考研数学二分类模拟题63

考研数学二分类模拟题63一、填空题1.

设可导，则a=______，b=______．正确答案：a=3，b=-2.[解]f(1-0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，

因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1；

因为f(x)在x=1处可导，所以a=3，故a=3，b=-2.

2.

的斜渐近线为______．正确答案：y=-x-2及y=x+2.[解]

由得

y=-x-2为曲线的一条斜渐近线；

由得

y=x+2为曲线的另一条斜渐近线．

3.

函数y=x2x的极小点为______．正确答案：[解]令y'=2x+x2xln2=2x(1+xln2)=0.得

当时，y'＜0；当时，y'＞0，

故为函数y=x2x的极小点．

4.

函数y=x+2cosx在上的最大值为______．正确答案：[解]令y'=1-2sinx=0得

y"=-2cosx，因为所以为y=x+2cosx的极大值点，也是最大值点，故最大值为

5.

设函数y=y(x)由e2x+y-cosxy=e-1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为______．正确答案：[解]当x=0时，y=1，

e2x+y-cosxy=e-1两边对x求导得

将x=0，y=1代入得

故所求法线方程为

6.

椭圆2x2+y2=3在点(1，-1)处的切线方程为______．正确答案：y=2x-3[解]2x2+y2=3两边对x求导得

4x+2yy'=0，即

所求的切线方程为y+1=2(x-1)，即y=2x-3.

二、选择题1.

设f(x)在x=a处可导，则等于______.A.f'(a)B.2f'(a)C.0D.f'(2a)正确答案：B[解]

应选B．

2.

F(x)=cosx|sin2x|在(0，2π)内______.A.有一个不可导点B.有两个不可导点C.有三个不可导点D.可导正确答案：D[解]当时，F(x)=0.

同理故F(x)=cosx|sin2x|在(0，2π)内可导，应选D．

3.

设则f(x)在x=1处______.A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导正确答案：D[解]由f(1-0)=f(1)=1，f(1+0)=1得．

f(x)在x=1处极限存在且连续．

因为f'-(1)=f'+(1)=2，所以f'(1)=2，应选D．

4.

设f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+|sinx|)在x=0处可导，则______.A.f(0)=0B.f'(0)=0C.f(0)=f'(0)D.f(0)=-f'(0)正确答案：A[解]F(0)=f(0)，

因为F(x)在x=0处可导，所以F'-(0)=F'+(0)，

于是f(0)=0，故应选A．

5.

设f(x)可导，则下列结论正确的是______.

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解]取但f'(x)=1，A不对，

取，C不对；

取，D不对；

应选B．

事实上，对任意的M＞0，

因为所以存在X0＞0，当x≥X0时，有f'(X)≥M0．

当x＞X0时，f(x)-f(X0)-f'(ξ)(x-X0)≥M(x-X0)(X0＜ξ＜x)，

从而f(x)≥f(X0)+M(x-X0)，两边取极限得

6.

若曲线y=x2+ax+b与曲线2y=-1+xy3在(1，-1)处相切，则______.A.a=3，b=1B.a=1，b=3C.a=-1，b=-1D.a=1，b=1正确答案：C[解]由y=x2+ax+b得y'=2x+a；

2y=-1+xy3两边对x求导得

2y'=y3+3xy2y'，解得

因为两曲线在(1，-1)处相切，所以

解得a=-1，b=-1，应选C．

7.

设f(x)满足f"(x)+f'2(x)=2x，且f'(0)=0，则______.A.x=0为f(x)的极大点B.x=0为f(x)的极小点C.(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点D.x=0既非f(x)的极值点，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点正确答案：C[解]取x=0得f"(0)=0.

由f"(x)+f'2(x)=2x得

f'''(x)+2f'(x)f"x(x)=2，从而f'''(0)=2.

因为所以存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，

从而故(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，应选C．

8.

若函数f(-x)=f(x)(-∞＜x＜+∞)，在(-∞，0)内f'(x)＞0且f"(x)＜0，则在(0，+∞)内有______.A.f'(x)＞0，f"(x)＜0B.f'(x)＞0，f"(x)＞0C.f'(x)＜0，f"(x)＜0D.f'(x)＜0，f"(x)＞0正确答案：C[解]因为f(x)为偶函数，所以f'(x)为奇函数，f"(x)为偶函数，

从而在(0，+∞)内有f'(x)＜0，f"(x)＜0，应选C．

9.

设f(x)二阶可导，且f'(x)＞0，f"(x)＞0，又Δy=f(x+Δx)-f(x)，则当Δx＞0时有______.A.Δy＞dy＞0B.Δy＜dy＜0C.dy＞Δy＞0D.dy＜Δy＜0正确答案：A[解]Δy=f(x+Δx)-f(x)=f'(c)Δx(x＜c＜x+Δx)，

由f'(x)＞0，f"(x)＞0得

f'(c)Δx＞f'(x)Δx＞0，即Δy＞dy＞0，应选A．

10.

设f(x)在(-∞，+∞)上连续，则下列命题错误的是______.A.若f(x)为偶函数，则F(x)为奇函数B.若f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数C.若f(x)为以T为周期的偶函数，则F(x)为以T为周期的奇函数D.若f(x)为以了、为周期的奇函数，则F(x)为以T为周期的偶函数正确答案：C[解]取f(x)=1-cosx，f(x)是以2π为周期的偶函数，

而F(x)不是以2π为周期的奇函数，应选C．

11.

设f(x)为连续的奇函数，且则______.A.x=0为f(x)的极小点B.x=0为f(x)的极大点C.曲线y=f(x)在x=0处的切线平行于x轴D.曲线y=f(x)在x=0处的切线不平行于x轴正确答案：C[解]由得f(0)=0，f'(0)=0，则曲线y=f(x)在x=0的切线平行于x轴，应选C．

12.

设偶函数f(x)有连续的二阶导数，并且f"(0)≠0，则x=0______.A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点正确答案：B[解]因为f(x)为偶函数，所以f'(x)为奇函数，从而f'(0)=0.

因为f'(0)=0，而f"(0)≠0，所以x=0一定是f(x)的极值点，应选B．

13.

曲线对应的点处的曲率半径为______.

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解]

则应选C．

14.

下列曲线有斜渐近线的是______.

A．

B．y=x2+sinx

C．

D．y=x2+sin2x正确答案：A[解]由得

曲线有斜渐近线y=x，应选A．

三、解答题1.

设f(x)=3x2+x2|x|，求使得f(n)(0)存在的最高阶数n．正确答案：[解]

由得f'-(0)=0；由得f'+(0)=0，

从而f'(0)=0，于是

由得f"-(0)=6；由得f"+(0)=6，

从而f"(0)=6，于是

由得f'''-(0)=-6；由得f'''+(0)=6，

因为f'''-(0)≠f'''+(0)，所以f'''(0)不存在，故f(n)(0)存在的最高阶数为n=2.

2.

设函数y=y(x)可导并满足y"+(x-1)y'+x2y=ex，且y'(0)=1，若求a．正确答案：[解]由得y(0)=0，

得y"(0)=2a，

将y(0)=0，y'(0)=1代入原方程得y"(0)=2，故a=1.

3.

设f(x)是以4为周期的可导函数，求y=f(x)在(5，f(5))处的法线方程．正确答案：[解]由

因为f(x)以4为周期，所以

故y=f(x)在(5，f(5))的法线方程为

4.

设y=f(x)与y=si