吉林省吉林市第14中学2025届八年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

吉林省吉林市第14中学2025届八年级数学第一学期期末学业水平测试试题平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第10个“上”字需用多少枚棋子（）A．40 B．42 C．44 D．462．下面四个数中与最接近的数是（）A．2 B．3 C．4 D．53．抛一枚硬币10次，有6次出现正面，4次出现反面，则出现正面的频率是（）A．6 B．4 C． D．4．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A． B． C． D．5．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元6．代数式的值为（）A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数7．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（）A．7、24、25 B．5、12、13 C．3、4、5 D．2、3、8．若是完全平方式，则m的值等于（）．A．3 B．-5 C．7 D．7或-19．在直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴对称点的坐标是（）A．(3，1) B．(3，﹣1) C．(﹣3，1) D．(﹣3，﹣1)10．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）.A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知am=3，an=2，则a2m－3n=___________12．纳米是非常小的长度单位，，将用科学记数法表示为__________．13．若多项式中不含项，则为______.14．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数方差根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加决赛，应该选择__________．15．如图，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，若∠A＝52°，则∠E的度数为_____．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD=_____．17．函数中，自变量x的取值范围是．18．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，5)，(3，7)，直线y＝2x＋b与线段AB有公共点，则b的取值范围是______．三、解答题(共66分)19．（10分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a1+b1=c1．20．（6分）（1）解方程．（2）先化简（）÷，再从x≤2的非负整数解中选一个适合的整数代入求值．21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、BC的中点，EF⊥AC，垂足F；（1）求证：AD＝DE；（2）求证：DE⊥EF．22．（8分）解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集．23．（8分）如图，点A，E，F在直线l上，，．（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使，你添加的条件是______________；（2）添加了条件后，证明．24．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3）点B坐标为（2，1）；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点C'的坐标；（3）判断△ABC的形状．并说明理由．25．（10分）如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点，与轴交于点，连接，设点运动的时间为秒．（1）线段（用含的式子表示），点的坐标为（用含的式子表示），的度数为．（2）经探究周长是一个定值，不会随时间的变化而变化，请猜测周长的值并证明．（3）①当为何值时，有．②的面积能否等于周长的一半，若能求出此时的长度；若不能，请说明理由．26．（10分）观察以下等式：，，，，……（1）依此规律进行下去，第5个等式为_______，猜想第n个等式为______（n为正整数）；（2）请利用分式的运算证明你的猜想．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】由图可得，第1个“上”字中的棋子个数是6；第2个“上”字中的棋子个数是10；第3个“上”字中的棋子个数是14；…进一步发现规律：第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）；由此求得问题答案．【详解】解：第1个“上”字中的棋子个数是6=4+2；

第2个“上”字中的棋子个数是10=4×2+2；

第3个“上”字中的棋子个数是14=4×3+2；

…

第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）；

所以第10个“上”字需用棋子的数量是4×10+2=42个．

故选：B．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．2、B【解析】分析：先根据的平方是10，距离10最近的完全平方数是9和16，通过比较可知10距离9比较近，由此即可求解．解答：解：∵12=9，42=16，又∵11-9=2＜16-9=5∴与最接近的数是1．故选B．3、C【分析】根据频率的公式：频率=频数÷总数，即可求解.【详解】由题意，得出现正面的频率是，故选：C.【点睛】此题主要考查对频率的理解，熟练掌握，即可解题.4、B【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】如图：

根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：

（1）AB2=（2+3）2+42=41；

（2）AB2=32+（4+2）2=45；

（3）AB2=22+（4+3）2=53；

综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB2=41，即AB=故选：B【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．5、C【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是（元），故选C．【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．6、D【分析】首先将代数式变换形式，然后利用完全平方公式，即可判定其为非负数.【详解】由题意，得∴无论、为何值，代数式的值均为非负数，故选：D.【点睛】此题主要考查利用完全平方公式判定代数式的值，熟练掌握，即可解题.7、D【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.进行计算可解答.【详解】A、72+24＝252，符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；D、22+32≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形.故选：D.【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．8、D【分析】根据完全平方公式:,即可列出关于m的方程,从而求出m的值．【详解】解:∵是完全平方式∴∴解得:m=7或-1故选:D．【点睛】此题考查的是根据完全平方公式求多项式的系数,掌握完全平方公式的特征是解决此题的关键．9、B【分析】根据题意可设平面直角坐标系中任意一点P，其坐标为（x，y），则点P关于x轴的对称点的坐标P′是（x，-y）．【详解】解：点P（3，1）关于x轴对称点的坐标是（3，﹣1）．故选：B．【点睛】本题考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．10、B【解析】试题分析：三棱柱的展开图为3个矩形和2个三角形，故B不能围成.考点：棱柱的侧面展开图.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】a2m﹣3n＝(a2m)÷(a3n)＝(am)2÷(an)3＝9÷8＝，故答案为．12、．【分析】利用科学记数法的表示形式：（），先将转化为，即可得出结果．【详解】解：∵∴故答案为：【点睛】本题主要考查的是科学记数法，掌握科学记数法的表示形式以及正确的应用是解题的关键．13、【分析】根据题意可得：2k+1=1，求解即可．【详解】由题意得：2k+1=1，解得：k．故答案为．【点睛】本题考查了多项式，关键是正确理解题意，掌握不含哪一项，就是让它的系数为1．14、丙【解析】由表中数据可知，丙的平均成绩和甲的平均成绩最高，而丙的方差也是最小的，成绩最稳定，所以应该选择：丙.故答案为丙.15、26°【分析】根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可得答案．【详解】∵BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝（∠ACD﹣∠ABC）∵∠ACD-∠ABC=∠A，∴∠E＝∠A＝×52°＝26°故答案为26°【点睛】本题考查三角形外角性质，三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的和；熟练掌握外角性质是解题关键.16、1【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．【详解】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，

∴∠BDC=90°-60°=30°，

∴BD=2BC=2×4=1，

∵∠C=90°，∠A=15°，

∴∠ABC=90°-15°=75°，

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°，

∴∠ABD=∠A，

∴AD=BD=1．

故答案为：1．【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．17、且.【解析】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且.考点：1.函数自变量的取值范围；2.二次根式和分式有意义的条件.18、－1≤b≤1【分析】由一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，即可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出b的取值范围．【详解】解：当x=3时，y＝2×3＋b=6+b，∴若直线y＝2x＋b与线段AB有公共点，则，解得－1≤b≤1故答案为：－1≤b≤1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，列出关于b的一元一次不等式是解题的关键．三、解答题(共66分)19、证明见解析．【分析】根据即可得证．【详解】如图，过点D作，交BC延长线于点F，连接BD，则，由全等三角形的性质得：，，，，即，整理得：．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握“面积法”是解题关键．20、(1)原分式方程无解．(1)1【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．（1）先将分式的分子和分母分解因式，再根据分式的化简求值的过程计算即可求解．【详解】（1）解：方程的两边都乘以（y+1）（y﹣1），得y（y+1）﹣8＝y1﹣4∴y1+1y﹣8＝y1﹣4解得y＝1．检验：当y＝1时，（y﹣1）（y+1）＝0∴y＝1是原方程的增根．∴原分式方程无解．（1）解：原式=[，

∵x≤1的非负整数解有0，1，1，

又∵x≠1，1，

∴当x=0时，原式=1．【点睛】此题考查解分式方程，分式的化简求值，解题的关键是准确进行分式的化简．21、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得DE＝AC，再由已知条件即可证得结论；（2）根据三角形的中位线定理可得DE∥AC，再利用平行线的性质即得结论．【详解】证明：（1）∵D、E分别是AB、BC的中点，∴AD＝AB，DE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝DE；（2）∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∵EF⊥AC，∴DE⊥EF．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理和平行线的性质，属于基础题型，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．22、，用数轴表示见解析.【分析】分别解两个不等式得到和，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后利用数轴表示其解集.【详解】解①得，解②得，所以不等式组的解集为．用数轴表示为：【点睛】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到.23、（1）∠CAF＝∠DBE；（2）见解析【分析】添加∠CAF＝∠DBE，根据SAS即可做出证明．【详解】解：（1）∠CAF＝∠DBE;（2）证明：∵AE＝BF，∴AF＝BE，在△ACF和△BDE中，，∴△ACF≌△BDE(SAS)．【点睛】两个三角形已知两组边分别相等，要想证明其全等，可以考虑“SAS”或“SSS”证明全等，故本题还可以添加CD=DB．24、（1）如图见解析；（2）如图见解析，C'的坐标为（﹣5，5）；（3）△ABC是直角三角形．【解析】试题分析：（1）根据两点的坐标建立平面直角坐标系即可；

（2）作出各点关于轴的对称点，顺次连接即可；

（3）根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可．试题解析：（1）如图所示：（2）如图所示：即为所求：C'的坐标为（3）∴∴是直角三角形．点睛：一个三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.25、（1），（t，t），45°；（2）△POE周长是一个定值为1，理由见解析；（3）①当t为（5-5）秒时，BP=BE；②能，PE的长度为2．【分析】（1）由勾股定理得出BP的长度；易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．

（2）延长OA到点F，使得AF=CE，证明△FAB≌△ECB（SAS）．得出FB=EB，∠FBA=∠EBC．再证明△FBP≌△EBP（SAS）．得出FP=EP．得出EP=FP=FA+AP=CE+AP．即可得出答案；

（3）①证明Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．得出AP=CE．则PO=EO=5-t．由等腰直角三角形的性质得出PE=PO=（5-t）．延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，证明△FAB≌△ECB（SAS）．得出FB=EB，∠FBA=∠EBC．证明△FBP≌△EBP（SAS）．得出FP=EP．得出EP=FP=FA+AP=CE+AP．得出方程（5-t）=2t．解得t=5-5即可；

②由①得：当BP=BE时，AP=CE．得出PO=EO．则△POE的面积=OP2=5，解得OP=，得出PE=OP-=2即可．【详解】解：（1）如图1，

由题可得：AP=OQ=1×t=t，

∴AO=PQ．

∵四边形OABC是正方形，

∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．

∴BP=，

∵DP⊥BP，

∴∠BPD=90°．

∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．

∵AO=PQ，AO=AB，

∴AB=PQ．

在△BAP和△PQD中，，

∴△BAP≌△PQD（AAS）．

∴AP=QD，BP=PD．

∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°．

∵AP=t，

∴DQ=t

∴点D坐标为（t，t）．

故答案为：，（t，t），45°．

（2）△POE周长是一个定值为1，理由如下：

延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．

在△FAB和△ECB中，，

∴△FAB≌△ECB（SAS）．

∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．

∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠EBC=45°．

∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．

∴∠FBP=∠EBP．

在△FBP和△EBP中，，

∴△FBP≌△EBP（SAS）．

∴FP=EP．

∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=5+5=1．

∴△P