考研数学二分类模拟218

考研数学二分类模拟218一、选择题1.

设方程组Ax=0有非零解。α是一个三维非零列向量，若Ax=0的任一解向量都可由α线性表示，则a=______A.1B.-2C.1或-2D.-1正确答案：B[解析]由于Ax=0的任一解向量都可由α线性表示，所以α是Ax=0的基础解系，即Ax=0的基础解系只含一个解向量，因此r(A)=2。

由方程组Ax=0有非零解可得，|A|=(a-1)2(a+2)=0，即a=1或-2。当a=1时，r(A)=1，舍去；当a=-2时，r(A)=2。故选B。

2.

已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中是Ax=0的解向量的是______A.(1，-1，3)TB.(2，1，-3)TC.(2，2，-5)TD.(2，-2，6)T正确答案：B[解析]如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解。因此选项A、D均不是Ax=0的解。

由于α1，α2是Ax=0的基础解系，所以Ax=0的任何一个解η均可由α1，α2线性表示，即方程组x1α1+x2α2=η必有解，而

可见第二个方程组无解，即(2，2，-5)T不能由α1，α2线性表示。故选B。

3.

某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为则自由变量可取为,

①x4，x5；

②x3，x5；

③x1，x5；

④x2，x3。

那么正确的共有______A.1个B.2个C.3个D.4个正确答案：B[解析]因为系数矩阵的秩r(A)=3，则n-r(A)=5-3=2，故应当有两个自由变量。

由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量。同理，x3，x5不能是自由变量。

而x1，x5与x2，x3均可为自由变量，因为行列式都不为0。

故选B。

4.

设A是秩为n-1的n阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是______A.α1+α2B.kα1C.k(α1+α2)D.k(α1-α2)正确答案：D[解析]因为A是秩为n-1的n阶矩阵，所以Ax=0的基础解系只含一个非零向量。又因为α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，所以α1-α2必为方程组Ax=0的一个非零解，即α1-α2是Ax=0的一个基础解系，所以Ax=0的通解必定是k(α1-α2)。

此题中A、B、C选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项A不正确；若α1=0，则选项B不正确；若α1=-α2≠0，则α1+α2=0，此时选项C不正确。故选D。

5.

设A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可以是______A.α1，α3B.α1，α2C.α1，α2，α3D.α2，α3，α1正确答案：D[解析]因为齐次线性方程组Ax=0的基础解系只包含一个向量(1，0，1，0)T，所以矩阵A的秩r(A)=4-1=3，A的伴随矩阵的秩r(A*)是由r(A)确定的，即r(A*)=1。

r(A*)=1n-r(A*)=4-1=3。

从而方程组A*x=0的基础解系包含三个线性无关的解向量，因此，A、B两项是错误的。

又因为A*A=|A|E和|A|=0，因此矩阵A的列向量α1，α2，α3，α4都是方程组A*x=0的解，由前面的分析可知r(A)=3，故向量组α1，α2，α3，α4的秩也是3，则其中三个线性无关的向量即为A*x=0的一个基础解系。

最后，因为(1，0，1，0)T是Ax=0的解，因此

即α1+α3=0，则α1=-α3，因此可知α1，α2，α4(或者α2，α3，α4)线性无关，是A*x=0的一个基础解系，故选D。

结合基础解系的定义及重要性质，可以将抽象的线性方程组的基础解系的计算过程总结为如下两个步骤：求r(A)；求Ax=0的n-r(A)个线性无关的解。

若要证明某向量组是Ax=0的基础解系，一般也可以按照类似的两步来进行：确定r(A)；说明该向量组是Ax=0的n-r(A)个线性无关的解。

整个求解及证明过程中有两个主要的考点：一是确定r(A)，二是说明向量组线性无关。一般来说，大多数考题会着重考查其中的一方面。

6.

设η1，η2，η3，η4是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是______A.η1-η2，η2+η3，η3-η4，η4+η1B.η1+η2，η2+η3+η4，η1-η2+η3C.η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1D.η1+η2，η2-η3，η3+η4，η4+η1正确答案：D[解析]方法一：由已知条件知Ax=0的基础解系由四个线性无关的解向量所构成。选项B中仅三个解向量，个数不合要求，故排除B项。

选项A和C中，都有四个解向量，但因为

(η1-η2)+(η2+η3)-(η3-η4)-(η4+η1)=0，(η1+η2)-(η2+η3)+(η3+η4)-(η4+η1)=0，

说明选项A、C中的解向量组均线性相关，因而排除A项和C项。故选D。

方法二：由

因为

知η1+η2，η2-η3，η3+η4，η4+η1线性无关，又因η1+η2，η2-η3，η3+η4，η4+η1均是Ax=0的解，且解向量个数为4。故选D。

7.

设”阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系______A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量正确答案：B[解析]由A*≠0可知，A*中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵A中至少有一个n-1阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有r(A)≥n-1。又因Ax=b有互不相等的解知，该方程组解存在且不唯一，故有r(A)＜n，从而r(A)=n-1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量。故选B。

8.

设A是m×n矩阵，AT是A的转置，若η1，η2，…，ηt为方程组ATx=0的基础解系，则r(A)=______A.tB.n-tC.m-tD.n-m正确答案：C[解析]r(AT)+t等于AT的列数，即r(AT)+t=m，所以r(AT)=m-t=r(A)。故选C。

二、填空题1.

已知齐次方程组有非零解，则a=______。正确答案：2[解析]齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于末知量的个数。由于

因此有r(A)＜3a=2。

2.

方程Ax=β无解，则a=______。正确答案：1或3[解析]已知方程组无解，所以r(A)≠r(A，β)。又因为r(A，β)=3，所以r(A)≤2，故有

|A|=0a=1或3。

3.

设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=______。正确答案：0[解析]η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得n-r(A)≥2，即r(A)≤3。又因为A是五阶矩阵，所以|A|的四阶子式一定全部为零，则代数余子式Aij恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0。

4.

设α1=(6，-1，1)T与α2=(-7，4，2)T是线性方程组

的两个解，则此方程组的通解是______。正确答案：(6，-1，1)T+k(13，-5，-1)T，k为任意常数[解析]一方面因为α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，所以一定有r(A)=＜3。另一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式

所以一定有r(A)≥2，因此必有r(A)==2。

由n-r(A)=3-2=1可知，导出组Ax=0的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知

α1-α2=(6，-1，1)T-(-7，4，2)T=(13，-5，-1)T

是导出组Ax=0的非零解，即基础解系，则方程组的通解为

x=(6，-1，1)T+k(13，-5，-1)T，k为任意常数。

5.

设A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是______。正确答案：k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2为任意常数[解析]|A|=0，且r(A)=2，所以r(A*)=1，则由n-r(A*)=2可知，A*x=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为k1η1+k2η2。又因为A*A=|A|E=O，所以矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2为任意常数。

6.

设A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是______。正确答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T，k1，k2为任意常数[解析]因为矩阵A的秩是2，所以|A|=0，且r(A*)=1。再由A*A=|A|E=O可知，A的列向量为A*x=0的解，因此A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T，k1，k2为任意常数。

三、解答题1.

设

(Ⅰ)计算行列式|A|；

(Ⅱ)当实数a为何值时，方程组Ax=b有无穷多解，并求其通解。正确答案：解：(Ⅰ)

(Ⅱ)对方程组的增广矩阵作初等行变换，得

要使原线性方程组有无穷多解，则有1-a4=0且-a-a2=0，即a=-1。

当a=-1时，

可知导出组的基础解系为(1，1，1，1)T，非齐次方程的特解为(0，-1，0，0)T，故其通解为

(0，-1，0，0)T+k(1，1，1，1)T，其中k为任意常数。

2.

设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C。正确答案：解：令则

由AC-CA=B得

该方程组是四元非齐次线性方程组，如果C存在，此线性方程组必须有解。对增广矩阵作初等行变换，得

当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在C，使AC-CA=B。此时增广矩阵变换为

所以通解为

3.

设矩阵E为三阶单位矩阵。

(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；

(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B。正确答案：解：(Ⅰ)对系数矩阵A进行初等行变换如下：

得到方程组Ax=0的同解方程组

得到Ax=0的一个基础解系

(Ⅱ)显然矩阵B是一个4×3矩阵，设对增广矩阵进行初等行变换如下：

由方程组可得矩阵B对应的三列分别为

即满足AB=E的所有矩阵为

其中c1，c2，c3为任意常数。[解析]求解矩阵方程的基本思路是通过逆矩阵完成计算，当A可逆的时候，方程Ax=B可以直接通过公式X=A-1B来计算；如果矩阵A不是可逆矩阵，就只能通过本题中结合线性方程组的方式来求解了，现总结如下：令X=(x1，…，xn)，B=(b1，…，bn)，则AX=(Ax1，…，Axn)，对比AX=B可知Axi=bi，i=1，2，…，n，求解这n个线性方程组，再代入X=(x1，…，xn)，即可得到矩阵X。

4.

已知线性方程组

问a，b为何值时，方程组有解，并求出方程组的通解。正确答案：解：

方程组有解

当a=1且b=3时，

原方程组等价于该方程组对应的齐次方程组为

选x3，x4，x5为自由未知量，令得齐次方程组的一个基础解系

令得方程组的一个特解则方程组的通解为

x=η+k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3，

其中k1，k2，k3为任意常数。

5.

设η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k1，…，ks为实数，满足k1+k2+…+ks=1。证明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程组的解。正确答案：证明：由于η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，故有Aηi=b(i=1，…，s)。

因为k1+k2+…+ks=1，所以

Ax=A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+…+kxAηs=b(k1+…+ks)=b，

由此可见x也是方程组的解。

6.

设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，

β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，

其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。正确答案：解：因为βi(i=1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的线性组合，且α1，α2，…，αs是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知βi(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解。

从α1，α2，…，αs是Ax=0的基础解系知s=n-r(A)。

以下分析β1，β2，…，βs线性无关的条件。

设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即

(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks-1+t1ks)αs=0，

由于α1，α2，…，αs线性无关，所以

又因系数矩阵的行列式

当时，方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。因此当s为偶数且t1≠±t2，或当s为奇数且t1≠-t2时，β1，β2，…，βs线性无关，即为Ar=0的一个基础解系。[解析]说明向量组α1，…，αk是齐次线性方程组Ax=0的基础解系的过程可以概括成一句话：证明α1，…，αk是Ax=0的n-r(A)个线性无关的解。具体来说，一般可以分为如下三步：先说明该向量组中向量均为齐次线性方程组的解，再说明该向量组线性无关，最后说明k=n-r(A)。

7.

已知方程组

的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn,2n)T。试写出线性方程组

的通解，并说明理由。正确答案：解：由题意可知，线性方程组(2)的通解为

y=c1(a11，a12