考研数学二分类模拟219

考研数学二分类模拟219一、选择题1.

已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α（江南博哥）1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]由α1+2α2-α3=β知

即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解。同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T均是Ax=β的解，则

η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T，

η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T

是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关。于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，则n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，故r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2。所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系。故选B。

2.

设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]根据线性方程组解的结构性质，易知2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T是Ax=0的一个非零解。故选C。

如果题目给出非齐次线性方程组的两个解向量，可直接将两者相减得到对应齐次线性方程组的一个非零解。

3.

已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]对于A、C选项，因为

所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确。

对于D选项，虽然β1-β2是非齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D选项也不正确。

事实上，对于B选项，由于α1，α1-α2与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，α1-α2也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由

可知是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，故选B。

4.

η1，η2是n元齐次方程组Ax=0的两个不同的解，若r(A)=n-1，则Ax=0的通解为______A.kη1B.kη2C.k(η1+η2)D.k(η1-η2)正确答案：D[解析]因为r(A)=n-1，所以Ax=0的基础解系只含有一个解向量，η1-η2为Ax=0的非零解，所以Ax=0的通解为k(η1-η2)。故选D。

5.

设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有______A.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解B.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解C.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解D.(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解正确答案：A[解析]如果α是(Ⅰ)的解，有Aα=0，可得

ATAα=AT(Aα)=AT0=0，

即α是(Ⅱ)的解。故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解。

反之，若α是(Ⅱ)的解，有ATAα=0，用αT左乘可得

0=αT0=αT(ATAα)=(αTAT)(Aα)=(Aα)T(Aα)，

若设Aα=(b1，b2，…，bn)，即么

(Aα)T(Aα)=b12+b22+…+bn2=0bi=0(i=1，2，…，n)，

即Aα=0，说明α是(Ⅰ)的解。因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解。故选A。

6.

设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有四个命题：

①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；

②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；

③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；

④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。

以上命题中正确的是______A.①②B.①④C.③④D.②③正确答案：A[解析]若Anα=0，则An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(Ⅰ)的解，则α必是(Ⅱ)的解，可见命题①正确。

如果An+1α=0，而Anα≠0，那么对于向量组α，Aα，A2α，…，Anα，一方面，若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的两边得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。类似地可得k1=k2=…=kn=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα线性无关。

但另一方面，这是n+1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故An+1α=0时，必有Anα=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解。因此命题②正确。

故选A。

7.

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：

①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)；

②若r(A)≥r(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；

③若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)；

④若r(A)=r(B)，则Ax=0与Bx=0同解。

以上命题中正确的有______A.①②B.①③C.②④D.③④正确答案：B[解析]由于线性方程组Ax=0和Bx=0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B。

下面证明①③正确。

对于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程组Bx=0含于Ax=0之中。从而Ax=0的有效方程的个数(即r(A))必不少于Bx=0的有效方程的个数(即r(B))，故r(A)≥r(B)。

对于③，由于A，B为同型矩阵，若Ax=0与Bx=0同解，则其基础解系包含的解向量的个数相同，即n-r(A)=n-r(B)，从而r(A)=r(B)。故选B。

8.

设A为n阶方阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解向量，A*是A的伴随矩阵，则______A.A*x=0的解均是Ax=0的解B.Ax=0的解均是A*x=0的解C.Ax=0与A*x=0没有非零公共解D.Ax=0与A*x=0恰好有一个非零公共解正确答案：B[解析]由题设知n-r(A)≥2，从而有r(A)≤n-2，故A*=O，任意n维向量均是A*x=0的解。故选B。

二、填空题1.

设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，则方程组Ax=b的通解是______。正确答案：[解析]由于r(A)=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4-r(A)=1个解向量。又因为

(α1+α2+2α3)-(3α1+α2)=2(α3-α1)=(0，-4，-6，-8)T

是Ax=0的解，所以其基础解系为(0，2，3，4)T，由

A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，

可知是方程组Ax=b的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是，k为任意常数。

2.

设(1，1，1)T，(2，2，3)T均为线性方程组的解向量，则该线性方程组的通解为______。正确答案：k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R[解析]该线性方程组的系数矩阵为已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵A不满秩，即r(A)＜3，又因为A的一个二阶子式所以r(A)≥2。故r(A)=2。

因此导出组Ax=0的基础解系中含有1个解向量，由线性方程组解的性质可知(2，2，3)T-(1，1，1)T=(1，1，2)T是Ax=0的解，即Ax=0的基础解系。

故原方程组的通解为k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R。

3.

设n阶矩阵A的秩为n-2，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则Ax=b的通解为______。正确答案：α1+k1(α2-α1)+k2(α3-α1)，k1，k2为任意常数[解析]α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则α2-α1，α2-α1是Ax=0的两个非零解，且它们线性无关。又n-r(A)=2，故α2-α1，α3-α1是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的通解为α1+k1(α2-α1)+k2(α3-α1)，k1，k2为任意常数。

4.

若则X=______。正确答案：其中x2，y2是任意常数[解析]矩阵不可逆，故可设可得线性方程组故x1=2-x2，y1=3-y2，所以

5.

已知齐次线性方程组

有通解k1(2，-1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T，则方程组

的通解是______。正确答案：k2(13，-3，1，5)T，k2为任意常数[解析]方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1)的通解

代入(2)的第三个方程，得

(2k1+3k2)-2(-k1+2k2)+0k2+k1=0，

即5k1=k2，将其代入(1)的通解中，得方程组(2)的通解为

5k2(2，-1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k2(13，-3，1，5)T，

其中k2为任意常数。

6.

已知方程组与方程(2)x1+5x3=0，则(1)与(2)的公共解是______。正确答案：k(-5，3，1)T，k为任意常数[解析]将方程组(1)和方程(2)联立，得到方程组(3)(3)的解就是两者的公共解。对(3)的系数矩阵作初等行变换可得

由于A的秩为2，所以自由变量有一个，令自由变量x3=1，代入可得x2=3，x1=-5，所以(3)的基础解系为η=(-5，3，1)T。因此(1)和(2)的公共解为是(-5，3，1)T，k为任意常数。

同解与公共解的问题考查方式可以是证明题(证明两线性方程组同解或有公共解)，也可以是判断题(判断两线性方程组是否同解或有公共解)，还可以是计算题(已知两线性方程组同解或有公共解，计算方程组中的参数或是求所有的公共解)。运用的基本知识还是线性方程组解的判定和解的结构的相关定理。

三、解答题1.

设矩阵A=(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2-a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程组Ax=b的通解。正确答案：解：已知a2，a3，a4线性无关，则r(A)≥3。又由a1，a2，a3线性相关可知a1，a2，a3，a4线性相关，故r(A)≤3。

综上所述，r(A)=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为4-3=1。又因为

所以x=(1，-2，1，0)T是方程组Ax=0的基础解系。

又由b=a1+a2+a3+a4可知x=(1，1，1，1)T是方程组Ax=b的一个特解。

于是原方程组的通解为

x=c(1，1，1，1)T+c(1，-2，1，0)T，c∈R。

2.

已知4×5矩阵A=(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α2，α3，α4，α5均为四维列向量，α1，α2，α4线性无关，又设α3=α1-α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2-α3+α4+α5，求Ax=β的通解。正确答案：解：由于α1，α2，α4线性无关，α3=α1-α4，α5=α1+α2+α4，所以r(A)=3。

由已知β=2α1+α2-α3+α4+α5，从而线性方程组Ax=β有特解η=(2，1，-1，1，1)T。

由α3=α1-α4，α5=α1+α2+α4，可知导出组Ax=0的两个线性无关的解为

ξ1=(1，0，-1，-1，0)T，ξ2=(1，1，0，1，-1)T。

由r(A)=3，可知齐次线性方程组Ax=0的基础解系由两个线性无关的解构成，故ξ1，ξ2为Ax=0的基础解系，方程组Ax=β的通解为x=η+k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2为任意常数。

3.

设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2。

(Ⅰ)证明：r(A)=2；

(Ⅱ)设β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解。正确答案：解：(Ⅰ)因为A有三个不同的特征值，所以A至多只有1个零特征值，故r(A)≥2。

又因为α3=α1+2α2，所以矩阵A的列向量组线性相关，故r(A)≤2。从而r(A)=2。

(Ⅱ)由r(A)=2可知，齐次线性方程组Ax=0的基础解系只有1个解向量。

再由α3=α1+2α2可得，α1+2α2-α3=0，从而可得Ax=0的基础解系为(1，2，-1)T。

由β=α1+α2+α3可得，Ax=β的特解为(1，1，1)T，所以Ax=β的通解为

k(1，2，-1)T+(1，1，1)T，其中k∈R。

4.

设方程组

与方程(2)x1+2x2+x3=a-1有公共解，求a的值及所有公共解。正确答案：解：把方程组(1)与(2)联立，得方程组

则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。

对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有

因方程组(3)有解，所以(a-1)(a-2)=0。

当a=1时，此时方程组(3)的通解为k(-1，0，1)T(k为任意常数)，即为方程组(1)与(2)的公共解。

当a=2时，此时方程组(3)有唯一解(0，1，-1)T，这也是方程组(1)与(2)的公共解。

5.

(Ⅰ)计算行列式|A|；

(Ⅱ)当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解。正确答案：解：(Ⅰ)

(Ⅱ)方程组Ax=β的增广矩阵为

要使得方程组Ax=β有无穷多解，则有1-a4=0及-a-a2=0，可知a=-1符合题意。

此时，原线性方程组增广矩阵为

进一步化为行最简形得

则基础解系为非齐次方程的特解为故其通解为

6.

设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1，1，-1，-1，1)T，β2=(1，-