2.5直线与圆的位置关系（第4课时）（课件）九年级数学上册（苏科版）

2.5直线与圆的位置关系（4）第4课时三角形的内切圆学习目标1．了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念，会作已知三角形的内切圆；2．会利用三角形的内切圆有关知识解决问题.问题导学要从一块三角形铁皮余料中剪一个圆，如何使剪得的圆面积最大？尝试与交流观察下图你有什么发现？要使剪得的圆面积最大，这个圆应与三角形的各边都相切.思考与探索如何作一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？●

O思考1作圆的关键是什么？确定圆心和半径.思考2怎样确定圆心的位置？CAB设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF.DEF由切线的性质定理得：OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∵OD＝OE＝OF，∴点O在∠A、∠B、∠C的平分线上.思考3怎样确定圆的半径？过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径.思考与探索已知：△ABC(如图).求作：和△ABC的各边都相切的圆.CMOANDB┛作法:1.作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，

BM和CN交点为O.2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.3.以点O为圆心，OD为半径作⊙O.⊙O就是所求的圆.有且只有一个概念讲解●

OCAB

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．

如图，⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的外切三角形．

注意：三角形的边与圆的位置关系称为切.而“内”、“外”是相对的.操作与思考1.在⊙O上任取三点D、E、F，分别过三点画⊙O的切线，使得3条切线两两相交，交点分别记为A、B、C.OD┛EFABC操作与思考2.所画的△ABC的各边都与⊙O_______，⊙O是△ABC的__________，△ABC是⊙O的_____________．ODEFABC相切

内切圆外切三角形一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.新知巩固1.要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆的圆心应是三角形

()A．三边高线的交点

B．三个角的平分线的交点C．三边垂直平分线的交点

D．三边中线的交点B新知巩固2.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是

()A B C DBCOABCABOCABO┛3.分别画出下图各个三角形的内切圆.观察内心的位置，想一想内心有什么性质？新知巩固归纳总结三角形内心的性质：①三角形的内心是三角形角平分线的交点．②三角形的内心到三边的距离相等．③三角形的内心一定在三角形的内部．归纳总结图形圆的名称三角形名称圆心名称确定圆心的方法圆心的性质三角形的内切圆三角形的外接圆圆的外切三角形圆的内接三角形三角形的内心(一定在三角形内部)三角形的外心(不一定在三角形内部)三角形的三条角平分线的交点三角形的三边垂直分线的交点到三角形的三边距离相等到三角形的三个顶点距离相等三角形的内心与外心对比例题讲解例1如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数.COABFED

例题讲解

思考2

当☉O

上有一点P(不与点E、F

重合)，∠EPF

的度数与∠A之间有什么关系？COABFEDP

思考1∠A与∠EDF之间有什么关系？

P例题讲解例2如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.(1)BD与ID相等吗？为什么？BADC●

I(1)解：连接BI.∵

I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，又∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD．∵∠BID＝∠ABI+∠BAD，∠DBI＝∠CBI+∠CBD，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝ID．例题讲解

●

IBADC例题讲解例3△ABC的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径.CABEFD●O解：设△ABC的内切圆⊙O的半径为r，切点分别为D、E、F.连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC

∵S△ABC＝24，∴12r＝24，r＝2.

变式

△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，求内切圆半径r的长．例题讲解┛BCA●OEFD解：∵∠ACB＝90°，

归纳总结

CAB●Oabc

新知巩固1.如图，O是△ABC的内心，根据下列条件求∠BOC的度数．OBAC(1)∠ABC＝50°，∠ACB＝60°；

新知巩固1.如图，O是△ABC的内心，根据下列条件求∠BOC的度数．OBAC(2)∠A＝50°.

变式

点O为△ABC的外心，∠A＝50°，求∠BOC的度数.新知巩固OBAC解：由题意可得，∠BOC＝2∠A＝2×50°＝100°.新知巩固2.如图，点C、D分别在射线OA、OB上，求作⊙

P，使它与OA、OB、CD都相切

(不写作法，保留作图痕迹).OBADCP1P2解：如图，满足条件的⊙P有2个.新知巩固变式如图，有三条两两相交的公路a、b、c，今要在公路旁修一加油站P，使P到三条公路的距离相等，你认为应修在何处？请确定所有符合条件的P的位置．abcP2P1P3P4归纳总结三角形内切圆和外接圆中的有关角基本图形角之间的关系

∠BOC＝2∠A三角形的内切圆的概念三角形的内切圆的作法三角形内心的性质课堂总结重要结论当堂检测基础过关1.用尺规作图作三角形的内切圆，用到了哪个基本作图

()A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线C2．三角形的内心在

()A．三角形的内部 B．三角形的外部C．三角形的边上 D．以上都有可能A当堂检测基础过关3．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B

当堂检测综合提升D当堂检测基础过关5．如图，⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F为三个切点．若∠DEF＝52°，则∠A的度数为(

)

A．76° B．68° C．52° D．38°A当堂检测基础过关6.如图，点O为△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC的度数为______.115°7.如图，O是△ABC的外心，∠ABC＝42°，∠ACB＝72°，则∠BOC＝_______.132°6题7题当堂检测基础过关8.《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？如图，该直径等于____步(注：“步”为长度单位)．6当堂检测基础过关9．一块周长为1.2m、面积为0.15m2的三角形铁皮（铁皮厚度忽略不计），现在从中裁下了一块面积最大的圆形铁皮，则裁下的圆形铁皮的半径为____________．0.25m当堂检测基础过关

40°当堂检测基础过关

当堂检测综合提升

D当堂检测综合提升

ABCDC

当堂检测综合提升C当堂检测综合提升

D当堂检测综合提升

C当堂检测综合提升

140°126°或144°6题当堂检测综合提升9.△ABC的三条边长分别是5、13、12，则其外接圆半径和内切圆半径分别是_________.8.内心和外心重合的三角形是____________.等边三角形6.5，210.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为_____.

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┛DOBCABCA当堂检测综合提升