5.3.1函数的单调性课件高二数学人教A版选择性

第五章一元函数的导数及其应用5.3.1函数的单调性人教A版

数学

选择性必修第二册课程标准1.理解导数与函数单调性的关系.2.会利用导数判断或证明函数单调性,会利用导数求函数单调区间.3.理解函数图象与其导函数图象之间的关系.4.掌握已知函数单调性求参数取值范围的方法.基础落实·必备知识全过关知识点1

函数的单调性与其导数的关系在某个区间(a,b)内,如果

,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;在某个区间(a,b)内,如果

,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.

定义域的非空子集

f'(x)>0f'(x)<0名师点睛“在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)”是“函数f(x)在此区间内单调递增(减)”的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使f'(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性.例如函数f(x)=x3,在定义域(-∞,+∞)内是增函数,但因为f'(x)=3x2,所以f'(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.过关自诊1.如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?提示

f(x)在该区间内是常数函数.2.在区间(a,b)内,若f'(x)>0,则f(x)在此区间内单调递增,反之也成立吗?提示

不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等于零.也就是说f'(x)>0是y=f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件.3.[2023广西北海月考]函数y=ex-e2x的单调递增区间为

.答案

(2,+∞)

解析

令y'=ex-e2>0,可得x>2.故函数的单调递增区间为(2,+∞).4.[北师大版教材习题]讨论下列函数的单调性:(1)y=2x2-5x+4;(2)y=3x-x3.(2)y'=3-3x2=3(1-x2)=3(1+x)(1-x).由y'>0得-1<x<1;由y'<0得x>1或x<-1.因此,函数y=3x-x3在区间(-∞,-1)和(1,+∞)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增.知识点2

函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)内:导数的绝对值函数值变化函数的图象较大

比较“

”(向上或向下)

较小

比较“

”(向上或向下)

较快

陡峭较慢平缓名师点睛1.原函数的图象通常只看增减变化,而导函数的图象通常对应只看正负变化.2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系.过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)函数在某一点处的导数越大,函数的图象在该点处的切线越“陡峭”.(

)(2)函数在某个区间上变化得越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.(

)2.导数值与函数图象的变化趋势有何关系?×√提示

(1)在某一个区间内导数值为正,函数单调递增;导数值为负,函数单调递减.(2)函数图象越陡峭,导数的绝对值越大;函数图象越平缓,导数的绝对值越小.反之,亦成立.重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一函数图象与导函数图象间的关系【例1】

(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为(

)D解析

由函数的图象可知:当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正再为0,再负,再为0,再正,对照选项,应选D.(2)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(

)D解析

原函数先减再增,再减再增,且单调递增区间与单调递减区间的分界点情形只有选项D符合,故选D.规律方法

研究函数图象与导函数图象之间关系的方法导函数f'(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间),导函数f'(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间).变式训练1已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(

)C解析

当x<-1时,xf'(x)<0,∴f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,-1)内单调递增;当-1<x<0时,xf'(x)>0,∴f'(x)<0,故f(x)在区间(-1,0)内单调递减;当0<x<1时,xf'(x)<0,∴f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)内单调递减;当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.故选C.探究点二利用导数判断或证明函数的单调性【例2】

下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递增的是(

)A.y=cosx B.y=xexC.y=x3-x D.y=lnx-xB解析

A中,y'=-sin

x,当x>0时,y'的符号不确定;B中,y'=ex+xex=(x+1)ex,当x>0时,y'>0,故在区间(0,+∞)内单调递增;C中,y'=3x2-1,当x>0时,y'>-1;D中,y'=-1,当x>0时,y'>-1.故选B.规律方法

运用导数研究函数单调性的方法利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的单调性.变式训练2若函数y=xcosx-sinx在某区间内单调递增,则该区间可能为(

)C解析

∵y=xcos

x-sin

x,∴y'=cos

x-xsin

x-cos

x=-xsin

x.当x∈

时,sin

x>0,y'<0,函数单调递减,故A错误;当x∈

时,sin

x<0,y'<0,函数单调递减,故B错误;当x∈(π,2π)时,sin

x<0,y'>0,函数单调递增,故C正确;当x∈(0,π)时,sin

x>0,y'<0,函数单调递减,故D错误.故选C.探究点三利用导数求函数的单调区间角度1.求不含参数的函数的单调区间【例3】

[北师大版教材习题]讨论下列函数的单调性,并画出大致图象.(1)y=(x-1)ex;分析

根据函数解析式求出函数的导函数,根据导函数的符号确定函数单调区间.解

(1)y'=(x-1)'ex+(x-1)(ex)'=ex+(x-1)ex=xex.由y'>0得x>0,由y'<0得x<0,因此,函数y=(x-1)ex在区间(0,+∞)内单调递增;在区间(-∞,0)内单调递减.大致图象如图①.图①

图②

规律方法

求函数y=f(x)的单调区间的步骤确定函数y=f(x)的定义域→求导数f

'(x)→解不等式f'(x)>0,函数在解集与定义域的交集上单调递增→解不等式f'(x)<0,函数在解集与定义域的交集上单调递减变式训练3求下列函数的单调区间:(2)f(x)=ex-x.解

函数定义域为R,f'(x)=4-x2.令f'(x)>0,即4-x2>0,解得-2<x<2;令f'(x)<0,即4-x2<0,解得x<-2或x>2.故函数的单调递增区间是(-2,2),单调递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞).解

函数定义域为R,f'(x)=ex-1.令f'(x)>0,即ex-1>0,解得x>0;令f'(x)<0,即ex-1<0,解得x<0.故函数的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).角度2.求含参数的函数的单调区间【例4】

讨论函数f(x)=ax2+x-(a+1)lnx(a≥0)的单调性.分析

根据函数的定义域,结合导函数零点的大小,确定原函数的单调区间.由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.综上所述,当a≥0时,f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).变式探究本例条件不变,将a≥0改为a<0,讨论函数的单调区间.规律方法

解析式中含参数的函数的单调区间的求法(1)求解析式中含参数的函数的单调区间一般需要分类讨论:若函数的导函数的零点能够直接求出,则主要是根据导函数零点的大小分类讨论;若导函数的零点不能直接求出,则需要结合导函数是否存在零点分类讨论.(2)若导数的解析式是一个含参的二次三项式(或可化为二次三项式),如果二次项系数含参数,那么首先按照二次项系数为零、为正、为负分类讨论;如果二次项系数无参数,那么只需讨论导数为零对应方程的两个根x1,x2的大小.但是求解时要注意函数的定义域对函数的单调区间的限制.探究点四已知函数的单调性求参数的值或取值范围【例5】

已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.分析

f(x)为增函数

→f

'(x)≥0恒成立

→分离参数求a的取值范围

解

由已知得f'(x)=3x2-a,因为f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数.所以实数a的取值范围为(-∞,0].变式探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值.解

由f'(x)=3x2-a,①当a≤0时,f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.不符合题意.②当a>0时,令3x2-a=0,变式探究2若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.解

由题意可知f'(x)=3x2-a≤0在区间(-1,1)内恒成立,即a的取值范围是[3,+∞).变式探究3若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内不单调,求实数a的取值范围.解

∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.由f(x)不单调可知a>0.变式探究4若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.解

∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.由题意可知f'(x)=3x2-a<0在区间(-1,1)内有解,即a>3x2在区间(-1,1)内有解,因此a>(3x2)min.由于y=3x2在区间(-1,1)内的最小值为0,因此a>0.故实数a的取值范围是(0,+∞).规律方法

利用函数的单调性求参数,常用方法如下:1函数f(x)在区间D上单调递增⇒f'(x)≥0在区间D上恒成立2函数f(x)在区间D上单调递减⇒f'(x)≤0在区间D上恒成立3函数f(x)在区间D上不单调⇒f'(x)在区间D上存在异号零点4函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D,使得f'(x0)>0成立5函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D,使得f'(x0)<0成立6若已知f(x)在区间D上的单调性,区间D上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D是其单调区间的非空子集,从而求出参数的取值范围本节要点归纳1.知识清单:(1)函数的单调性与其导数的关系.(2)利用导数判断或证明函数的单调性.(3)利用导数求函数的单调区间.(4)由导数的信息画函数的大致图象.2.方法归纳:转化法,数形结合、分类讨论.3.常见误区:(1)容易忽略定义域的限制;(2)当单调区间不止一个时,连接符号易出错;(3)易疏忽求单调区间问题中区间的开闭情况.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516A级必备知识基础练1718192021221.[探究点一、二](多选题)如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下列判断正确的是(

)A.在(-2,1)上,f(x)单调递增B.在(1,2)上,f(x)单调递增C.在(4,5)上,f(x)单调递增D.在(-3,-2)上,f(x)单调递增BC解析

由题图知当x∈(-1,1),x∈(1,2),x∈(4,5)时,f'(x)>0,所以在区间(-1,1),(1,2),(4,5)上,f(x)单调递增,当x∈(-3,-2),x∈(-2,-1)时,f'(x)<0,所以在区间(-3,-2),(-2,-1)上,f(x)单调递减.2.[探究点三(角度1)]函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为(

)A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(-∞,0) D.(0,2)12345678910111213141516171819202122D解析

f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)<0,得0<x<2,所以f(x)的单调递减区间为(0,2).3.[探究点三(角度1)]函数f(x)=lnx-4x+1的单调递增区间为(

)12345678910111213141516171819202122A4.[探究点二]已知函数f(x)=+lnx,则下列选项正确的是(

)A.f(e)<f(π)<f(2.7) B.f(π)<f(e)<f(2.7)C.f(e)<f(2.7)<f(π) D.f(2.7)<f(e)<f(π)12345678910111213141516171819202122D5.[探究点四]若函数f(x)=lnx+x2-bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为(

)A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,2]12345678910111213141516171819202122B6.[探究点一]已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(

)12345678910111213141516171819202122B解析

由y=f'(x)的图象知,y=f(x)在[-1,1]上是单调递增的,且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢,故选B.7.[探究点三(角度1)]函数f(x)=(x2+x+1)ex的单调递减区间为

.

12345678910111213141516171819202122(-2,-1)解析

f'(x)=(2x+1)·ex+(x2+x+1)ex=ex(x2+3x+2)=ex(x+1)(x+2),令f'(x)<0,解得-2<x<-1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-2,-1).8.[探究点四]已知函数f(x)=x+blnx在区间(0,2)上不单调,则实数b的取值范围是

.

12345678910111213141516171819202122(-2,0)解析

f'(x)=1+,令g(x)=x+b(x>0),则g(x)在(0,+∞)上是单调递增的,故需g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,b>-2,所以b∈(-2,0).9.[探究点三(角度1)]求下列函数的单调区间:(1)f(x)=3+x·lnx;123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212210.[探究点三(角度2)·2023河北张家口期末]已知函数f(x)=-xeax.讨论函数f(x)的单调性.12345678910111213141516171819202122解

由已知得定义域为R,f'(x)=-(ax+1)eax,当a=0时,f'(x)<0,f(x)为减函数.12345678910111213141516171819202122B级关键能力提升练11.函数f(x)的定义域为R,f(1)=0,f'(x)为f(x)的导函数,且f'(x)>0,则不等式(x-2)f(x)>0的解集是(

)A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,1)∪(1,+∞)C.(0,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)12345678910111213141516171819202122A解析

由题意可知f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,又f(1)=0,(x-2)f(x)>0,所以当x>2时,由f(x)>0可知f(x)>f(1),即x>1,因此x>2;当x<2时,由(x-2)f(x)>0可知f(x)<0,即f(x)<f(1),因此x<1.所以不等式(x-2)f(x)>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),故选A.12.已知a∈R,则“a≤3”是“f(x)=2lnx+x2-ax在(0,+∞)内单调递增”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516171819202122A13.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的实数x,都有f'(x)+1<0,且f(1)=-1,则(

)A.f(0)<0 B.f(e)<-eC.f(e)>f(0) D.f(2)>f(1)12345678910111213141516171819202122B解析

构造g(x)=f(x)+x,则g'(x)=f'(x)+1.又f'(x)+1<0,所以g'(x)<0,所以函数g(x)在R上单调递减.所以g(e)<g(1),又g(1)=f(1)+1=-1+1=0,即f(e)+e<0,所以f(e)<-e.故选B.恒成立,则a的取值范围为(

)A.[4,+∞) B.(4,+∞)C.(-∞,4] D.(-∞,4)12345678910111213141516171819202122A15.若函数f(x)=ex-e-x+sin2x,则满足f(2x2-1)+f(x)>0的x的取值范围为(

)12345678910111213141516171819202122B16.(多选题)下列函数在定义域上为增函数的有(

)A.f(x)=2x4

B.f(x)=xexC.f(x)=x-cosx

D.f(x)=ex-e-x-2x12345678910111213141516171819202122CD解析

函数f(x)=2x4定义域为R,其导数为f'(x)=8x3,当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域R上不是增函数;函数f(x)=xex定义域为R,其导数为f'(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0,所以f(x)在定义域R上不是增函数;函数f(x)=x-cos

x定义域为R,其导数为f'(x)=1+sin

x≥0且不恒为0,所以f(x)在定义域R上是增函数;函数f(x)=ex-e-x-2x定义域为R,其导数为f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)在定义域R上是增函数.故选CD.17.若函数f(x)=2x2-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是

.

1234567891011121314151617181920212218.已知f(x)满足f(4)=f(-3)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是

.

12345678910111213141516171819202122(-3,4)解析

由函数y=f'(x)的图象可知,当x<0时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>0时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.因为f(4)=f(-3)=1,所以当x≤0时,由f(x)<1=f(-3),可得-3<x≤0;当x>0时,由f(x)<1=f(4),可得0<x<4.综上所述,不等式f(x)<1的解集为(-3,4).19.[2023上海浦东期末]已知定义在(-π,π)上的函数f(x)=xcos(x+φ)-cosx(0<φ<π)为偶函数,则f(x)的单调递减区间为

.

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