考研数学二分类模拟262

考研数学二分类模拟262解答题1.

正确答案：解：当n→∞时，又由

可知，

根据导数的定义，有

[考点]等价无穷小及导数的定义．

[解析]利用导数定义的变形形式求解．

2.

设A是3阶对称矩阵，各行元素之和为6，且A的伴随矩阵为零矩阵，求A.正确答案：解：由于A的各行元素之和为6，所以A≠O，即r(A)≥1．而若r(A)≥2，则A至少有一个2阶子式非零，这与A*=O矛盾，所以r(A)=1．设A的第1行为(a，b，c)，其中a+b+c=6，则A的第2行和第3行可设为(ka，kb，kc)，(la，lb，lc)，再结合ka+kb+kc=la+lb+lc=6可知k=l=1，所以

又由于A为对称矩阵，所以a=b=c=2，即

[考点]矩阵的性质．

[解析]根据条件先得到A的秩，再根据对称矩阵的条件求A.

3.

若e-x是函数f(x)的一个原函数，求：

(1)∫f(x)dx；

(2)∫f'(x)dx；

(3)∫exf'(x)dx.正确答案：解：由题意知，f(x)=(e-x)'=-e-x．

(1)∫f(x)dx=∫(-e-x)dx=e-x+C．

(2)∫f'(x)dx=∫e-xdx=-e-x+C．

(3)∫exf'(x)dx=∫1dx=x+C.[考点]原函数的基本概念和性质．

[解析]根据原函数的定义求函数f(x)．

熟练掌握原函数，不定积分的定义及性质．

4.

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=f'(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分正确答案：解：由题意

[考点]二重积分的计算，分部积分法．

[解析]本题由于被积函数含有偏导数，故可利用分部积分法．

本题具有一定的综合性，将二重积分的计算与分部积分法的使用结合了起来．

5.

已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f(1，1)=2．求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．正确答案：解：由dz=2xdx-2ydy知

故f(x，y)=x2-y2+C.

又由f(1，1)=2得C=2，故f(x，y)=x2-y2+2.

在D的内部，由得驻点(0，0)，且f(0，0)=2．

在D的边界上，把y2=4(1-x2)代入f(x，y)，得

z=x2-4(1-x2)+2=5x2-2(-1≤x≤1).

令z'=10x=0，得x=0，且z|x=0=-2，z|x=±1=3．

综上所述，f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为-2．[考点]求二元函数在闭区域上的最值，已知全微分求函数的表达式．

[解析]本题应先求出f(x，y)的表达式，再求在D上的最值．

本题将已知全微分求函数表达式与求二元函数在闭区域上的最值结合了起来．

6.

设A，B为n阶矩阵，A有行个互异的特征值，且AB=BA，证明：B可以相似对角化．正确答案：解：A可相似对角化，即

因为AB=BA，，故

因为与对角矩阵可交换的也是对角矩阵，所以PBP-1为对角矩阵，即B可以相似对角化．[考点]矩阵相似对角化的判别．

[解析]借助矩阵乘法的交换性实现对角化．

本题思路具有一定新颖性，符合现在的命题趋势．

7.

设矩阵求矩阵B，使得B*=A.正确答案：解：由r(B*)=1知r(B)=2．由B*B=O可知B的列向量为方程组B*x=0的解．其基础解系为

α1=(-1，1，0)T，α2=(-1，0，1)T．

令B=(α1，α2，α3)，

其中α3=(k1+k2，-k1，-k2)T．由BB*=O可得k1=k2=1，从而

[考点]齐次线性方程组的变形．

[解析]利用伴随矩阵的性质转化为齐次线性方程组的求解．

涉及伴随矩阵的题目，请大家务必联想到重要公式：AA*=A*A=|A|E.本题便是利用这一公式，将问题巧妙转化为齐次线性方程组的求解．

8.

求函数z=f(x，y)=x2+y2-2x-4y在区域D={(x，y)|x2+y2≤20，y≥0}上的最大值和最小值．正确答案：解：解方程组得D内部的驻点(1，2)，且有f(1，2)=-5．

在D的边界上，把y=0代入f(x，y)，得

易知该函数在内有最小值-1，无最大值．

在D的边界代入f(x，y)，得

由于z|x=2=0，z|x=-2=8，，故该函数在上有最大值和最小值0，从而f(x，y)在D的边界上有最大值和最小值-1．

综上所述，f(x，y)在D上的最大值为，最小值为[考点]求二元函数在闭区域上的最值．

[解析]本题应先求f(x，y)在D内部的驻点处的函数值，再求f(x，y)在D边界上的最值，最后比较两者的大小．

注意本题切莫忽略D的边界y=0.

9.

设函数u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式确定a，b的值，使等式在变换ζ=x+ay，η=x+by下简化为正确答案：解：

[考点]已知偏导数求参数的值．

[解析]本题应先根据ζ=x+ay，η=x+by分别求出再将其代入从而求出a，b的值．

10.

计算二重积，其中D是由直线x+y=1与坐标轴所围成的平面区域．正确答案：解：解法1令u=y-x，v=y+x，则，D变为由v=u，v=-u与v=1围成的区域D'，且

于是

[考点]二重积分的计算．

[解析]本题被积函数的形式较复杂，可以先换元再计算二重积分．

在利用换元法计算二重积分时，积分区域也应一起换．

求数列极限：11.

．正确答案：解：因为sin(x±nπ)=(-1)nsinx，所以

[考点]含三角函数的数列极限求解．

[解析]恒等变形求极限．

当求数列极限出现根号加减的情况时，可以考虑有理化，另外，需熟记以下三角恒等公式(n∈Z+)：

(1)sin(x±nπ)=(-1)nsinx，sin(x±2nπ)=sinx；

(2)sinnπ=0，cosnπ=(-1)n．

12.

正确答案：解：因为sin(x±2nπ)=sinx，所以

[考点]含三角函数的数列极限求解．

13.

计算∫f(x)dx．正确答案：解：

[考点]不定积分的运算．

[解析]利用已知条件给出函数的表达式，求解不定积分．

14.

设f(x)=3x3+|x|x2，求f(n)(0)存在的最高阶数n．正确答案：解：

即f'(0)=0，故

由二阶导数定义得

即f"(0)=0，因此

再由三阶导数定义可得

因为，所以f'"(0)不存在，从而n=2．[考点]含绝对值表达式的可导性判定．

[解析]将绝对值函数转化为分段函数求分界点处的高阶导数．

15.

求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．正确答案：解：

在点处，由于且A＞0，故f(x，y)有极小值[考点]求多元函数的极值．

[解析]本题可先后利用二元函数取得极值的必要条件和充分条件求极值．

本题是一道基础题，熟练掌握多元函数取极值的充分条件．

16.

试确定两条心脏线ρ=a(1-cosθ)和ρ=a(1+cosθ)(a＞0)交点处的切线的位置关系是垂直还是平行．正确答案：解：曲线ρ=a(1+cosθ)化为参数方程

其斜率为

曲线ρ=a(1-cosθ)化为参数方程为

其斜率为

求两曲线的交点．由解得cosθ=0，于是两曲线的两个交点的极坐标分别为．

在，因为k1k2=-1，所以两曲线在交点处的切线互相垂直．

在，因为k1k2=-1，所以两曲线在交点处的切线互相垂直．[考点]极坐标系下方程的求导．

[解析]将方程转化为关于θ的参数方程求导，通过切线斜率确定位置关系．

17.

正确答案：解：方程eysint-y+1=0两边对t求导，得

因此

[考点]参数方程求导．

[解析]由方程确定的隐函数求导结合参数方程求导法求解．

参数方程确定的函数求导是考研数学的重点，也是难点．本题结合方程确定的隐函数来确定参数关系，在求二阶导数时，特别要注意一阶导数中的自变量和因变量．

已知3阶矩阵A与3维列向量x使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x=0.18.

记P=(x，Ax，A2x)，求3阶矩阵B，使得A=PBP-1．正确答案：解：由于AP=PB，即

[考点]矩阵的相似．

[解析]利用表示矩阵得到相似关系．

判断矩阵的相似关系在很多情况下是借助表示矩阵来实现的．

19.

计算行列式|A+E|．正确答案：解：由第一问知A～B，那么A+E～B+E，从而

[考点]矩阵的相似．

20.

设向量组α1，α2，…，αs线性无关，且可以由向量组β1，β2，…，βt线性表示，证明：必存在某个向量βj(j=1，2，…，t)，使得向量组βj，α2，…，αs线性无关．正确答案：解：反证法．假设不存在βj使得向量组βj，α2，…，αs线性无关，则对任何βj(j=1，2，…，t)都有βi，α2，…，αs线性相关．由于α1，α2，…，αs线性无关，所以它的部分组α2，…，αs也线性无关，从而由βj，α2，…，αs线性相关得βj(j=1，2，…，t)可由α2，…，αs线性表示．又已知安抚2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表示，所以α2，…，αs与β1，β2，…，βt等价，从而r(β1，β2，…，βt)=r(α2，…，αs)=s-1．另外，由α1，α2，…，αs线性无关，且可以由向量组β1，β2，…，βt，线性表示，可得s=r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βs)=s-1，矛盾，

所以，必存在某个向量βj(j=1，2，…，t)，使得向量组βi，α2，…，αs线性无关．[考点]线性相关性的证明．

[解析]利用反证法．

线性相关性的证明