苏科版2024-2025学年八年级数学上册2.5 线段、角的轴对称性（专项练习）（培优练）（含答案）

专题2.5线段、角的轴对称性（专项练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（）A． B． C． D．2．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（）A． B． C． D．4．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为9，则的周长为（

）A．11 B．12 C．13 D．146．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是（

）A．9 B．15 C．24 D．277．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知中，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点，为半径，以大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，延长交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．8．（2024·辽宁锦州·二模）已知，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出，观察图中的作图痕迹，可以得出的度数为（

）A． B． C． D．9．（2024八年级·全国·竞赛）如图，点，在直线的两侧，点是上一点，且，，点是上异于点的一点，则（

）．A． B．C． D．以上都有可能10．（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某V型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点D处的甲同学在平面镜中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点C处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线，则等于（

）A． B． C． D．11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为．12．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则．

13．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，依据尺规作图的痕迹，若，，则的度数为．14．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则．15．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，D在下方且，平分交的延长线于E，连接，则与的数量关系式为．16．（21-22八年级上·陕西安康·期末）如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为．17．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，点、是与三等分线的交点，则的度数是．18．（23-24八年级上·吉林松原·期末）如图，是的角平分线，于点，于点，连接交于点，下列结论：；；；；，正确的是（填序号）．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）19．（8分）（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，，垂足分别为、．交于点，．（1）求证：；（2）若，，求的面积．20．（10分）（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，垂足分别为A、D，分别平分交点E恰好在上．（1）成立吗？为什么？（2）求证：．21．（10分）（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知是等腰直角三角形，，是的平分线，，垂足为．（1）是等腰三角形吗？请说明理由；（2）与垂直吗？请说明理由？22．（10分）（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，动点E从A点出发，以的速度向B点移动，设移动的时间为.（1）当x为何值时，点E在线段的垂直平分线上？（2）在（1）的条件下，判断与的位置关系，并说明理由．23．（10分）（22-23八年级下·山东枣庄·期中）在中，是平分线上一点，过点作交于点．（1）如图，连结，恰好平分．①写出线段的数量关系：；②当时，求的度数；（2）如图，交于点，①尺规作图，作的平分线交于点；②作交于点，当的大小发生变化时，的值是否发生变化？并说明理由．24．（12分）（23-24八年级下·山东威海·期末）（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：延长至点E，使，连接在中，利用三角形三边的关系求出的取值范围；（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．参考答案：1．B【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长．【详解】解：平分，，，，在和中，，，，的周长，，，，，，，的周长为．故选：B2．D【分析】本题考查了角平分线的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定、全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；证明可判断③的正误；证明，可判断④的正误．【详解】解：∵，∴是的角平分线，故①符合要求；∵，，∴是的角平分线，故②符合题意；∵，，∴，∴，∴是的角平分线，故③符合要求；∵，，，∴，∴，∴是的角平分线，故④符合要求；故选：D．3．C【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出．【详解】解：在中，，，，由作图可知，平分，垂直平分，，，，，故选：C．4．B【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可．【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G，由题意得，直线为线段的垂直平分线，∴，∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长．∵，D为的中点，∴，∵，面积为10，∴，解得．故选：B．5．C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段中点的定义可得，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为9，可得，从而求出的周长，即可解答．【详解】∵点D是的中点，∴，由题意得：是的垂直平分线，∴，∵的周长为9，∴，∴，∴，∴的周长，故选：C．6．B【分析】本题考查了轴对称的最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质；连接．求出的最小值可得结论．【详解】如图，连接，垂直平分线段，，当P和E重合时，的值最小，最小值为，，的最小值为9，的周长的最小值为，故选：B7．A【分析】本题考查了对“线段垂直平分线”与“角平分线”的作法理解，解题的关键是知晓作法的过程．由作法过程可知垂直平分线段，由对称性可得出；再由作法过程知平分，于是得出，故的度数可求．【详解】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，∴点A与点C关于直线对称，则，∵，且由作图过程知平分，∴，∴．故选：A．8．C【分析】本题考查了复杂作图掌握三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理，先根据作图得出，平分，再根据三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理求解，熟练掌握相关性质是解题的关键．【详解】解：由作图得：，平分，，，，，，故选：Ｃ．9．A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法，垂直平分线的性质，是解答本题的关键．作交的延长线于点，交于点，连接，通过证明，得到是的垂直平分线，进而得到，，利用三角形三边关系，得到答案．【详解】解：如图，作交的延长线于点，交于点，连接，在和中，，，，是的垂直平分线，，，，，，．故选：．10．C【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数．【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道，，，故选：C．11．/135度【分析】本题考查角平分线的判定，根据点到三边的距离相等，得出点在的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上．【详解】解：∵点到三边的距离相等，∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线，∴，，∵，∴，∴，∴，∴的度数为．故答案为：．12．/72度【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求得的度数，进而可求解．【详解】解：垂直平分，，，平分，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解的度数是解题的关键．13．/度【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质．本题先证明，求解，结合角平分线的作图以及三角形内角和定理可得答案．【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，由作图可得：是的角平分线，∴；∵，∴故答案为：．14．/46度【分析】连接，过E作于R，交于Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，即可求出答案．【详解】解：连接，过E作于R，交于Q，∵是线段的中垂线，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．15．【分析】先设与交于点，连接，与交于点，连接，接着求出垂直平分，然后证明，最后根据四边形内角和等于，即求出与的数量关系．【详解】如图，设与交于点，连接，与交于点，连接，平分，，在与中，，，，，，，垂直平分，，，，，，，，在四边形中，，，，故答案为：．【点睛】主要考查了对垂直平分线的应用，四边形内角和以及三角形全等证明，解决这类题目的方法是要多做，特别是要学会添加辅助线．16．6【分析】在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，得出．根据E、F分别是和上的动点，三角形三边的关系和垂线段最短得出，求出的长即可得出的最小值．【详解】解：如图所示，在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，．∵的面积为24，的长为8，∴，∴，∵平分，∴又∵，，∴≌（SAS），∴，∴，∵E、F分别是和上的动点，∴，∴∴当C、E、共线且点与点H重合时，即，这时的值最小，∴最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求的长是解题的关键．17．/52度【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．过点N作于G，于E，于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出平分，然后根据三角形内角和等于求出再根据角的三等分求出的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数，从而得解．【详解】解：如图，过点N作于G，于E，于F，∵点、是与三等分线的交点，∴平分，平分，∴，∴，∴平分，∴，∵，∴，∴，在中，∴．故答案为：．18．【分析】此题主要是综合运用了角平分线的性质定理和线段垂直平分线性质定理的逆定理，根据角平分线的性质，得，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，得点在的垂直平分线上；根据等角对等边，，则点在的垂直平分线上，从而可证得；又因为，为公共边，是角平分线，从而可根据证明，则有，由则有，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用．【详解】∵为的角平分线，于，于，∴，∴点在的垂直平分线上，，∵，∴，∴，故正确；∴点在的垂直平分线上，∴，故正确；∵，，，∴，∴，故错误，由，，∴，∴，故正确；∵的大小不确定，∴不能确定，故错误，综上可知：正确，故答案为：．19．(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了三角形全等，角平分线．熟练掌握三角形全等的判定和性质，角平分线的判定定理，三角形面积计算公式，是解题的关键．（1）先证明，得到，再根据角的平行线性质判定即可；（2）由得到，证明，得到，即得．【详解】（1）于D点，于点，，在和中，，，，．平分，．（2），在和中，，，，，，．20．(1)成立，理由见解析(2)见解析【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质：（1）过点作，证明，，得到，即可得证；（2）根据全等三角形的性质，即可得证．【详解】（1）解：成立，理由如下：过点作，∵分别平分∴，，又∵，∴，，∴，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，即：，∴．21．(1)是，见解析(2)垂直，见解析【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据等腰三角形的定义解答；（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上解答．【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下：，是的平分线，，，是等腰三角形；（2）解：．理由如下：在和中，，，，又，．22．(1)当时，点E在线段的垂直平分线上(2)与的位置关系是理由见解析【分析】（1）根据题意，，，结合，当，时，继而得到，可证点E在线段的垂直平分线上，此时，．（2）根据，得，根据，得，继而得到，得到可证．本题考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂直的定义是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，，，∵，∴，时，∵，∴，∴，∴点E在线段的垂直平分线上，∴．故当时，点E在线段的垂直平分线上．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．23．(1)①；②；(2)①作图见解析；②的值不发生变化，理由见解析．【分析】（）①由平行线的性质和角平分线的定义可得，，即得，，根据即可求解；②由三角形