图象为C,以下结论中正确的是()①图象C关于直线对称;②图象C关于点对称;③由y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③10.在中,角,,的对边分别为,,,若,,,则()A. B.3 C. D.411.已知菱形的边长为2,,则()A.4 B.6 C. D.12.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数为奇函数,则_______.14.的展开式中的系数为________________.15.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值为.16.已知等边三角形的边长为1.,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知集合,集合.(1)求集合;(2)若,求实数的取值范围.18.(12分)已知.(1)若是上的增函数,求的取值范围;(2)若函数有两个极值点,判断函数零点的个数.19.(12分)某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评,同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关).年份年份代号年利润(单位:亿元)(Ⅰ)求关于的线性回归方程,并预测该公司年(年份代号记为)的年利润;(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(Ⅰ)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,称该年为级利润年,否则称为级利润年.将(Ⅰ)中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值,现从年至年这年中随机抽取年,求恰有年为级利润年的概率.参考公式:,.20.(12分)已知函数(1)求函数的单调递增区间(2)记函数的图象为曲线,设点是曲线上不同两点,如果在曲线上存在点,使得①;②曲线在点M处的切线平行于直线AB,则称函数存在“中值和谐切线”,当时,函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由21.(12分)已知,.(1)解不等式;(2)若方程有三个解,求实数的取值范围.22.(10分)在创建“全国文明卫生城”过程中,运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次),通过随机抽样,得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示:.组别频数(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求;(2)在(1)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:①得分不低于的可以获赠次随机话费,得分低于的可以获赠次随机话费;②每次获赠的随机话费和对应的概率为:赠送话费的金额(单位:元)概率现有市民甲参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.附:参考数据与公式:,若,则,,
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据双曲线的标准方程求出右顶点、右焦点的坐标,再求出过点与的一条渐近线的平行的直线方程,通过解方程组求出点的坐标,最后利用三角形的面积公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知中:,因此右顶点的坐标为,右焦点的坐标为,双曲线的渐近线方程为:,根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点作平行的一条渐近线的直线与交于点,所以直线的斜率为,因此直线方程为:,因此点的坐标是方程组:的解,解得方程组的解为:,即,所以的面积为:.故选:A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用,考查了两直线平行的性质,考查了数学运算能力.2、A【解析】
根据实数满足的等量关系,代入后将方程变形,构造函数,并由导函数求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,结合存在性问题的求法,即可求得正数的取值范围.【详解】函数,,由题意得,即,令,∴,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,而,当且仅当,即当时,等号成立,∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用,由基本不等式求函数的最值,存在性成立问题的解法,属于中档题.3、D【解析】
根据线面平行和面面平行的性质,可判定A;由线面平行的判定定理,可判断B;C中可判断,所成的二面角为;D中有可能,即得解.【详解】选项A:若,,根据线面平行和面面平行的性质,有或,故A正确;选项B:若,,,由线面平行的判定定理,有,故B正确;选项C:若,,,故,所成的二面角为,则,故C正确;选项D,若,,有可能,故D不正确.故选:D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断,考查了学生逻辑推理,空间想象能力,属于中档题.4、D【解析】
根据逆运算,倒推回求x的值,根据x的范围取舍即可得选项.【详解】因为,所以当,解得
,所以3是输入的x的值;当时,解得,所以是输入的x的值,所以输入的x的值为
或3,故选:D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,通过结果反求输入的值,属于基础题.5、B【解析】
对分类讨论,代入解析式求出,解不等式,即可求解.【详解】函数,由得或解得.故选:B.【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式,属于基础题.6、B【解析】
将已知条件转化为的形式,求得,由此求得.【详解】设公差为,则,所以,,,.故选:B【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算,考查等差数列前项和的计算,属于基础题.7、D【解析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值,然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可.【详解】解:由,得,∵,∴,即即,则,∵,∴,∴,即,则,故选D.【点睛】本题主要考查解三角形的应用,结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键.8、A【解析】
由题知,利用求出,再根据题给定义,化简求出的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【详解】根据题意,的图象与直线的相邻交点间的距离为,所以的周期为,则,所以,由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选:A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.9、B【解析】
根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识,判断出正确的结论.【详解】因为,又,所以①正确.,所以②正确.将的图象向右平移个单位长度,得,所以③错误.所以①②正确,③错误.故选:B【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心,考查三角函数图象变换,属于基础题.10、B【解析】由正弦定理及条件可得,即.,∴,由余弦定理得。∴.选B。11、B【解析】
根据菱形中的边角关系,利用余弦定理和数量积公式,即可求出结果.【详解】如图所示,菱形形的边长为2,,∴,∴,∴,且,∴,故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题,属于基础题..12、A【解析】
因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.【详解】定义在上的函数的周期为4,当时,,,,.故选:A.【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-2【解析】
由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值.【详解】由题意,的定义域为,,是奇函数,则,即对任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.14、【解析】
在二项展开式的通项中令的指数为,求出参数值,然后代入通项可得出结果.【详解】的展开式的通项为,令,因此,的展开式中的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解,涉及二项展开式通项的应用,考查计算能力,属于基础题.15、.【解析】.16、【解析】
根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.【详解】解:以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,,则,,,设,,,即点的坐标为,则,,,所以故答案为:【点睛】本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)求出函数的定义域,即可求出结论;(2)化简集合,根据确定集合的端点位置,建立的不等量关系,即可求解.【详解】(1)由,即得或,所以集合或.(2)集合,由得或,解得或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查集合的运算,集合间的关系求参数,考查函数的定义域,属于基础题.18、(1)(2)三个零点【解析】
(1)由题意知恒成立,构造函数,对函数求导,求得函数最值,进而得到结果;(2)当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点,再证,.【详解】(1)由得,由题意知恒成立,即,设,,时,递减,时,,递增;故,即,故的取值范围是.(2)当时,单调,无极值;当时,,一方面,,且在递减,所以在区间有一个零点.另一方面,,设,则,从而在递增,则,即,又在递增,所以在区间有一个零点.因此,当时在和各有一个零点,将这两个零点记为,,当时,即;当时,即;当时,即:从而在递增,在递减,在递增;于是是函数的极大值点,是函数的极小值点.下面证明:,由得,即,由得,令,则,①当时,递减,则,而,故;②当时,递减,则,而,故;一方面,因为,又,且在递增,所以在上有一个零点,即在上有一个零点.另一方面,根据得,则有:,又,且在递增,故在上有一个零点,故在上有一个零点.又,故有三个零点.【点睛】本题考查函数的零点,导数的综合应用.在研究函数零点时,有一种方法是把函数的零点转化为方程的解,再把方程的解转化为函数图象的交点,特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题,这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值,从而得出函数的变化趋势,得出结论.19、(Ⅰ),该公司年年利润的预测值为亿元;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)求出和的值,将表格中的数据代入最小二乘法公式,求得和的值,进而可求得关于的线性回归方程,然后将代入回归直线方程,可得出该公司年年利润的估计值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归直线方程计算出从年至年这年被评为级利润年的年数,然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【详解】(Ⅰ)根据表中数据,计算可得,,,又,,,关于的线性回归方程为.将代入回归方程得(亿元),该公司年的年利润的预测值为亿元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利润的估计值分别为、、、、、、、(单位:亿元),其中实际利润大于相应估计值的有年.故这年中被评为级利润年的有年,评为级利润年的有年.记“从年至年这年的年利润中随机抽取年,恰有年为级利润年”的概率为,.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程,同时也考查了古典概型概率的计算,涉及组合计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.20、(1)见解析(2)不存在,见解析【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的范围求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数,结合导数的几何意义,再令,转化为方程有解问题,即可说明.【详解】(1)函数的定义域为,所以当时,;,所以函数在上单调递增当时,①当时,函数在上递增②,显然无增区间;③当时,,函数在上递增,综上当函数在上单调递增.当时函数在上单调递增;当时函数无单调递增区间当时函数在上单调递增(2
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