考研数学二分类模拟213

考研数学二分类模拟213一、选择题1.

设n阶方阵A，B，C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有______A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E正确答案：D（江南博哥）[解析]由题设ABC=E，可知

A(BC)=E或(AB)C=E，

即A与BC以及AB与C均互为逆矩阵，从而有

(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E，

比较四个选项，故选D。

2.

下列命题中正确的是______

①如果矩阵AB=E，则A可逆且A-1=B；

②如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E；

③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆；

④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。A.①②B.①④C.②③D.②④正确答案：D[解析]如果A，B均为n阶矩阵，命题①当然正确，但是题中没有n阶矩阵这一条件，故①不正确。

例如

显然A不可逆。

若A，B为n阶矩阵，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，则可知A，B均可逆，于是仙A=B-1，从而BABA=E，即(BA)2=E。因此②正确。

若设

显然A，B都不可逆，但可逆，可知③不正确。

由于A，B均为n阶不可逆矩阵，知|A|=|B|=0，且结合行列式乘法公式，有|AB|=|A||B|=0，故AB必不可逆。因此④正确。

故选D。

3.

设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则

①若A可逆，则B可逆；

②若B可逆，则A+B可逆；

③若A+B可逆，则AB可逆；

④A-E可逆。

上述命题中，正确的个数为______A.1B.2C.3D.4正确答案：D[解析]由AB=A+B，有(A-E)B=A。若A可逆，则

|(A-E)B|=|A-E|×|B|=|A|≠0，

所以|B|≠0，即矩阵B可逆，从而①正确。

同①类似，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故②正确。

因为AB=A+B，若A+B可逆，则有AB可逆，即③正确。

对于④，用分组因式分解，即

AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E，

所以得A-E可逆，④正确。

故选D。

常用的矩阵可逆的充要条件有下面几个：①存在可逆矩阵B，使得AB=BA=E；②|A|≠0；③r(A)=n；④齐次线性方程组Ax=0仅有零解；⑤非齐次线性方程组Ax=b有唯一解；⑥A的特征值全不为零。

4.

设A=E-2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξTξ=1，则

①A是对称矩阵；

②A2是单位矩阵；

③A是正交矩阵；

④A是可逆矩阵。

上述结论中，正确的个数是______A.1B.2C.3D.4正确答案：D[解析]AT=(E-2ξξT)T=ET-(2ξξT)T=E-2ξξT=A，①成立。

A2=(E-2ξξT)(E-2ξξT)=E-4ξξT+4ξξTξξT=E-4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E，②成立。

由①②，得A2=AAT=E，故A是正交矩阵，③成立。

由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A-1=AT，④成立。

故选D。

5.

设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则______A.交换A*的第1列与第2列得B*B.交换A*的第1行与第2行得B*C.交换A*的第1列与第2列得-B*D.交换A*的第1行与第2行得-B*正确答案：C[解析]由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A=B，由于A可逆，可知B也可逆，故

即A*E12=-B*，故选C。

6.

设A为n阶可逆矩阵，且n≥2，则(A-1)*=______A.|A|A-1B.|A|AC.|A-1|A-1D.|A-1|A正确答案：D[解析]根据伴随矩阵的定义可知

(A-1)*=|A-1|(A-1)-1=|A-1|A。

故选D。

7.

设A为3阶矩阵，P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵，使得P-1AP=则A(α1+α2+α3)=______A.α1+α2B.α2+2α3C.α2+α3D.α1+2α2正确答案：B[解析]因为α1+α2+α3=(α1，α2，α3)(1，1，1)T=P(1，1，1)T，所以

8.

设则B=______A.P1P3AB.P2P3AC.AP3P2D.AP1P3正确答案：B[解析]矩阵A作两次初等行变换得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再互换第一、二两行得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3A正是后者。故选B。

二、填空题1.

设A*为A的伴随矩阵，则(A*)-1=______。正确答案：[解析]由A*=|A|A-1可得

2.

设正确答案：[解析]|A|=1，|B|=(2-1)(3-1)(3-2)=2，所以A，B均可逆，则也可逆。

由A*A=AA*=|A|E可得|A*|=|A|2-1=1，同理可得|B*|=|B|3-1=4，且

如果A，B均为可逆矩阵，则均可逆，且

3.

设矩阵A的伴随矩阵则A=______。正确答案：[解析]由AA*=|A|E可得A=|A|(A*)-1，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得|A*|=-8=|A|3，因此|A|=-2，又

所以

4.

已知三阶矩阵A的行列式|A|=-3，A*为A的伴随矩阵，AT为矩阵A的转置。如果kA的逆矩阵为则k=______。正确答案：[解析]由|A|=-3可知A*=|A|A-1=-3A-1，即k4的逆矩阵为而(kA)-1=k-1A-1，所以

5.

已知ABC=D，其中则B*=______。正确答案：[解析]|A|=1，|C|=-1，|D|=6，即矩阵A，B，D均可逆。由ABC=D可得B=A-1DC-1，且|B|=|A-1||D||C-1|=-6。于是

6.

已知矩阵X满足A*X=A-1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X=______。正确答案：[解析]左乘矩阵A，并把等式AA*=|A|E代入已知矩阵方程，得|A|X=E+2AX，移项可得(|A|E-2A)X=E，因此X=(|A|E-2A)-1。

已知|A|=4，所以

7.

已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，-1)T，α3=(-1，1，0)T，且Aα1=(2，1)T，Aα2=(-1，1)T，Aα3=(3，-4)T，则A=______。正确答案：[解析]利用分块矩阵，得A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=那么

8.

设矩阵等价，则a=______。正确答案：2[解析]记对矩阵B作初等行变换可得

则r(B)=2。由于矩阵A与B等价，所以r(A)=2，则

|A|=(a-2)(a+1)2=0，

故a=2或-1。但当a=-1时，r(A)=1，所以a=2。

9.

设三阶方阵A，B满足A-1BA=6A+BA，且则B=______。正确答案：[解析]将A-1BA=6A+BA变形可得(A-1-E)BA=6A，即B=6(A-1-E)-1。

又因为所以

10.

已知且A2-AB=E，其中E是三阶单位矩阵，则B=______。正确答案：[解析]|A|=-1≠0，在等式A2-AB=E两边同时左乘A-1得A-B=A-1，则

三、解答题1.

已知AB=A-B，证明A，B满足乘法交换律。正确答案：证明：由AB=A-B可得E+A-B-AB=E，即(E+A)(E-B)=E，这说明E+A与E-B互为逆矩阵，所以(E-B)(E+A)=E，将括号展开得BA=A-B，从而可得AB=BA，即A，B满足乘法交换律。

2.

已知三阶矩阵A和三维向量x，使得x，Ax，A2x线性无关，且满足

A3x=3Ax-2A2x。

(Ⅰ)记P=(x，Ax，A2x)，求三阶矩阵B，使A=PBP-1；

(Ⅱ)计算行列式|A+E|。正确答案：解：(Ⅰ)令等式A=PBP-1两边同时右乘矩阵P，得AP=PB，即

A(x，Ax，A2x)=(Ax，A2x，A3x)=(Ax，A2x，3Ax-2A2x)=所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)知A～B，那么A+E～B+E，从而

3.

设其中ai≠0，i=1，2，…，n，求A-1。正确答案：解：令由分块矩阵的逆可得

4.

设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。

(Ⅰ)计算并化简PO；

(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b。正确答案：解：(Ⅰ)由AA*=A*A=|A|E及A*=|A|A-1有

(Ⅱ)由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有

因为矩阵A可逆，行列式|A|≠0，故|Q|=|A|(b-αTA-1α)。

由此可知，Q可逆的充要条件是b=αTA-1α≠0，即αTA-1α≠b。

5.

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：

(Ⅰ)若|A|=0，则|A*|=0；

(Ⅱ)|A*|=|A|n-1。正确答案：证明：(Ⅰ)(反证法)假设|A*|≠0，则A*(A*)-1=E。又因为AA*=|A|E，且|A|=0，故

A=AE=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=0，

所以A*=O。这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时，有|A*|=0。

(Ⅱ)由于AA*=|A|E，两端同时取行列式得

|A||A*|=|A|n。

当|A|≠0时，|A*|=|A|n-1；当|A|=0时，|A*|=0。

综上，有|A*|=|A|n-1成立。

6.

设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵。证明(A*)T=(AT)*。正确答案：证明：因为A可逆，所以|A|=|AT|，且AA-1=E。

在AA-1=E两边同时取转置可得(A-1)TAT=E，即(AT)-1=(A-1)T，所以

(A*)T=(|A|A-1)T=|A|(A-1)T=|AT|(AT)-1=(AT)*。

7.

设A为n阶方阵，且n≥2。证明|A*|=|(-A)*|。正确答案：证明：方法一：设A=(aij)，|A|中元素aij的代数余子式为Aij，则|-A|中-aij的代数余子式Bij=(-1)n-1Aij。于是，(-A)*=(-1)n-1A*。所以

|(-A)*|=|(-1)n-1A*|=[(-1)n-1]n|A*|=|A*|。

方法二：若A不可逆，则(-A)和A*也不可逆，从而(-A)*也不可逆，故|A*|=|(-A)*|=0。

若A可逆，则由AA*=|A|E可得(-A)(-A)*=|-A|E，于是

(-A)*=|-A|(-A)-1=(-1)n|A|·(-1)A-1=(-1)n-1A*，

故有

|(-A)*|=|(-1)n-1A*|=(-1)(n-1)n|A*|=|A*|。

8.

已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式。证明：

(Ⅰ)aij=AijATA=E，且|A|=1；

(Ⅱ)aij=-AijATA=E，且|A|=-1。正确答案：证明：(Ⅰ)当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=A*A=|A|E。由于A*为n阶非零实矩阵(aij不全为零)，所以而tr(ATA)=tr