小升初拓展培优：容斥原理（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

第1页（共1页）容斥原理(知识归纳+典例分析+高频考题+答案解析)一、定义与基本概念容斥原理的基本思想是：在计数时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。这种方法特别适用于处理多个集合的并集时，如何避免重复计数的问题。二、分类与公式容斥原理可以根据涉及的集合数量进行分类，主要包括两集合容斥原理和三集合容斥原理等。1、两集合容斥原理：如果被计数的事物有A、B两类，那么A类和B类元素个数总和可以表示为：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣其中，∣A∣

表示集合A的元素个数，∣B∣

表示集合B的元素个数，∣A∩B∣

表示集合A和B的交集元素个数。2、三集合容斥原理：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么A类、B类和C类元素个数总和可以表示为：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣B∩C∣−∣C∩A∣+∣A∩B∩C∣其中，∣A∩B∣

表示集合A和B的交集元素个数，∣B∩C∣

表示集合B和C的交集元素个数，∣C∩A∣

表示集合C和A的交集元素个数，∣A∩B∩C∣

表示集合A、B、C的交集元素个数。【典例1】三年级一班有45人，参加体育课外小组的有27人，参加音乐课外小组的有31人，每人至少参加一个课外小组，三年级一班两个课外小组都参加的有多少人【答案】13人。【思路分析】参加体育课外小组的人数+参加音乐课外小组的人数﹣总人数＝两个课外小组都参加的人数。【解答】解：27+31﹣45＝58﹣45＝13（人）答：三年一班两个课外小组都参加的有13人。【名师点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。【典例2】三年级一班的同学喜欢打球的有35人，喜欢跳绳的有27人，两种运动都喜欢的有12人，都不喜欢的有4人。三年级一班一共有多少个同学？（用图可以表示题中的信息，先把图补充完整，再列式解答。）【答案】；54个。【思路分析】两种运动都喜欢的有12人，先用35减去12求出只喜欢打球的人数；同理，用27减去12求出只喜欢跳绳的人数；都不喜欢的有4人，然后把四部分的人数填入图中，再求出四部分的人数和即可。【解答】解：35﹣12＝23（人）27﹣12＝15（人）23+12+15+4＝54（个）答：三年级一班一共有54个同学。【名师点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。【典例3】四（3）班有45人，会下象棋的有28人，会下围棋的有29人，两种棋都不会的有6人，两种棋都会的有多少人？我会借助图来分析：我的解答：【答案】两种棋都会的有18人。【思路分析】根据容斥原理，会下象棋的人数+会下围棋的人数﹣两种棋都会的人数+两种棋都不会的人数＝总人数。计算并填韦恩图即可。【解答】解：45﹣6＝39（人）28+29﹣39＝18（人）答：两种棋都会的有18人。故答案为：两种棋都会的有18人。【名师点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。【典例4】三个小朋友比赛猜灯谜，皮皮猜出了18个，果果猜出了10个，乐乐猜出了12个．果果猜出的10个灯谜皮皮都猜出来了．（1）皮皮和果果一共猜出了多少个灯谜？（2）皮皮和乐乐一共猜出了23个灯谜，皮皮和乐乐有几个灯谜都猜出来了？【答案】（1）18．（2）7．【思路分析】（1）用皮皮猜出的数量加上果果猜出的数量，减去他们都猜对的数量即可；（2）用皮皮和乐乐猜出的数量相加，再减去他们一共猜出的数量，即为他们都猜出来的数量．【解答】解：（1）18+10﹣10＝28﹣10＝18（个）答：皮皮和果果一共猜出了18个灯谜．（2）18+12﹣23＝30﹣23＝7（个）答：皮皮和乐乐有7个灯谜都猜出来了，【名师点评】本题主要考查了容斥原理，明确容斥关系中，各部分之间的数量关系，是本题解题的关键．【典例5】在三（1）班思维课堂上，老师出了两道考察思维能力的题。做对第一道题的有28人，做对第二道题的有30人，（每人至少做对一道题）。两道题都做对的有多少人？【答案】13人。【思路分析】先用28加上30求出做对第一道题与做对第二道题的人数和，再减去三（1）班的总人数45就是重复计算的人数，也就是两道题都做对的人数。【解答】解：28+30﹣45＝58﹣45＝13（人）答：两道题都做对的有13人。【名师点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。1．班级在庆元旦文艺汇演中，合唱的有25人，跳舞的有15人，参加这两项演出的一共有30人。两项都参加的有多少人？2．四年级128名学生去铁道游击队影视城研学，带矿泉水的有68人，带水果的有88人，每人至少带一样，既带矿泉水又带水果的有多少人？3．学校科技节，三（1）班有18人的小制作获奖，有24人的科幻画获奖。这其中有7人这两项都获了奖。三（1）班在这次学校科技节小制作和科幻画获奖的一共是多少人？4．书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的书法比赛中，三年级硬笔书法有18人获奖，软笔书法有10获奖，两项都获奖的有5人，三年级书法获奖的一共有多少人？5．三（1）班有45人，其中19人喜欢吃苹果，16人喜欢吃橘子，8人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子。喜欢吃苹果和橘子的有多少人？这两种水果都不喜欢吃的有多少人？6．本次运动会涌现了很多闪闪发光的志愿者。经统计，某学校的志愿者中，有18人参与了纸桥承重项目，有15人参与了“鸡蛋”撞地球项目。两个项目都参加的有7人。（1）完成图。（2）该学校一共有多少名志愿者参与了本次科技运动会？（3）你还能提出其他数学问题并解答吗？7．某艺术中心有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹长笛的有56名，两样都不会的有4名。两样都会的有多少名？8．三年级共有80名同学参加书法兴趣小组和美术兴趣小组，其中参加书法组的有52人，参加美术组的有48人．那么，既参加书法组又参加美术组的有多少人？9．同学们参加课外活动小组，参加文艺小组的有27人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人。参加课外活动小组的同学共有多少人？10．学校艺术节比赛，三（1）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人？11．学校为了丰富学生的校园生活，让学生的个性特长得到优质发展，本学期开设了多门选修课，五（3）班45名同学中，有26人选择了球类课程，有18人选择了舞蹈类课程，有10人这两类课程都选择了。（1）至少选择其中一类课程的有多少人？（2）这两类课程都没有选择的有多少人？12．三年级有108个小朋友去秋游，带矿泉水的有68人，带水果的有87人，每人至少带一种，三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？13．随着国家人口政策的调整，不少同学有了兄弟姐妹。某实验学校一（3）班有32名同学，其中14人有兄弟，13人有姐妹，8人是独生子女。该班中有兄弟又有姐妹的有几人？14．六一汇演时，在舞蹈和合唱两个项目中四一班共有35人参加。其中有7人只参加了舞蹈演出，有8人只参加了合唱演出。参加舞蹈演出的一共有多少人？15．四（1）班有30人会下棋，会下象棋的有16人，会下围棋的有19人。（1）请根据以上信息，把如图中各部分的人数填在括号里。（2）两种棋都会下的有多少人？16．四年级有108名学生去春游，带水果的有77人，带矿泉水的有78人，每人至少带一样，既带水果又带矿泉水的有多少人？17．《流浪地球》和《中国机长》是我国两部优秀的电影，四年级二班有43位同学，看了《流浪地球》的有31人，看了《中国机长》的有23人，两部电影都没看的有9人。两部电影都看了的有多少人？18．某小学共有学生540人，在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？19．在55名运动员中，参加短跑比赛的有36人，参加跳绳比赛的有38人。这两项比赛都参加的有多少人？20．三（1）班订《数学报》的人数有27人，订《语文报》的人数有32人，两份都订的有15人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班共有多少人？21．三（1）班37名同学到动物园参观，其中参观金丝猴馆的有25人，参观斑马馆的有17人，既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有多少人？22．同学们到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参观的有45人．去动物园的一共有多少人？23．学校的社团活动，三一班每个人都参加了书法或绘画活动。参加书法的有25人，参加绘画的有30人，两种活动都参加的有16人，三一班有多少人？算一算，填一填。24．希望小学有2020名学生，其中女生有1105名，少先队员1506名，男生中不是少先队员的有200名，那么女生中是少先队员的有多少名？25．三（1）班同学参加书画比赛，参加书法比赛的有28人，参加绘画比赛的有25人，两项都参加的有4人，参加书画比赛的有多少人？26．三（2）班有38人，林老师出了两道题，每个同学都至少做对了一题，只做对第一题的有15人，两题都做对的有18人。只做对第二题的有多少人？27．阳光小学文艺组每人至少会演奏手风琴和电子琴中的一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中这两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？28．五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人？29．王老师给三（1）班出了两道思考题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有28人，第2题做对的有23人，两道题都做对的有8人。三（1）班一共有多少人？30．五年级一班共有36名学生，在六一表演中有12人参加了舞蹈表演，有16人参加了合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有7人，那么既不参加舞蹈表演、又不参加合唱的有多少人？

1．【答案】10人。【思路分析】根据“跳舞的有15人，合唱的有25人”可得两者的总人数：15+25＝40人，这其中把两种节目都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两项都参加的人数是：40﹣30＝10（人），据此解答即可。【解答】解：25+15﹣30＝10（人）答：两项都参加的有10人。【名师点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。2．【答案】28人。【思路分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。【解答】解：68+88﹣128＝156﹣128＝28（人）答：既带矿泉水又带水果的有28人。【名师点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。3．【答案】35人。【思路分析】根据题干可得，三（1）班有18人的小制作获奖，有24人的科幻画获奖，一共有18+24＝42人，这42人中有7人这两项都获奖了，说明42人中有7人重复加了1次，由此从42人里面减去7人，就是获奖总人数。【解答】解：18+24＝42（人）42﹣7＝35（人）答：三（1）班在这次学校科技节小制作和科幻画获奖的一共是35人。【名师点评】本题考查的是容斥原理的应用。4．【答案】23人。【思路分析】用硬笔书法获奖的人数加上软笔书法获奖的人数，然后减去两项都获奖的人数，即可求出三年级书法获奖的一共有多少人。由此解答即可。【解答】解：18+10﹣5＝28﹣5＝23（人）答：三年级书法获奖的一共有23人。【名师点评】此题考查容斥原理的简单应用。5．【答案】27人，18人。【思路分析】把喜欢苹果的和喜欢橘子的人数加起来：19+16＝35（人），因为8人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子，所以喜欢这两种水果（至少喜欢一种）的是35﹣8＝27（人），那么总人数减去这27人，剩下的就是两种水果都不喜欢的人数。【解答】解：19+16﹣8＝35﹣8＝27（人）45﹣27＝18（人）答：喜欢吃苹果和橘子的有27人，两种水果都不喜欢吃的有18人。【名师点评】本题考查合情推理，解题的关键是确定喜欢这两种水果的人数。6．【答案】（1）（2）26人；（3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？11人。【思路分析】（1）根据题干把图补充完成；（2）根据“A类人数+B类人数﹣既A又B类人数＝参加人数”即可；（3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？用参加纸桥承重项目的人生减去既参加纸桥承重又参加“鸡蛋”撞地球项目的人数即可。【解答】解：（1）如下图所示：（2）18+15﹣7＝26（人）答：该学校一共有26名志愿者参与了本次科技运动会。（3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？18﹣7＝11（人）答：只参加纸桥承重项目的志愿者有11人。【名师点评】本题考查了容斥原理的应用。7．【答案】9名。【思路分析】用会弹钢琴的人数加会吹长笛的人数加两样都不会的人数，再减总人数即可求解。【解答】解：11+56+4﹣62＝67+4﹣62＝71﹣62＝9（名）答：两样都会的有9名。【名师点评】本题主要考查了容斥原理的灵活运用。8．【答案】见试题解答内容【思路分析】根据“参加书法组的有52人，参加美术组的有48人．”可得两者的总人数：52+48＝100人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：100﹣80＝20（人），据此解答即可．【解答】解：52+48﹣80＝100﹣80＝20（人）答：既参加书法组又参加美术组的有20人．【名师点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）．9．【答案】44人。【思路分析】参加文艺小组的人数加上参加科技小组的人数，因为两项都参加的有8人，所以这里重复计算了8人，再减去8人，即可解答。【解答】解：27+25﹣8＝52﹣8＝44（人）答：参加课外活动小组的同学共有44人。【名师点评】掌握容斥原理是解题的关键。10．【答案】16人。【思路分析】根据容斥原理，把图中把参加唱歌和跳舞比赛的人数相加，再减去两项都参加的人数就是总人数。【解答】解：12+9﹣5＝21﹣5＝16（人）答：参加唱歌和跳舞比赛的一共有16人。【名师点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。11．【答案】（1）34人；（2）11人。【思路分析】（1）至少选择其中一类课程的人数＝选择球类课程的人数+选择舞蹈类课程的人数﹣两类课程都选择的人数；（2）两类课程都没有选择的人数＝班级总人数﹣至少选择其中一类课程的人数，据此解答。【解答】解：（1）26+18﹣10＝44﹣10＝34（人）答：至少选择其中一类课程的有34人。（2）45﹣34＝11（人）答：这两类课程都没有选择的有11人。【名师点评】本题主要考查集合问题，分析清楚每个集合中包含与排除的关系是解答题目的关键。12．【答案】47人。【思路分析】根据题意可知，带矿泉水的人数+带水果的人数﹣去秋游的总人数＝既带矿泉水又带水果的人数，依此列式并计算即可。【解答】解：68+87﹣108＝155﹣108＝47（人）答：三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有47人。【名师点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。13．【答案】3人。【思路分析】有兄弟人数加有姐妹人数，再加独生子女人数，然后减去一（3）班人数，即等于既有兄弟又有姐妹的人数。【解答】解：14+13+8﹣32＝35﹣32＝3（人）答：该班中有兄弟又有姐妹的有3人。【名师点评】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。14．【答案】27人。【思路分析】根据题意，用参加两项演出的人数减去只参加合唱演出的人数，计算参加舞蹈演出人数即可。【解答】解：35﹣8＝27（人）答：参加舞蹈演出27人。【名师点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。15．【答案】（1）；（2）5人。【思路分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数，求出两种棋都会下的有多少人，然后填写上边的图即可。【解答】解：（1）如图所示：（2）16+19﹣30＝35﹣30＝5（人）答：两种棋都会下的有5人。【名师点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。16．【答案】47人。【思路分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。【解答】解：77+78﹣108＝155﹣108＝47（人）答：既带水果又带矿泉水的有47人。【名师点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。17．【答案】20人。【思路分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。【解答】解：31+23﹣（43﹣9）＝54﹣34＝20（人）答：两部电影都看了的有20人。【名师点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。18．【答案】11人。【思路分析】根据“提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问”，可得两者的总人数：36+25＝61（人），再减去总人数50就是重复计算的人数，也就是既用文字又用语音提问的人数。【解答】解：36+25﹣50＝61﹣50＝11（人）答：既用文字又用语音提问的有11人。【名师点评】本题是典型的容斥原理问题，关键是熟练掌握容斥原理的解题规律：既A又B＝（A+B）﹣总人数。19．【答案】19人。【思路分析】参加短跑比赛的人数+参加跳绳比赛的人数﹣总人数＝这两项比赛都参加的人数，据此计算即可。【解答】解：36+38﹣55＝74﹣55＝19（人）答：这两项比赛都参加的有19人。【名师点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。20．【答案】44人。【思路分析】订《数学报》的人数+订《语文报》的人数﹣两份都订的人数＝总人数，据此计算即可。【解答】解：27+32﹣15＝59﹣15＝44（人）答：三（1）班共有44人。【名师点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。21．【答案】5人。【思路分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。【解答】解：25+17﹣37＝42﹣37＝5（人）答：既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有5人。【名师点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。22．【答案】见试题解答内容【思路分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参观老虎馆的人数+参观熊猫馆的人数﹣两个馆都参加人数＝去参观的总人数．把数代入计算即可．【解答】解：70+65﹣45＝135﹣45＝90（人）答：去动物园的一共有90人．【名师点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用．知识点是：既A又B＝（A+B）﹣总人数．23．【答案】；39人。【思路分析】先用25减去16求出只参加书法的人数，同理求出只参加绘画的人数，然后填图，再把三部分的人数相加即可。【解答】解：25﹣16＝9（人）30﹣16＝14（人）9+14+16＝39（人）答：三一班有39人。【名师点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。24．【答案】791名。【思路分析】用2020减去1105，求出男生有多少名；用男生的人数减去200，求出男生中是少先队员的人数；最后用1506减去男生中是少先队员的人数，求出女生中是少先队员的人数。【解答】解：2020﹣1105＝915（名）915﹣200＝715（名）1506﹣715＝791（名）答：女生中是少先队员的有791名。