四川省2025届高三上学期9月摸底大联考新课标卷数学试题

绝密★启用前2025届新高三学情摸底考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1，答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3､考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若，则（）A.B.0C.2D.2.已知复数满足，则（）A.B.C.D.3.已知平面向量.若向量与共线，则实数的值为（）A.3B.C.D.4.已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.5.已知，则（）A.B.C.D.6.已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（）A.B.C.D.7.风筝的发明是中国古代劳动人民智慧的结晶，距今已有2000多年的历史.风筝多为轴对称图形，如图.在平面几何中，我们把一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形.在笔形中，对角线所在直线为对称轴，是边长为2的等边三角形，是等腰直角三角形.将该筝形沿对角线折叠，使得，形成四面体，则四面体外接球的表面积为（）A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球.设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（）A.事件与事件是互斥事件B.事件与事件是对立事件C.事件与事件是相互独立事件D.事件与事件是互斥事件10.在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置.设，记，则（）A.B.当时，取得最小值C.点是曲线的一个对称中心D.当时，的单调递增区间为11.已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（）A.为偶函数B.C.在上单调递增D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为______.（用数字作答）13.已知的内角的对边分别为，若的面积为，则______.14.已知为坐标原点，椭圆，圆，圆，点，射线交圆，椭圆，圆分别于点，若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积，则的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1（1）现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；（2）若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望.16.（15分）已知等比数列的各项均为正数，且.（1）求的通项公式；（2）令，记，求.17.（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点.（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值.19.（17分）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点，使得这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用.（1）设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间；（2）如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点，使得；（3）利用（2）中的结论，证明：当时，.（为自然对数的底数）2025届新高三学情摸底考（新课标卷）数学·全解全析及评分标准1234567891011CABDDBCAACDACBCD一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C【解析】因为，所以解得.故选C.2.A【解析】设，则，所以，即，所以解得所以，所以.故选A.3.B【解析】由题意，知.由向量与共线，得，即，解得.故选B.4.D【解析】因为为奇函数，所以，即，所以.求号，得，所以.又，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选D.5.D【解析】由，得，所以，所以，所以，所以.故选D.6.B【解析】可将转化为，所以圆心为，设直线，为直线上一动点.由题意，得的最小值为，即当与直线垂直时，取得最小值，则.因为，解得.故选B.7.C【解析】取棱的中点，连接.因为是边长为2的等边三角形，所以且.又因为为等腰直角三角形且直线为该等形的对称轴，所以，且.又因为，所以为直角三角形，且.过的外接圆圆心作直线平面，过点作直线平面，直线与直线相交于点，则点为四面体外接球的球心，计算，得四面体外接球的半径，所以四面体外接球的表面积.故选C.8.A【解析】设，则，.又，所以，即，所以，即，所以双曲线的离心率为2.故选A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD【解析】对于A，由题意，知事件表示摸出的两个球的编号为1，2或1，3，事件衣示摸出的两个球的编号为3，4，所以事件与事件是互斥事件，故A正确：对于B，事件表示摸出的两个球的编号为1，3或2，3或3，4，因为，所以事件与事件不是对立事件，故B错误；对于C，因为，所以，所以事件与事件是相互独立事件，故C正确：对于D，因为事件表示摸出的两个球的编号为3，4，事件表示摸出的两个球的编号为1，3，所以事件与事件是互斥事件，故D正确.故选ACD.10.AC【解析】由题意，知点.对于A，，故A正确；对于B，当时，，为最大值，故B错误；对于C，令，解得，所以点是曲线的一个对称中心，故C正确：对于D，令，解得.又，所以，，所以的单调递增区间为，故D错误.故选AC.11.BCD【解析】对于A，令，得，令，得，所以为奇函数，故A错误；对丁B，令，得，令，得，又，所以，所以，故B正确；对于C，由，得，记，则，且也为奇函数.又当时，，即.下面证明在上单调递增，设，则，即当时，，所以在上单调递增.又为奇函数，当时，，所以在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确：对于D，令，得，所以.又为奇函数，所以为偶函数.因为，及的周期为4，所以.由，解得，所以，故D正确.故选BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【解析】因为的展开式中的系数为，所以所求的的系数为.故填.13.或【解析】由，得.因为，所以或.当时，由余弦定理，得，解得；当时，由余弦定理，得，解得.故填或.14.【解析】由题意，知射线，联立，得，所以.又圆与圆围成的图形的面积大丁圆的面积，所以，即，所以，所以，令，又在上单调递增，所以.故填.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）【解析】（1）设事件“至少选到2箱A级苹果”.由题意，知选到1箱A级苹果的概率为，所以选到1箱非A级苹果的概率为，所以，即至少选到2箱A级苹果的概率为.（2）由题意，知选出的10箱苹果中，A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱.的所有可能取值为，且，所以的分布列为0123.16.（15分）【解析】（1）设等比数列的公比为，由，得.由，得，解得，所以，即的通项公式为.（2）由（1），知，由，即，得，，两式相减，得，，所以.说明：不倒序，真接利用求和，按以下步骤给分：，，两式相减，得所以.17.（15分）【解析】（1）因为平面平面，所以.又底面为矩形，所以.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）因为两两垂直，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题意，知在中，，所以，所以，（6分）.过点作交于点，连接，因为平面，所以.又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以.设平面的法向是为，则令，则，得是平面的一个法向量.设平面的法向是为，则令，则，得是平画的一个法向量.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.（17分）【解析】（1）由题意，知动圆的圆心为，所以，化简，得，即点的轨迹的方程为.（2）如图，由题意，知，设，由点共线，得，解得或（舍去），所以，所以点关于轴的对称点为.由题意，知直线的斜率存在，记直线的斜率为，且，设直线，因为点在抛物线上，由，得，所以，所以，所以.又因为，所以直线的方程为.联立，解得.因为，所以当，即当时，取得最大值.说明：化简轨迹的方程.另解：由题意，设，所以，山题意，知，所以，所以，即点的轨迹的方程为.19.（17分）【解析】（1）由，得，由，根据罗尔定理，知存在，使得，由，根据罗尔定理，知存在，使得，由