第五章 第3讲 等比数列

第五章数列第3讲等比数列

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.等比数列的基本运算2023新高考卷ⅡT8；2023全国卷乙T15；2023全国

卷甲T5；2023天津T6；2022全国卷乙T8；2020全国卷ⅠT17；2020新高考卷ⅠT18；2020新高考卷ⅡT18；2019全国卷ⅠT14；2019全国卷ⅢT5本讲的命题热点为等比数列的基本运算、等比数列的判定与证明、等比数列的性质的应用，整体比等差数列的运算量大.在客观题与主观题中都有可能出现，难度中等.预计2025年高考命题稳定，重点掌握等比数列的通项公式和前n项和公式及其变形应用，同时也要关注等比数列与其他知识的综合运用.课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.等比数列的判定与证明2020全国卷ⅡT6本讲的命题热点为等比数列的基本运算、等比数列的判定与证明、等比数列的性质的应用，整体比等差数列的运算量大.在客观题与主观题中都有可能出现，难度中等.预计2025年高考命题稳定，重点掌握等比数列的通项公式和前n项和公式及其变形应用，同时也要关注等比数列与其他知识的综合运用.等比数列的性质的应用2023新高考卷

ⅡT8；2023全国卷乙T15，2021全国卷

甲T7

1.等比数列的概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，

那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母

q

(

q

≠0)表示.注意

(1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比

q

≠0.(2)若一个数列是常数列，

则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，….(2)等比中项的概念如果在

a

与

b

中间插入一个数

G

，使

a

，

G

，

b

成等比数列，那么

G

叫做

a

与

b

的等

比中项，此时

G

2＝

ab

.注意

只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个.(3)等比数列的通项公式及其变形通项公式：①

，其中

a

1是首项，

q

是公比.通项公式的变形：

an

＝

am

·

qn

－

m

.

an

＝

a

1·

qn

－1

规律总结等比数列的单调性

当

q

＝1时，{

an

}是常数列；当

q

＜0时，{

an

}是摆动数列.2.等比数列的前

n

项和设等比数列{

an

}的公比为

q

，前

n

项和为

Sn

.

当

q

＝1时，因为

a

1≠0，所以

Sn

＝

na

1.由此可知，数列{

Sn

}的图象是函数

y

＝

a

1

x

的图象上一系列孤立的点.注意

在运用等比数列的前

n

项和公式时，要注意对

q

＝1与

q

≠1进行讨论.－

aqn

＋

a

3.等比数列的性质(1)等比数列项的性质设数列{

an

}，{

bn

}是等比数列.a.若

m

＋

n

＝

k

＋

l

，则⑤

，其中

m

，

n

，

k

，

l

∈N*，反之，不一定

成立，如当数列{

an

}是非零常数列时，此结论不成立.b.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即

ak

，

ak

＋

m

，

ak

＋2

m

，…(

k

，

m

∈N*)

仍是等比数列，公比为⑥

⁠.

d.若

an

＞0，则数列{lgan

}是等差数列.aman

＝

akal

qm

(2)等比数列的前

n

项和的性质设

Sn

是等比数列{

an

}的前

n

项和.a.

Sm

＋

n

＝

Sn

＋

qnSm

＝

Sm

＋

qmSn

.b.当

q

≠－1(或

q

＝－1且

k

为奇数)时，

Sk

，

S

2

k

－

Sk

，

S

3

k

－

S

2

k

，…是⑦

⁠

数列.注意

当

q

＝－1且

k

为偶数时，

Sk

，

S

2

k

－

Sk

，

S

3

k

－

S

2

k

，…不是等比数列.等比

1.下列说法正确的是(

B

)A.满足an＋1＝qan(q≠0，n∈N*)的数列{an}为等比数列B.a，b，c三个数成等比数列是b2＝ac的充分不必要条件C.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列D.若等比数列{an}为递增数列，则其公比q＞1B12342.[多选]已知数列{

an

}是等比数列，公比为

q

，前

n

项和为

Sn

，则下列说法错误的

是(

BC

)B.{log2an}为等差数列C.{an＋an＋1}为等比数列

BC12343.[易错题]设等比数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，若

a

1＝2，

S

3＝6，则

S

4＝

⁠

⁠.

8或－10

12344.[教材改编]有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与

第四个数的和为21，中间两个数的和为18，则这四个数依次为

⁠

⁠.

3，6，12，18或

1234

命题点1

等比数列的基本运算例1

(1)

[2023全国卷甲]设等比数列{

an

}的各项均为正数，前

n

项和为

Sn

，若

a

1＝

1，

S

5＝5

S

3－4，则

S

4＝(

C

)C.15D.40

C例1训练1例2训练2例3训练3解法二设等比数列{

an

}的公比为

q

，由已知得1＋

q

＋

q

2＋

q

3＋

q

4＝5(1＋

q

＋

q

2)

－4，整理得

q

(1＋

q

)(

q

2－4)＝0，由于此数列各项均为正数，所以

q

＝2，所以

S

4

＝1＋

q

＋

q

2＋

q

3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.例1训练1例2训练2例3训练3(2)[2023天津高考]已知{

an

}为等比数列，

Sn

为数列{

an

}的前

n

项和，

an

＋1＝2

Sn

＋

2，则

a

4的值为(

C

)A.3B.18C.54D.152

C例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧1.等比数列基本运算中常用的数学思想方程思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过

列方程(组)求解.分类讨论思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论(分q＝1和q≠1两种情

况讨论).例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3训练1

(1)[2022全国卷乙]已知等比数列{

an

}的前3项和为168，

a

2－

a

5＝42，则

a

6＝

(

D

)A.14B.12C.6D.3

D例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3(2)[全国卷Ⅰ]设{

an

}是等比数列，且

a

1＋

a

2＋

a

3＝1，

a

2＋

a

3＋

a

4＝2，则

a

6＋

a

7＋

a

8＝(

D

)A.12B.24C.30D.32

D例1训练1例2训练2例3训练3命题点2

等比数列的判定与证明

(1)求

b

1，

b

2，

b

3；

例1训练1例2训练2例3训练3(2)判断数列{

bn

}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{

an

}的通项公式.

例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧判定与证明等比数列的常用方法定义法等比中项法通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数)，则{an}是

等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0且q≠1)，则{an}

是等比数列例1训练1例2训练2例3训练3训练2

[2023江苏省七市模拟]已知数列{

an

}满足

a

1＝1，

a

2＝5，

an

＋2＝5

an

＋1－6

an

.(1)证明：{

an

＋1－2

an

}是等比数列.[解析]

解法一

(1)∵

an

＋2＝5

an

＋1－6

an

，∴

an

＋2－2

an

＋1＝5

an

＋1－6

an

－2

an

＋1＝3

an

＋1－6

an

＝3(

an

＋1－2

an

)，∵

a

1＝1，

a

2＝5，∴

a

2－2

a

1＝3≠0，∴数列{

an

＋1－2

an

}是首项为3，公比为3的等比数列.例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3(2)证明：存在两个等比数列{

bn

}，{

cn

}，使得

an

＝

bn

＋

cn

成立.[解析]

解法一

(2)∵

an

＋2＝5

an

＋1－6

an

，∴

an

＋2－3

an

＋1＝5

an

＋1－6

an

－3

an

＋1

＝2

an

＋1－6

an

＝2(

an

＋1－3

an

).∵

a

1＝1，

a

2＝5，∴

a

2－3

a

1＝2≠0，∴数列{

an

＋1－3

an

}是首项为2，公比为2的等比数列，∴

an

＋1－3

an

＝2

n

①，由第(1)问得

an

＋1－2

an

＝3

n

②，由②－①得，

an

＝3

n

－2

n

.故存在通项为

bn

＝3

n

，

cn

＝－2

n

的两个等比数列，使得

an

＝

bn

＋

cn

成立.例1训练1例2训练2例3训练3解法二

(2)由(1)知

an

＋1－2

an

＝3

n

①，由

an

＋2－3

an

＋1＝2(

an

＋1－3

an

)可得

an

＋1－3

an

＝2

n

②，由①－②得，

an

＝3

n

－2

n

，故存在通项为

bn

＝3

n

，

cn

＝－2

n

的两个等比数列，使得

an

＝

bn

＋

cn

成立.例1训练1例2训练2例3训练3命题点3

等比数列的性质的应用例3

(1)[2023新高考卷Ⅱ]记

Sn

为等比数列{

an

}的前

n

项和，若

S

4＝－5，

S

6＝21

S

2，

则

S

8＝(

C

)A.120B.85C.－85D.－120

C例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3(2)[2023全国卷乙]已知{

an

}为等比数列，

a

2

a

4

a

5＝

a

3

a

6，

a

9

a

10＝－8，则

a

7

＝

⁠.

－2

解法二设数列{

an

}的公比为

q

.因为

a

4

a

5＝

a

3

a

6≠0，所以

a

2＝1.又

a

9

a

10＝

a

2

q

7·

a

2

q

8＝

q

15＝－8，于是

q

5＝－2，所以

a

7＝

a

2

q

5＝－2.例1训练1例2训练2例3训练3训练3

(1)[2021全国卷甲]记

Sn

为等比数列{

an

}的前

n

项和.若

S

2＝4，

S

4＝6，则

S

6＝

(

A

)A.7B.8C.9D.10

A例1训练1例2训练2例3训练3[解析]

解法一由题意知

a

1

a

5＝

a

2

a

4＝144

①，

a

2＋

a

4＝

(2)若公比大于1的等比数列{

an

}满足

a

1

a

5＝144，

a

2＋

a

4＝30，则公比

q

＝

.2例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

1.[命题点1/2023武汉调研]设正项等比数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，若2

S

3＝3

a

2＋8

a

1，

S

8＝2

S

7＋2，则

a

2＝(

A

)A.4B.3C.2D.1

A1234

12342.[命题点1/新高考卷Ⅱ]已知公比大于1的等比数列{

an

}满足

a

2＋

a

4＝20，

a

3＝8.(1)求{

an

}的通项公式；

1234(2)求

a

1

a

2－

a

2

a

3＋…＋(－1)

n

－1

anan

＋1.

1234

1234

12344.[命题点3/多选/2023鄂东南省级示范高中联考]设等比数列{

an

}的公比为

q

，其前

n

项和为

Sn

，前

n

项积为

Tn

，且满足条件

a

1＞1，

a

2022

a

2023＞1，(

a

2022－1)(

a

2023－

1)＜0，则下列选项正确的是(

ACD

)A.0＜q＜1B.S2022＋1＜S2023C.T2022是数列{Tn}中的最大项D.T4043＞1ACD1234

1234

1234

1.[2024南昌市模拟]已知公比为

q

的等比数列{

an

}的前

n

项和

Sn

＝2

a

1－2

qn

，则

a

1

＝(

B

)B.1C.2D.4

B12345678910111213141516172.[2023湖北黄冈模拟]已知数列{

an

}是正项等比数列，数列{

bn

}满足

bn

＝log2

an

.若

a

2

a

5

a

8＝212，则

b

1＋

b

2＋

b

3＋…＋

b

9＝(

C

)A.24B.32C.36D.40

C12345678910111213141516173.[2024山东济南联考]记

Sn

为等比数列{

an

}的前

n

项和，若

S

4＝5

S

2，

S

6＝21，则

S

8＝(

C

)A.－120B.－85C.85D.120

C12345678910111213141516174.[2023济南市模拟]在数列{

an

}中，若

an

＝2

n

＋2

n

－1×3＋2

n

－2×32＋2

n

－3×33＋…

＋22×3

n

－2＋2×3

n

－1＋3

n

，则

a

2023＝(

C

)A.32023－22023B.3×22023－32024C.32024－22024D.2×32023－22024

C12345678910111213141516175.公元前1650年左右的埃及《莱因德纸草书》上载有如下问题：“十人分十斗玉

米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗.”在

上述问题中，第一人分得玉米(

C

)

C12345678910111213141516176.[2024广东七校联考]在等比数列{

an

}中，公比为

q

.已知

a

1＝1，则0＜

q

＜1是数列

{

an

}是递减数列的(

C

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

C12345678910111213141516177.[2024河南省模拟]已知等比数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，且公比

q

≠－1，若

S

12＝

S

4＋16

S

8，则公比

q

＝(

B

)A.3B.±2C.2D.±3

B1234567891011121314151617

10

1234567891011121314151617

－2

123456789101112131415161710.[2024福州市一检]已知等比数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，且

an

＋1＝

Sn

＋2.(1)求{

an

}的通项公式；

1234567891011121314151617解法二

(1)因为

an

＋1＝

Sn

＋2

①，所以当

n

≥2时，

an

＝

Sn

－1＋2

②，

由①式得

a

2＝

a

1＋2，得

a

1＝2，所以

an

＝2

n

.1234567891011121314151617(2)若

bn

＝log2

a

2

n

－1，求数列{

b