考研数学二分类模拟235

考研数学二分类模拟235解答题1.

设f(x)在[a，b]上具有三阶导数，试证：，使得

正确答案：证1：待定系数法．设k为使下式成立的实数

这时，问题归结为证明：，使得

k=f"'(c)③

为此，令

由④②两式得

g(a)=g(b)=0

根据罗尔中值定理，，使得g'(ξ)=0，即

这是关于k的方程，将f'(ξ)在点处利用泰勒定理展开可得

其中c∈(a，b)，比较⑤⑥可得式③．证毕．

证2：利用泰勒定理，将f(a)，f(b)在点处展开可得

其中．

则⑧-⑦可得

即

由于f(x)在[ξ1，ξ2]具有三阶导数，则由导数的介值性定理(达布定理)，存在c∈[ξ1，ξ2]使得

即，使得

[考点]一元函数微积分

2.

求．正确答案：解：记，则

所以，故，从而，于是原极限等于．[考点]函数、极限

3.

在曲面x2+y2+z2=1上求点p0(x0，y0，z0)，且x0≥0，y0≥0，z0≥0使该点处曲面的切平面与三坐标面围成的四面体的体积最小．正确答案：解：过点(x0，y0，z0)的切平面方程为

x0(x-x0)+y0(y-y0)+z0(z-z0)=0

即x0x+y0y+z0z=1，此平面与三坐标轴截距为，因此四面体的体积．

原问题化为求V在限制条件下的极小值点．

作拉格朗日函数

令L'x0=L'y0=L'z0=L'λ=0，得

解得，故，且最小体积为．[考点]多元函数微分学

4.

设，B是三阶非零矩阵，满足AB=0，求t.正确答案：解：由AB=0，得r(A)+r(B)≤3，而r(B)≥1，所以r(A)≤2．由于，即矩阵A存在一个非零的二阶子式，因此r(A)≥2，于是r(A)=2．

由

故得t=1．

注设A，B分别是s×n，n×m阶矩阵，若AB=0，则r(A)+r(B)≤n．

这个结论是常考常用的结论，请读者牢记![考点]矩阵

5.

设，求．正确答案：解：由于A*A=|A|E=2E，令A=(α1，α2，α3)，即A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以，于是

[考点]矩阵

6.

设，g(x)=sinx，讨论f[g(x)]的连续性．正确答案：解：当2kπ≤x≤(2k+1)π时，sinx≥0；

当(2k+1)π＜x<(2k+2)π时，sinx＜0．

所以

因此f[g(x)]在点x=kπ(k∈Z)处都不连续，在其他点处都连续．[考点]函数、极限

7.

设函数f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0．在(0，1)内，有|f'(x)|≤f(x)．证明：f(x)≡0．正确答案：证明：当时，存在ξ1∈(0，x)，有f(x)-f(0)=f'(ξ1)x，，同理有ξ2∈(0，ξ1)，使．

从而有．由于f(x)在[0，1]上连续，故有界，所以，故f(x)≡0，．

当时，在上用拉格朗日中值定理，存在，使得，而由上知，所以

同理有ξ2∈(0，ξ1)，使，以下证明过程同时的讨论(请读者自行完成)．

综上，在(0．1)中，f(x)≡0[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

8.

证明：当x＞0，t≤x时

正确答案：证明：当t=0或t=x时，不等式显然成立．只需证明x＞0，t＜x，t≠0的情况．为此，只需证明x趋于+∞时，单调递增且趋于e-t即可．事实上，先证明f(x)单调递增．当x＞0，t≠0，t＜x时，令，则

其中

则显然[lnf(x)]'≥0，即，从而f'(x)≥0，于是f(x)单调递增

证毕．[考点]一元函数微积分

求下列极限：9.

；正确答案：解：因为，所以

于是原极限等于．[考点]极限、连续及其应用

10.

．正确答案：解：因为，以及，所以根据极限的夹逼准则得．[考点]极限、连续及其应用

11.

求．正确答案：解：，即In=nIn-1，利用递推公式及，得In=n(n-1)…2·1I0=n!．[考点]不定积分、定积分、反常积分

12.

计算n阶行列式

正确答案：解：加边法．将Dn增加一行、一列构成Dn+1，如下

对行列式Dn+1的第1行乘以-xi分别加到第i+1行(i=1，2，…，n)，得

再将第i列乘以xi-1(i=2，3，…，n+1)加到第1列，得

[考点]行列式

13.

计算．正确答案：解1：令t=cosx，则dt=-sinxdx

解2：令，则

[考点]一元函数微积分

14.

如图所示，为阿基米德螺线r=aθ(a＞0，θ≥0)，图中S1，S2，…分别表示螺线每相邻两卷之间的面积．证明：S1，S2，…成等差数列．

正确答案：证明：根据极坐标形式下的面积计算公式，先求出

注意到

S1=A1-A0，S2=A2-A1，…

故得

由此可见S1，S2，…成等差数列，公差为8a2π3．[考点]一元函数微积分

15.

将e2x-x2展开到含x5的项．正确答案：解：[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

16.

证明：r(AB)≤r(B)．正确答案：证明：不妨设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵，故AB为m×s阶矩阵，将B，AB按行向量分块为，于是

即

γi=ai1β1+ai2β2+…+ainβn

(i=1，2，…，m)

所以AB的行向量γi(i=1，2，…，m)均可由B的行向量线性表出，故r(AB)≤r(B)．[考点]向量

17.

设函数y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，求曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程．正确答案：解：方程两边同时求导得，即，故f'(1)=1，所以曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程为y-1=1·(x-1)，即x-y=0．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

18.

计算，其中D={(x，y)||x|+|y|≤1}．正确答案：解：记

D1=D∩{(x，y)|x≥0}

D2=D∩{(x，y)|x≤0}

则D1，D2关于y轴对称．设f(x，y)=xy2e|x|．因为f(-x，y)=-f(x，y)，所以．[考点]多元函数微积分

[解析]当积分区域及被积函数具有某种对称性时，可以简化积分计算．

19.

证明：当时，3arccosx-arccos(3x-4x3)=π．正确答案：证明：当时，由于

故有

其中C为常数．令x=0，代入上式，即可求出C=π．于是

由于上述左端函数在处左连续，在处右连续，分别取极限即知上式当时也成立，于是

[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

设向量α1=(a，1，1)T，α2=(1，a，1)T，α3=(1，1，a)T，β=(0，3，a-1)T，试求：20.

a取何值时，β不能由向量组α1，α2，α3线性表出；正确答案：解：根据向量组的线性表出与线性方程组的关系可知，向量β不能由向量线性表出、表示式唯一、表示式不唯一的充分必要条件分别是非齐次线性方程组

x1α1+x2α2+x3α3=β

或

Ax=β

无解、有唯一解、有无穷多解，其中A=(α1，α2，α3)．又因为

当a=1时，r(A)=1，r(A，β)=2，方程组Ax=β无解，即β不能由向量组α1，α2，α3线性表出；[考点]矩阵、向量、方程组

21.

a取何值时，β可由向量组α1，α2，α3线性表出，且表示式唯一；正确答案：当a≠1且a≠-2时，r(A)=r(A，β)=3，方程组有唯一解，即β可由向量组α1，α2，α3线性表出，且表示式唯一；[考点]矩阵、向量、方程组

22.

a取何值时，β可由向量组α1，α2，α3线性表出，但表示式不唯一，并写出该表示式．正确答案：当a=-2时，r(A)=r(A，β)=2＜3，方程组有无穷多解，即β可由向量组α1，α2，α3线性表出，但表示式不唯一．此时

由此方程的解为

令x3=C，C∈R，得

x1=-1+C，x2=-2+C

则

β=(-1+C)α1+(-2+C)α2+Cα3[考点]矩阵、向量、方程组

23.

设0＜α＜1，x，y≥0，证明

xαy1-α≤αx+(1-α)y

①正确答案：证明：当y=0时，题目中式①显然成立．

当y＞0时，式①可改为

令

f(t)=αt+(1-α)-tα(t≥0)③

则

解f'(t)=0，得驻点t=1．