2.5.1椭圆的标准方程课件高二上学期数学人教B版选择性

第二章平面解析几何椭圆的标准方程人教B版

数学

选择性必修第一册课程标准1.掌握椭圆的定义;2.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;3.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握待定系数法求椭圆的标准方程.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1椭圆的定义集合表示{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且

,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点F1,F2称为椭圆的

,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的

.2a>|F1F2|焦点

焦距

过关自诊1.到两个定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是(

)A.椭圆

B.线段C.圆

D.以上都不对2.椭圆的定义中,若2a≤|F1F2|,则动点P的轨迹还是椭圆吗?B解析

∵点P到两定点的距离之和为14,等于|F1F2|,∴轨迹是一条线段.解

不是.当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹不存在.当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.知识点2椭圆的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程

=1(a>b>0)

=1(a>b>0)图示焦点坐标

a,b,c的关系

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)b2=a2-c2名师点睛1.在已知椭圆的标准方程解题时,应特别注意a>b>0这个条件.2.焦点三角形中常用的关系式(1)|PF1|+|PF2|=2a.(3)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.(4)|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|.过关自诊1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是(

)D2.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是(

)C3.[人教A版教材习题]如果椭圆

=1上一点P与焦点F1的距离等于6,那么点P与另一个焦点F2的距离是

.14重难探究·能力素养全提升探究点一椭圆定义的理解【例1】

如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.解

设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,故动圆圆心P的轨迹方程为规律方法

利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤

变式训练1[北师大版教材习题]如图,两个定圆圆C1和圆C2内切,且半径分别为r1=1,r2=3,动圆M与圆C1外切且与圆C2内切,那么动圆圆心M的轨迹是什么?并说明理由.解

设动圆M半径为R,因为圆M与圆C1外切,所以|MC1|=1+R.又因为圆M与圆C2内切,所以|MC2|=3-R,所以|MC1|+|MC2|=4.又圆C1和圆C2内切,所以|C1C2|=2.所以动圆圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆(除掉圆C1和圆C2的切点).变式训练2[北师大版教材例题]已知△ABC的周长为10,且|BC|=4,则△ABC的顶点A的轨迹是什么?并说明理由.解

因为△ABC的周长为10,且|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6,且|AB|+|AC|>|BC|.根据椭圆的定义可知,△ABC的顶点A的轨迹是以B,C为焦点,焦距长为4的椭圆(不含椭圆与直线BC的交点).探究点二求椭圆的标准方程角度1.待定系数法求椭圆的标准方程【例2】

求适合下列条件的椭圆的标准方程.∵椭圆过点A(-1,-2),规律方法

1.利用待定系数法求椭圆的标准方程,有下面几种情况:如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为

=1(a>b>0);如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为=1(a>b>0);如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.2.待定系数法求椭圆方程能有力地明晰数学运算的目标性和方向性,能较好地体现运用解析法进行数学运算的核心素养.角度2.定义法求椭圆的标准方程【例3】

求适合下列条件的椭圆的标准方程:两个焦点的坐标分别是解

因为椭圆的焦点在y轴上,规律方法

用定义法求椭圆的标准方程,先根据椭圆定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆的标准方程.变式训练4已知椭圆两个焦点的坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26,求满足条件的椭圆的标准方程.解

因为椭圆的焦点在y轴上,因为2a=26,所以a=13,又因为c=5,所以b2=a2-c2=144,探究点三椭圆定义的应用【例4】

已知P为椭圆

=1上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|.①即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|.②由①②得|PF1||PF2|=4,变式探究若将例4中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.规律方法

1.椭圆上一点P(不与焦点共线)与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解.2.焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.变式训练5(1)P是椭圆

=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1||PF2|=12,则∠F1PF2的大小为(

)A.60°

B.30° C.120° D.150°A∵0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=60°.(2)已知F1,F2为椭圆

=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=

.

8解析

由直线AB过椭圆的一个焦点F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20.又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.(3)[人教A版教材习题]如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式

=10,那么点M的轨迹是什么曲线?为什么?写出它的方程.解

点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆.∵点M(x,y)到两定点(0,-3),(0,3)的距离之和为10,且大于两定点间的距离6,成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练12345678910111213141516171.[探究点二(角度1)]若椭圆C:

=1的一个焦点坐标为(-1,0),则实数m的值为(

)A.9 B.6

C.4

D.1C解析

因为椭圆的焦点(-1,0)在x轴上,所以a2=5,b2=m,所以c2=a2-b2=5-m,即5-m=1,解得m=4.12345678910111213141516172.[探究点一](多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是(

)A.当a=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆AC解析

当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.12345678910111213141516173.[探究点二(角度1)]已知命题p:方程

=1表示焦点在y轴上的椭圆,则使命题p成立的充分不必要条件是(

)A.3<m<5 B.4<m<5C.1<m<5 D.m>1B则m-1>5-m>0,解得3<m<5,所以p成立的充要条件是3<m<5.结合四个选项可知,p成立的充分不必要条件是4<m<5.故选B.1234567891011121314151617C1234567891011121314151617B12345678910111213141516176.[探究点二(角度2)]已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为(

)A解析

由题可知c=1.由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,12345678910111213141516177.[探究点三]已知F1,F2为椭圆C:

+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆C上,∠F1PF2=60°,则|PF1||PF2|=

.解析

由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=4,利用余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos

60°=|F1F2|2,所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=|F1F2|2=12,解得3|PF1||PF2|=4,即12345678910111213141516178.[探究点一]若△ABC的三边长a,b,c满足2b=a+c,A(-1,0),C(1,0),则顶点B的轨迹方程是

.

解析

设点B的坐标为(x,y).∵2b=a+c,即|BC|+|BA|=2|AC|,又A(-1,0),C(1,0),∴|BC|+|BA|=4>2,根据椭圆的定义可知,点B的轨迹是以A(-1,0),C(1,0)为焦点,以4为长轴长的椭圆,12345678910111213141516179.[探究点二(角度1)]求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解

(1)由焦距是4可得c=2,1234567891011121314151617(2)由题意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-1234567891011121314151617B级关键能力提升练B1234567891011121314151617C1234567891011121314151617CD123