第十章 突破3 概率、统计与其他知识的综合

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布突破3概率、统计与其他知识的综合学生用书P253命题点1

概率、统计与函数、导数的综合例1[全国卷Ⅰ]某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前

要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任

取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验.设每件产品为不

合格品的概率都为

p

(0＜

p

＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为

f

(

p

)，求

f

(

p

)的最大值点

p

0.

例1训练1例2训练2(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的

p

0作为

p

的值.

已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不

合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为

X

，

求

E

(

X

)；[解析]

(2)由(1)知，

p

0＝0.1，所以

p

＝0.1.(i)令

Y

表示余下的180件产品中的不合格品的件数，依题意知

Y

～

B

(180，0.1)，

X

＝20×2＋25

Y

，即

X

＝40＋25

Y

.

所以

E

(

X

)＝

E

(40＋25

Y

)＝40＋25

E

(

Y

)＝40＋25×180×0.1＝490.例1训练1例2训练2(ii)如果对这箱余下的所有产品做检验，那么这一箱产品所需要的检验费为400元.由于

E

(

X

)＞400，因此应该对这箱余下的所有产品做检验.(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做

检验？例1训练1例2训练2方法技巧概率、统计与函数、导数的综合问题的解题策略(1)读懂题意，利用随机变量的概率、均值与方差等的有关公式构造函数；(2)结合函数的性质及概率统计知识求解.例1训练1例2训练2训练1[2021新高考卷Ⅱ]一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这

种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微

生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设

X

表示1个微生物个体繁殖

下一代的个数，

P

(

X

＝

i

)＝

pi

(

i

＝0，1，2，3).(1)已知

p

0＝0.4，

p

1＝0.3，

p

2＝0.2，

p

3＝0.1，求

E

(

X

).[解析]

(1)由题意，

P

(

X

＝0)＝0.4，

P

(

X

＝1)＝0.3，

P

(

X

＝2)＝0.2，

P

(

X

＝3)＝0.1，∴

X

的分布列为X0123P0.40.30.20.1∴

E

(

X

)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.例1训练1例2训练2[解析]

(2)记

f

(

x

)＝

p

3

x

3＋

p

2

x

2＋(

p

1－1)

x

＋

p

0，由题知，

p

为

f

(

x

)＝0的实根，由

p

0＝1－

p

1－

p

2－

p

3，得

f

(

x

)＝

p

3(

x

3－1)＋

p

2(

x

2－1)＋

p

1(

x

－1)－(

x

－1)＝(

x

－1)[

p

3

x

2＋(

p

3＋

p

2)

x

＋

p

3＋

p

2＋

p

1－1].记

g

(

x

)＝

p

3

x

2＋(

p

3＋

p

2)

x

＋

p

3＋

p

2＋

p

1－1，则

g

(1)＝3

p

3＋2

p

2＋

p

1－1＝

E

(

X

)－1，

g

(0)＝

p

3＋

p

2＋

p

1－1＝－

p

0＜0.(2)设

p

表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，

p

是关于

x

的方程

p0＋

p1x

＋

p

2

x

2＋

p3x

3＝x

的一个最小正实根，求证：当

E

(

X

)≤1时，

p

＝1，当

E

(

X

)＞1时，

p＜1.例1训练1例2训练2当

E

(

X

)≤1时，

g

(1)≤0，易知

g

(

x

)在(0，1)上单调递增，∴当

x

∈(0，1)时，

g

(

x

)＝0无实根.∴

f

(

x

)＝0在(0，1]上有且仅有一个实根，即

p

＝1，∴当

E

(

X

)≤1时，

p

＝1.当

E

(

X

)＞1时，

g

(1)＞0，又

g

(0)＜0，

g

(

x

)的图象开口向上，∴

g

(

x

)＝0在(0，1)上有唯一实根

p

'，∴

f

(

x

)＝0的最小正实根

p

＝

p

'∈(0，1)，∴当

E

(

X

)＞1时，

p

＜1.例1训练1例2训练2[解析]

(3)

E

(

X

)≤1，表示1个微生物个体繁殖下一代的个数不超过自身个数，种群数量无法维持稳定或正向增长，多代繁殖后将面临灭绝，所以

p

＝1.

E

(

X

)＞1，表示1个微生物个体可以繁殖下一代的个数超过自身个数，种群数量可

以正向增长，所以面临灭绝的可能性小于1.(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.例1训练1例2训练2命题点2

概率、统计与数列的综合例2[2023新高考卷Ⅰ]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则

此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命

中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投

篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率.

例1训练1例2训练2(2)求第

i

次投篮的人是甲的概率.

例1训练1例2训练2

例1训练1例2训练2方法技巧概率、统计与数列的综合问题的解题步骤(1)精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，确定概率模型；(2)准确建模，通过概率的求解，建立关于概率的递推关系，转化为数列模型问题；(3)解决模型，利用数列的有关知识解决模型.例1训练1例2训练2训练2[全国卷Ⅰ]为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有

效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.

对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再

安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止

试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若

施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以

乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或

都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药

的得分记为

X

.

(1)求

X

的分布列.例1训练1例2训练2[解析]

(1)

X

的所有可能取值为－1，0，1.

P

(

X

＝－1)＝(1－α)β，

P

(

X

＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，

P

(

X

＝1)＝α(1－β).所以

X

的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)例1训练1例2训练2(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，

pi

(

i

＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得

分为

i

时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则

p

0＝0，

p

8＝1，

pi

＝

api

－1＋

bpi

＋

cpi

＋1(

i

＝1，2，…，7)，其中

a

＝

P

(

X

＝－1)，

b

＝

P

(

X

＝0)，

c

＝

P

(

X

＝1).

假设α＝0.5，β＝0.8.(i)证明：{

pi

＋1－

pi

}(

i

＝0，1，2，…，7)为等比数列.[解析]

(2)(i)由(1)得

a

＝0.4，

b

＝0.5，

c

＝0.1.因此

pi

＝0.4

pi

－1＋0.5

pi

＋0.1

pi

＋1(

i

＝1，2，…，7)，故0.1(

pi

＋1－

pi

)＝0.4(

pi

－

pi

－1)，即

pi

＋1－

pi

＝4(

pi

－

pi

－1).又

p

1－

p

0＝

p

1≠0，所以{

pi

＋1－

pi

}(

i

＝0，1，2，…，7)是公比为4，首项为

p

1的等比数列.例1训练1例2训练2

(ii)求

p

4，并根据

p

4的值解释这种试验方案的合理性.例1训练1例2训练2

1.[命题点1/2023石家庄市三检]国家在《中小学生健康体检管理办法(2021年版)》中

规定：中小学校每年组织1次在校学生健康体检.现某学校有4000名学生，假设携带

乙肝病毒的学生占

m

％，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对

每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了

一种化验方法：随机按照

k

个人进行分组，将各组

k

个人的血样混合再化验，如果

混合血样呈阴性，说明这

k

个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有

一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次.假设每人血样化验结

果呈阴性还是阳性相互独立.12

(1)若

m

＝0.4，记每人血样化验次数为

X

，求当

k

取何值时，

X

的数学期望最小，并

求此时化验总次数.12

12[解析]

(2)设每组

k

人时，每组化验总费用为

Y

元，若混合血样呈阴性，则

Y

＝

k

＋4，若混合血样为阳性，则

Y

＝6

k

＋4，且

P

(

Y

＝

k

＋4)＝0.992

k

，

P

(

Y

＝6

k

＋4)＝1－0.992

k

，所以

E

(

Y

)＝(

k

＋4)×0.992

k

＋(6

k

＋4)(1－0.992

k

)＝6

k

－5

k

×0.992

k

＋4.

12

12

12

12

12

12

学生用书·作业帮P4011.[设问创新]鲁班锁是中国一种古老的益智玩具，它与九连环、华容道、七巧板被

称为中国民间的四大传统益智玩具.鲁班锁看似简单，却凝结着不平凡的智慧，是榫

卯结构的集中展现，一般由六根木条组成，三维拼插，内部榫卯咬合，外观严丝合

缝，十字立体，易拆难装，十分巧妙.某玩具公司新开发了

A

，

B

两款鲁班锁玩具，

记

A

，

B

两款鲁班锁玩具所获利润分别为

X

万元、

Y

万元，根据销售部市场调研分

析，得到相关数据如下表：(成本利润率＝利润÷成本×100％)1234

A

款鲁班锁玩具：

成本利润率4％8％10％概率P0.30.60.1

B

款鲁班锁玩具：成本利润率3％5.5％7.5％概率P0.20.30.51234[解析]

(1)

A

款鲁班锁玩具的利润：20×4％＝0.8，20×8％＝1.6，20×10％＝2，

B

款鲁班锁玩具的利润：20×3％＝0.6，20×5.5％＝1.1，20×7.5％＝1.5，则

X

的分布列为X0.81.62P0.30.60.1(1)若

A

，

B

两款鲁班锁玩具的投资成本均为20万元，试求投资这两款鲁班锁玩具所

获利润的方差；1234Y0.61.11.5P0.20.30.5所以

E

(

X

)＝0.8×0.3＋1.6×0.6＋2×0.1＝1.4，

E

(

Y

)＝0.6×0.2＋1.1×0.3＋1.5×0.5＝1.2，则

D

(

X

)＝(0.8－1.4)2×0.3＋(1.6－1.4)2×0.6＋(2－1.4)2×0.1＝0.168.

D

(

Y

)＝(0.6－1.2)2×0.2＋(1.1－1.2)2×0.3＋(1.5－1.2)2×0.5＝0.12.

Y

的分布列为1234

(2)若

A

，

B

两款鲁班锁玩具的投资成本共为20万元，试求投资这两款鲁班锁玩具所

获利润的方差之和的最小值.12342.[2024贵州六校联考]为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球比赛，经过三

轮的筛选，最后剩下甲、乙两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜制，即当甲、乙

两人中有一人先赢得三局比赛时，该选手获