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文档简介

教考衔接8⇒破解解析几何问题常见的技巧

真题展示

A.（1，1）B.

（－1，2）C.（1，3）D.

（－1，－4）

解法分析解析几何是用代数方法研究几何问题中中学数学的重要分支，解题的

第一步通常是把几何条件转化为代数语言，即转化为方程或函数问

题；第二步再对代数式进行转化、化简与求值.因其条件复杂，运算量

大，一直是学生的“痛点”.如何在求解解析几何问题时简化运算步

骤，减少运算量，提升解题效率，下面就从常见的五种技巧入手，予

以例析.

破解解析几何问题常见的技巧技巧1

回归定义，化繁为简回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是

一种朴素而又重要的策略和思想方法.圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲

线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点.对于相关的圆锥曲线

中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到

化难为易、化繁为简、事半功倍的效果.

A.

B.

C.

D.

反思感悟

本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立｜

AF

1｜，｜

AF

2｜的等

量关系，从而快速求出双曲线实半轴长

a

的值，进而求出双曲线的离

心率，大大降低了运算量.技巧2

设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，在涉及求中

点弦所在直线的方程或弦的中点的轨迹方程等问题时，常用“点

差法”求解.

A.

＝1B.

＝1C.

＝1D.

＝1

反思感悟

本题设出

A

，

B

两点的坐标，却不求出

A

，

B

两点的坐标，巧妙

地表达出直线

AB

的斜率，通过将直线

AB

的斜率“算两次”建立几何

量之间的关系，从而快速解决问题.技巧3

巧用“根与系数的关系”化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离

公式计算长度的方法来解；也可以利用一元二次方程，使相关的点的

同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线

段长度间的关系.后者往往计算量小，解题过程简捷.

（1）当直线

AM

的斜率为1时，求点

M

的坐标；

（2）当直线

AM

的斜率变化时，直线

MN

是否过

x

轴上的一定

点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，

请说明理由.

反思感悟

技巧4

巧妙“换元”减少运算量变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是

变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标

准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化.变量换元法常用于求

解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题.

（1）求椭圆

E

的标准方程；

（2）求△

F

1

MN

的内切圆半径

r

最大时，直线

l

的方程.

技巧5

妙借向量，更换思路平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数

形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身

份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介.妙借向量，可以

有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果.

反思感悟

本题通过相关向量坐标的确定

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