专题5 构造法在导数中的应用2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计 (湘教版2019)

专题5构造法在导数中的应用2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(湘教版2019)课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：构造法在导数中的应用

2.教学年级和班级：高中二年级数学选择性必修班

3.授课时间：2023-2024学年第二学期，具体上课时间待定

4.教学时数：1课时（45分钟）

本节课将紧密围绕湘教版2019高中数学选择性必修第二册中的“构造法在导数中的应用”进行教学设计，结合教材内容，以实际例题引导学生理解并掌握构造法的原理及其在求解导数问题中的应用。通过典型题目的讲解与练习，提高学生运用构造法解决问题的能力，强化数学思维与解题技巧。二、核心素养目标分析本节课围绕构造法在导数中的应用，旨在培养学生以下核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算。通过引导学生运用构造法解决导数问题，提高学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，培养逻辑推理和数学思维能力。同时，强调学生在解题过程中的数学运算精确性，加强数学表达和论证的严谨性，从而全面提升学生的数学学科核心素养，为后续学习打下坚实基础。三、学习者分析1.学生已经掌握了导数的定义、计算法则以及基本求导公式，能够解决一些基础的导数问题。此外，学生对函数的性质和分析方法有一定的了解，为构造法的应用打下了基础。

2.学生在数学学习上表现出不同的兴趣和能力，部分学生对数学问题充满好奇心，喜欢挑战性题目，具有较强的逻辑思维能力和问题解决能力；而部分学生可能对数学兴趣不足，需要通过具体实例和引导来激发学习热情。学生的学习风格多样，有的喜欢独立思考，有的则更倾向于小组合作。

3.学生在构造法的理解和应用过程中可能遇到的困难和挑战包括：难以从复杂问题中抽象出关键信息，构造合适的函数解决问题；在逻辑推理和论证过程中可能出现思路不清晰、运算错误等问题。此外，部分学生可能在面对新型题目时，缺乏解题思路和策略。教学中需针对这些情况进行有针对性的指导和解惑。四、教学资源1.硬件资源：多媒体教学设备、投影仪、白板、计算器。

2.软件资源：数学教学软件、PPT演示文稿、电子教案。

3.课程平台：学校教学管理系统、在线学习平台。

4.信息化资源：电子教材、教学视频、虚拟数学实验室。

5.教学手段：讲授法、案例分析法、小组合作学习、互动提问、课堂练习与反馈。五、教学过程设计1.导入环节（5分钟）

-创设情境：通过现实生活中的实例，如物体运动的速度与时间的关系，引出导数的概念。

-提出问题：如何求解物体在某一时刻的瞬时速度？引导学生回顾已学的导数知识。

-激发兴趣：强调构造法在解决复杂导数问题中的重要性，激发学生的求知欲。

2.讲授新课（15分钟）

-知识回顾：简要复习导数的定义、求导法则。

-构造法原理：介绍构造法的概念，解释其在导数求解中的应用原理。

-案例讲解：结合教材中的典型例题，详细讲解构造法的步骤和技巧。

-互动提问：在讲解过程中，适时提问，了解学生对构造法的理解和掌握情况。

3.巩固练习（15分钟）

-课堂练习：布置教材中的相关习题，要求学生在规定时间内完成。

-小组讨论：将学生分成小组，针对练习中的问题进行讨论，互相交流解题思路。

-解题指导：针对学生在练习中遇到的问题，给予及时的指导和解惑。

4.课堂提问与双边互动（5分钟）

-提问：针对课堂练习中的重点、难点，进行有针对性的提问。

-双边互动：邀请学生分享自己的解题心得，鼓励其他学生提问和补充。

-点评与总结：对学生的解答进行点评，强调解题过程中的关键步骤和注意事项。

5.核心素养能力拓展（5分钟）

-问题解决：提出更具挑战性的导数问题，引导学生运用构造法解决问题。

-数学建模：要求学生从实际问题中抽象出数学模型，培养学生的数学建模能力。

-逻辑推理：在解题过程中，强调逻辑推理的严谨性，提高学生的逻辑思维能力。

6.总结与作业布置（5分钟）

-知识点回顾：简要总结本节课所学内容，强调构造法在导数中的应用。

-作业布置：布置与课堂内容相关的作业，要求学生在课后巩固所学知识。六、教学资源拓展1.拓展资源：

-推荐阅读：与本节课相关的数学期刊、杂志文章，以及数学故事，以丰富学生对构造法的认识和应用场景。

-视频资料：寻找一些专业的数学教学视频，特别是关于构造法在导数中应用的讲解，帮助学生从不同角度理解知识点。

-实践项目：设计一些实际问题，让学生尝试使用构造法来解决，如物理中的运动问题、经济学中的最优化问题等。

-跨学科学习：鼓励学生探索构造法在其他学科中的应用，如物理学中的微分方程、工程学中的优化问题等。

2.拓展建议：

-鼓励学生自主阅读相关的数学文献，撰写阅读笔记，加深对构造法的理解。

-组织学生观看教学视频，并在课堂上分享学习心得，促进知识的内化。

-引导学生参与实践项目，通过实际操作来提高构造法的应用能力，同时培养解决实际问题的能力。

-鼓励学生参与跨学科的学习活动，通过团队合作，探索构造法在不同领域的应用，增强学习的深度和广度。

-建议学生在学习过程中，尝试总结构造法的使用规律，形成自己的解题策略。

-鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，将所学知识应用于更广泛的数学问题中，提高解题能力和创新思维。七、教学反思与改进在完成“构造法在导数中的应用”这一节课的教学后，我认为有几个方面需要进行反思和改进。

首先，关于教学内容的讲解，我发现有些学生对构造法的理解还不够深入，可能是因为我在讲解过程中没有足够地结合具体实例。在未来的教学中，我需要更多地使用实际案例来阐述构造法的原理和应用步骤，让学生在具体情境中感受和理解构造法的价值。

其次，课堂互动方面，虽然我设计了提问和小组讨论环节，但感觉学生的参与度并不高，可能是因为问题的设计不够开放或者难度不够。因此，我计划在接下来的教学中，提出更具启发性和开放性的问题，鼓励学生积极思考，提高课堂的互动性。

再者，对于学生的课堂练习，我发现部分学生在解题过程中仍然存在运算错误和逻辑不清的问题。我打算在今后的课堂中增加一些针对性的练习，特别是对于那些容易出错的地方，进行重点讲解和反复练习，帮助学生巩固基础，提高解题准确性。

此外，教学资源的利用也需要改进。我发现在课堂上，我没有充分利用信息化资源，如电子教材和教学视频。在接下来的教学中，我计划结合电子教材和教学视频，为学生提供更多元化的学习材料，丰富他们的学习体验。

针对核心素养的培养，我感觉在课堂上对学生的数学建模和逻辑推理能力的培养还不够。因此，我打算在课后增加一些相关的拓展活动和项目，让学生在实际问题中锻炼这些能力。

具体的改进措施如下：

1.教学内容调整：增加构造法在实际问题中的应用案例，让学生在理解概念的同时，能够看到其在解决实际问题中的重要性。

2.课堂互动优化：设计更多开放性和挑战性的问题，鼓励学生积极参与讨论，提高课堂活跃度。

3.练习环节加强：针对学生易错点，设计专题练习，并在课堂上及时反馈，帮助学生纠正错误。

4.教学资源整合：充分利用电子教材、教学视频等资源，为学生提供更丰富的学习材料。

5.核心素养培养：通过课后拓展活动和项目，加强对学生数学建模和逻辑推理能力的培养。八、典型例题讲解例题1：

已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求$f'(x)$。

解答：

构造辅助函数$F(x)=x^3$，$G(x)=3x^2-2x$。

由导数的运算法则得：

$f'(x)=F'(x)-G'(x)=3x^2-6x+2$。

例题2：

求函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}$的导数。

解答：

构造辅助函数$F(x)=\sqrt{x}$，$G(x)=1$。

令$u=1+x^2$，则$f(x)=F(u)$。

根据链式法则，有$f'(x)=F'(u)\cdotu'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。

例题3：

求函数$f(x)=\ln(x^2)$的导数。

解答：

构造辅助函数$F(x)=\lnx$，$G(x)=x^2$。

令$u=x^2$，则$f(x)=F(u)$。

根据链式法则，有$f'(x)=F'(u)\cdotu'(x)=\frac{1}{u}\cdot2x=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$。

例题4：

已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$，求$f'(x)$。

解答：

构造辅助函数$F(x)=1$，$G(x)=x$。

由导数的运算法则得：

$f'(x)=F'(x)-G'(x)=0-1=-1$。

因此，$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$。

例题5：

求函数$f(x)=\sin(x^2)$的导数。

解答：

构造辅助函数$F(x)=\sinx$，$G(x)=x^2$。

令$u=x^2$，则$f(x)=F(u)$。

根据链式法则，有$f'(x)=F'(u)\cdotu'(x)=\cosu\cdot2x=2x\cos(x^2)$。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了构造法在导数中的应用，通过构造辅助函数和运用导数的运算法则，解决了求导过程中的一些复杂问题。我们强调了以下知识点：

1.构造法的原理及其在求解导数中的应用。

2.如何结合已知函数和辅助函数求解未知函数的导数。

3.链式法则在构造法中的应用。

4.典型例题的解题步骤和技巧。

当堂检测：

为检测学生对本节课知识点的掌握情况，特设计以下检测题目：

题目1：求函数$f(x)=\ln(\sqrt{x^2+1})$的导数。

题目2：已知函数$g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$，求$g'(x)$。

题目3：求函数$h(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{4})$的导数。

题目4：已知函数$k(x)=\frac{1}{x^2}$，求$k'(x)$。

题目5：求函数$m(x)=\sqrt{3x^3-2x^2}$的导数。

要求学生在规定时间内完成以上题目，并及时反馈答案。通过这些题目，学生可以巩固构造法在导数中的应用，提高解题能力，同时培养数学运算和逻辑推理的核心素养。教师根据学生的答题情况，给予及时的指导和解惑，确保学生能够扎实掌握本节课的知识点。板书设计①重点知识点：

-构造法原理

-导数的运算法则

-链式法则

-典型例题步骤与技巧

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