6.3.1平面向量基本定理6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课件高一下学期数学人教A版

第六章平面向量及其应用平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示人教A版

数学

必修第二册课程标准1.理解基底的定义,并能判断两个向量能否构成一个基底.2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量.3.借助平面直角坐标系,掌握平面向量正交分解以及坐标表示的意义.基础落实·必备知识全过关知识点1

平面向量基本定理

定理条件e1,e2是同一平面内的两个

向量

结论对于这一平面内的

向量a,

一对实数λ1,λ2,使a=

基底若e1,e2

,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个

不共线

任一有且只有λ1e1+λ2e2

不共线基底名师点睛对平面向量基本定理的理解(1)基底具备两个主要特征:①基底是由两个不共线的向量构成的;②基底的选择是不唯一的.(2)基底e1,e2确定后,平面内任一向量a的分解式是唯一的,特别地,当a1e1+a2e2=0时,恒有a1=a2=0.(3)用向量解决几何问题时,可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平面内基底的选取是不唯一的.(

)(2)零向量可以作为基底中的向量.(

)(3)若向量a,b不共线,则{a+b,a-b}可以作为基底.(

)2.a=λ1e1+λ2e2中的一对实数λ1,λ2是否唯一?√×√提示

当e1,e2不共线时,由平面向量基本定理知,λ1,λ2是唯一的;当e1,e2共线时,λ1,λ2不唯一.3.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则以下各组向量中不能作为基底的是(

)

A.e1,e2

B.e1+e2,3e1+3e2C.e1,5e2

D.e1,e1+e2B解析

∵3e1+3e2=3(e1+e2),∴向量e1+e2,3e1+3e2共线,不可作为基底.知识点2

平面向量的正交分解及坐标表示1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个

的向量,叫做把向量作正交分解.

2.平面向量的坐标表示(1)基底:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向

的两个

向量分别为i,j,取{i,j}作为

.

(2)坐标:对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对

叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中,x叫做a在

轴上的坐标,y叫做向量a在

轴上的坐标.

互相垂直相同单位基底(x,y)xy(3)坐标表示:a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.写向量坐标时要有“=”,与点的坐标区分.如a=(1,2),点A(1,2)(4)特殊向量的坐标:i=

,j=

,0=

.

(1,0)(0,1)(0,0)过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在平面直角坐标系中,平面向量的坐标是唯一的.(

)(2)向量的终点的坐标和该向量的坐标相同.(

)(3)若两个向量的终点不同,则它们的坐标一定不同.(

)2.在直角坐标平面内,O为原点,向量

的坐标与点A的坐标有什么关系?√××重难探究·能力素养全提升探究点一对平面向量基本定理的理解【例1】

给出下列说法:①若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2表示;②若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;③若{e1,e2}是一个基底,则{e1+e2,e1-e2}也可以作为一个基底.其中正确说法的序号是

.

③

解析

①错误.零向量也可以用一个基底来线性表示.②错误.当e1,e2共线时,平面内的与e1,e2共线的向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,其余的向量则不可以.③正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,故{e1+e2,e1-e2}可以作为基底.规律方法

平面向量基本定理的四个要点(1)不共线的向量e1,e2;(2)平面内的任意向量a;(3)存在唯一一对实数λ1,λ2;(4)a=λ1e1+λ2e2.变式训练1设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是(

)A.e1+e2和e1-e2B.3e1-4e2和6e1-8e2C.e1+2e2和2e1+e2D.e1和e1-e2B解析

选项B中,6e1-8e2=2(3e1-4e2),∴6e1-8e2与3e1-4e2共线,∴不能作为基底,选项A,C,D中两向量均不共线,可以作为基底.故选B.探究点二平面向量基本定理的应用角度1

用基底表示向量

规律方法

用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.角度2

平面向量基本定理的综合应用

-2规律方法

借助向量的基底表示求向量的数量积数量积的计算中,利用平面向量基本定理可以把需要的向量表示出来,再根据数量积的运算法则进行计算.变式训练3如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.探究点三平面向量的坐标表示【例4】

在平面直角坐标系中,如图,已知向量a,b,且|a|=4,|b|=3,求它们的坐标.规律方法

求平面向量坐标的方法(1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.本节要点归纳1.知识清单:(1)平面向量基本定理及其应用.(2)平面向量的正交分解及坐标表示.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:忽视基底中的向量不共线.成果验收·课堂达标检测123456789101112131415161718A级必备知识基础练1.[探究点二]设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(

)A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4D123456789101112131415161718D123456789101112131415161718A.m>0,n>0 B.m>0,n<0C.m<0,n>0 D.m<0,n<0B1234567891011121314151617184.(多选题)[探究点三]已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的选项是(

)A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点OD.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)BCD解析

由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.1234567891011121314151617185.[探究点二]已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为

.

6解析

由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,即xe1+2e2=3λe1+λye2,1234567891011121314151617186.[探究点二]已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若

-21234567891011121314151617181234567891011121314151617188.[探究点一]设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)求证:{a,b}可以作为一个基底;(2)以{a,b}为基底,表示向量c=3e1-e2.123456789101112131415161718(1)证明

假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).所以λ不存在,故a,b不共线,即{a,b}可以作为一个基底.(2)解

设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.故c=2a+b.123456789101112131415161718123456789101112131415161718123456789101112131415161718B级关键能力提升练10.在△ABC中,AB=4,AC=2,点M是边BC的中点,则

的值为(

)A.-6 B.6 C.-8 D.8A123456789101112131415161718A12345678910111213141516171812.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的.若,E为BF的中点,则

=(

)A12345678910111213141516171813.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j组成基底,对于平面内的一个向量a.若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为

.

12345678910111213141516171814.[2023湖南湘潭期末]已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),若a=,其中O为原点,则x=

,y=

.

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