苏科版2024-2025学年八年级数学上册1.13三角形全等几何模型(半角模型)(学生版+解析)

专题12.13三角形全等几何模型（半角模型）第一部分【知识点归纳】【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两边相等。【类型】如下图，有三类型半角模型【解题思路】半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是SAS型）解题，具体步骤如下：（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题时通常不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；（2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）；（3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）；（4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】“等边三角形含半角”模型【例1】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（

）A．36 B．21 C．30 D．22【变式】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．【题型2】“等腰三角形含半角”模型【例2】如图，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，连接，，，若，求证：．【变式】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、．(1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【题型3】“正方形含半角”模型【例3】如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上．（1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长．【变式】如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、．

(1)试判断，，之间的数量关系；(2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程．第三部分【拓展延伸】【例1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论______；【探索延伸】如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．【灵活变通】如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系．

【例2】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是；（不需要证明）（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

专题12.13三角形全等几何模型（半角模型）第一部分【知识点归纳】【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两边相等。【类型】如下图，有三类型半角模型【解题思路】半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是SAS型）解题，具体步骤如下：（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题时通常不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；（2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）；（3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）；（4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】“等边三角形含半角”模型【例1】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．解：如图，将关于AE对称得到，则，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即与的面积之和为21，故选：B．【点拨】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）结论仍然成立；理由见解析【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．（1）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论；（2）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论．证明：如图，延长到，使，连接，则，又，∴，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，∵，∴，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．【题型2】“等腰三角形含半角”模型【例2】如图，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，连接，，，若，求证：．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；延长到G使，连接，先证明得到，再证明得到，可得，然后再证明即可．证明：如图，延长到G使，连接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【变式】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、．(1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法．（1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可；（2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可；（3）在截取，连接，证，推出，，证，推出即可．（1）解：，证明：延长到，使，，，在和中，，，，，，，，，，，；（2）解：，证明：延长到，使，连接，由（1）知：，，，，，，，，，，，；（3）解：，证明：在截取，连接，，，，，，，，，，，，，，，，．【题型3】“正方形含半角”模型【例3】如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上．（1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长．【答案】（1）全等，理由详见解析；（2）5【分析】（1）由题意易得∠ABG＝90°＝∠D，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得△GAE≌△FAE，GB＝DF，进而问题可求解．解：（1）全等．理由如下∵∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABG＝90°＝∠D，在△ABG和△ADF中，，∴△GAB≌△FAD（ASA）；（2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∵△GAB≌△FAD，∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∴∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS）∴EF＝GE∵△GAB≌△FAD，∴GB＝DF，∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式】如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、．

(1)试判断，，之间的数量关系；(2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程．(3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】（1）首先利用证明，得，从而得出答案；（2）在上取,连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论；（3）将绕点逆时针旋转得，由旋转的性质得点、、共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题．（1）解：，证明如下：如图：四边形是正方形，，，由旋转的性质可得：，，，，，点、、共线，，，，，在和中，，，，；（2）解：，证明如下：如图，在上取，连接，四边形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：如图，将绕点逆时针旋转得，

，，，，，点、、共线，，，，，在和中，，，，．【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．第三部分【拓展延伸】【例1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论______；【探索延伸】如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．【灵活变通】如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系．

【答案】【初步探索】；【探索延伸】仍成立，理由见析；【结论运用】210海里；【灵活变通】，理由见解答过程．【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．〖初步探索〗延长到，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论；〖探索延伸〗延长到，使，连接，证明，再证明，则结论可求；〖结论运用〗连接，延长、交于点，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合“探索延伸”具备的条件，则．〖灵活变通〗在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．解：〖初步探索〗如图1，延长到点，使，连接，

在和中，，，，，∵，∴，即，∵，∴，在和中，，，，，；〖探索延伸〗仍成立，理由如下：如图2，延长到点，使，连接，

，，，在和中，，，，，，，．，，．在和中，，，，，；〖结论运用〗连接，延长、交于点，如图3，

，，，，，在四边形中：，且，四边形符合探索延伸中的条件，结论成立，即（海里），答：此时两舰艇之间的距离是210海里．〖灵活变通〗结论：．理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，

，，，即在和中，，，，，∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，即，∴在和中，，，，，，，即，．【例2】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是；（不需要证明）（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【答案】（）；（）（）中的结论仍然成立，理由见解析；（）（）中的结论不成立，．【分析】()延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，