2025千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第26炼 求未知角的三角函数值含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第26炼求未知角的三角函数值含答案第26炼求未知角的三角函数值在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧一、基础知识：1、与三角函数计算相关的公式：（1）两角和差的正余弦，正切公式：①②③④⑤⑥（2）倍半角公式：①②③（3）辅助角公式：，其中2、解决此类问题的方法步骤：（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值（4）将结果整体代入到运算式即可3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。确定角的范围有以下几个层次：（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如：，则）（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为）（4）通过题目中隐含条件判断角的范围。例如：，可判断出在第一象限二、典型例题：例1：已知，，求：（1）（2）解：（1）已知的角为，而所求角,故可以考虑而而，故在第一象限（2）与（1）类似。考虑，则小炼有话说：（1）本题先利用已知角表示未知角，然后用已知角整体代换求解（2）注意在求已知角其他的三角函数值时，要确定已知角的范围，进而确定其他三角函数值的符号（3）本题第1问也可利用方程的思想，即来求解，但方程过于复杂，难于计算，要进行比较，体会题目所给方法的方便之处例2：已知，且.（1）求；（2）求.解：（1）（2）例3：已知，，求的值．解：小炼有话说：本题注意如何确定两个角的范围：利用已知条件和不等式性质求解例4：设，求解：例5：已知，则（）A.B.C.D.思路：所求角与相关，但题目中有，所以考虑利用消去，即，化简后可得：即答案：D例6：已知，且均为锐角，求解：①若为锐角，则根据在单调递增，可知，与条件矛盾，代入①可得：例7：已知，，，则_______思路一：考虑用已知角表示未知角，，从而，展开后即可利用已知角的三角函数进行整体代入，由和可知，但，所以不能判定的符号，所以由可得：，分别代入表达式可计算出或，由可知解：当时，当时，答案：思路二：本题以，为突破口，发现其三角函数值含有一定关系，计算出，从而，所以得到与的关系。结合可知，即，所以解：或，若即，与矛盾，故舍去若即，则：答案：小炼有话说：（1）在思路一中，虽然在计算的正弦时，没有办法简单地根据角的范围进行取舍，但是在最后的结果中会发现有一个解是不符合题意的。在解题过程中，要时刻关注角的范围，使之成为一道防线赶走不符合条件的解（2）思路二是从三角函数值的特点作为突破口，进而寻求已知条件中的角之间的关系，这也是对题目条件的一种妙用例8：已知，则的值是______________解：例9：已知，求思路：若要求出的值，则需要它的一个三角函数。所给条件均为正切值，所以也考虑计算，其中可由求出。再代入式子中可得：，下面考虑的范围。如果按照原始条件：可得，则或，但本题可通过进一步缩小的范围。由可知，由可知，所以，从而解：且且由可知例10：已知在中，，则角的大小为（）A.B.C.或D.思路：在中，可知，，所以若要求角，结合条件可知选择，将的两个方程平方后相加可得：，即，所以或，以为突破口，若，则，那么，且。与条件不符。所以解：即或若，则与条件不符故舍去第27炼三角函数的值域与最值一、基础知识1、形如解析式的求解：详见“函数解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式（1）降幂公式：（2）（3）两角和差的正余弦公式（4）合角公式：，其中2、常见三角函数的值域类型：（1）形如的值域：使用换元法，设，根据的范围确定的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出的三角函数值，进而得到值域例：求的值域解：设当时，（2）形如的形式，即与的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可例：求的值域解：设，即的值域为（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理（详见例5，例6）二、典型例题例1：已知向量（1）求函数的单调递增区间（2）当时，求的取值范围解：（1）单调递增区间为：（2）思路：由（1）可得：，从得到角的范围，进而求出的范围解：由（1）得：小炼有话说：对于形如的形式，通常可先计算出的范围，再确定其三角函数值的范围例2：已知函数（1）求函数的最小正周期和图像的对称轴方程（2）求函数在区间的值域解：（1）对称轴方程：（2）思路：将视为一个整体，先根据的范围求出的范围，再判断其正弦值的范围解：例3：函数的最大值为___________思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个三角函数。观察可得次数较低，所以不利于转化，而均可以用进行表示，确定核心项为，解析式变形为，化简后为，当时，答案：2小炼有话说：当解析式无法化成的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可例4：设函数，若，则函数的最小值是______思路：同例4考虑将解析式中的项统一，，进而可将作为一个整体，通过换元来求值域。解：设，由可得：，从而，所以所以最小值为答案：0例5：函数的值域为___________思路：可将视为研究对象，令，进而只需求的值域即可。解：令，可得答案：小炼有话说：要注意在时自身带范围，即例6：函数的值域为____________思路：可变形为，且可视为与连线的斜率的取值范围，为单位圆上的一点，所以问题转化为直线与圆有公共点的的范围。所以，解得：或，所以答案：小炼有话说：（1）对比例5和例6，尽管都是同一个角的分式值域，但是例5的三角函数名相同，所以可视为同一个量，利用换元求解，而例6的三角函数名不同，所以不能视为同一个量。要采取数形结合的方式。（2）本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下：所以的取值范围（即值域）要能保证存在使得等式成立所以只需，解得：例7：设函数的值域是，则实数的取值范围是_____________思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着计算角的范围为，可知，值域中最大值为1，所以说明经过，同时范围不能超过（否则最小值就要小于），从而可得，解得：答案：例8：已知函数的最大值为，且，则（）A.B.C.或D.或思路：观察到的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为的形式，通过变形可得：，所以最大值为，即①，再利用可得：②，通过①②可解得：，进而求出的值为或解：所以可得：另一方面：整理可得：，解得：当时，当时，的值为或例9：当时，函数的最小值为__________思路一：考虑将所有项转变为关于的三角函数，即，从而想到分式与斜率的关系，可视为，结合可得为单位圆半圆上的点，通过数形结合可