（中考数学一轮复习）第27章 相似 同步学案

27.1图形的相似

27.1.1图形的相似

「概念课」相似图形

学习目标

□能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断出两个图形是否相似

□知道两个相似多边形的基本性质，明确相似比的含义

□会根据相似多边形的定义判断两个多边形是否相似

引导问题1什么是相似图形？全等和相似有什么样的关系？

1.相似图形：的图形叫做相似图形.

2.这里有四组图形，哪一组是相似的？（）

□口।—il-lr~/\\

ABCD

3.全等和相似的对比：

全等：形状相同，.

相似：，.

所以，全等是相似.

引导问题2相似三角形有什么样的特点？相似三角形的定义是什么？

1.相似三角形的特点：对应角,对应边.

如图，分别有：

①ZA=N____,=N,

ZC=Z____；

②AB=A'B',BC=B'C',

AC=A'C'

ABBC_AC

即:)=()

2.相似三角形的定义:

三个角,三条边的两个三角形叫做相似三角形.

如上图所示，相似三角形可写作：.

引导问题3什么是相似多边形？

1.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角,对应边

那么这两个多边形叫做相似多边形.在相似三角形和相似多边形中，对应边的比叫做

如下图，矩形ABC。和矩形EFGH,它们是相似的，那么有结论：

①ZA=Z=90°、NB=N=90°.八

ZC=Z=90\ZD=Z=90°•KK■J

即：对应角相等.F，G

ABBCCDDA

即：对应边成比例，且相似比等于.

2.下面这两个矩形是否相似？

E2H

F2G

你能说明一下原因吗：__________________________________________________________

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」比例线段

学习目标

□了解比例线段的概念及其基本特点

□能够运用比例的性质进行相关的计算

引导问题1什么是线段的比？

1.线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段的的就是这两条线段

的比.简单来说，线段的比就是线段的比.

2.如果线段AB和线段CO的长度分别是10cm、6cm,那么线段AB和线段CO的比:

——=.如果线段AB和线段CO的长度分别是1加、6cm,那么两条线段的

CD

比嗡

引导问题2什么叫做线段成比例？

3.线段成比例：如果四条线段a、b、c、d满足q=£,就称a、b、c、d成比例.

ba

如果四条线段bc、d的长度分别为6c加、3cm、2cm,1cm,那么就有：

—=—=—=—=2,我们就称（）.

b3d\

A.a>b、c、d成比例B.a、d、b、c成比例

4.下列四组线段中，哪一组的四条线段成比例？（）

A.2、5、6、8B.3、6、9、18

C.1、2、3、4D.3、6、7、9

引导问题3比例有哪些性质？

5.比例的重要性质I:

比例式转化为乘积式：如果色=£,那么有.

bd

ah

如果—=—,那么有,我们称为〃、d的.

hd

6.下列三组线段中，哪一组的》可以称为a、c比例中项？（）

A.a=3,b=2,c=lB.a=l,b=2,c=4C.a=3,b=5,c=l

7.比例的重要性质II：

更比定理：如果@=£,那么有.

••,'b（1

引导问题4比例的性质有什么应用？

8.已知a、b、c、d四条线段依次成比例，其中a=3an,b=^x-l）cm,c-5cm,

d=（x+\）cm,求x的值.

解：a、b、c、d依次成比例

代入各线段的长度，可知:

解方程可得：x=

9.如图，LABCsADEF,ZA=90",AB=9,AC=DE=6,求ZD、DF.

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「概念课」平行线分线段成比例

学习目标

□掌握平行线分线段成比例定理

引导问题1什么是平行线分线段成比例？

1.如图所示，AABC中，OE是中位线，那么有:

AD__1()._()_1

~DB~一，AB~AC~2

以下两个式子，哪个是对的呢？()

BDCEBDAE

A.=B.=

ABACADAC

2.平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,所得的线段

如右图所示，直线AC和直线。尸被直线“、h所/\

1,

截，根据平行线分线段成比例定理可知：-----T-------弋—

ABEFAB-\'

疏一，~DF~，~DE~■---------

引导问题2平行线分线段成比例定理有什么应用？

3.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段.

如右图所示，DE//BC交线段AB、4c于点£＞、点瓦火

根据平行线分线段成比例定理可知：/\

处=，/=，…./\

ABAEB乙-----'c

若。E//BC交线段84、C4的延长线于点。、点E,根据平行

线分线段成比例定理可知：

4.如图，在AA8C中，DEHBC,AD=4,DB=3,AC=10,求A石的长.

解：根据平行线分线段成比例定理可知：

A

设AE=x,那么EC=_______

代入可得：_________________________

根据比例的性质，将比例式转化成乘积式：BC

解方程可得：%=________.即AE=_______.

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「概念课」平行相似

学习目标

□掌握相似三角形“平行相似”

引导问题1什么是平行相似？

1.相似三角形的判定定理1:干行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相

交，所得的三角形和原三角形相似.

如右图所示，在△ABC中，如果满足:

就可以判定：________________

左图称为A字型，右图称为8字型.

请你写出图中的线段关系:

ADEC

'AB~'~AE~

Ani

2.如图，在"BC中，DE//BC,——=-,DE=4,求BC的长.

DB2

4

A

AD

~AB~

C

DE//BC

AABCs△

可得BC=

3.如图，四边形ABC。是平行四边形，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F.交DC

于点G,请根据图形写出三对相似三角形.

解：（根据平行线写出相似）

4

根据A8//OC,可以写出：____________________.

根据可以写出：____________________.

引导问题2什么是三角形的重心？

4.定理：三角形的三条中线交于同一个点，这点称为事心.

如图，A48C中，A/、BD、CE是ZXABC的三条中线,并交于同一个点G,试证

明：点G分别是A/、BD、CE的三等分点.

证明：连接即，可知皮＞为/\ABC的________________

ED//BC

△________s△________

CG_1HFC

----=———

EG2

・•.G是BD、CE的三等分点

同理可得：G是AF的三等分点.

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「解题课」平行相似的应用-上

能力目标

□转化比例式

拔高练习

1.如图，在ZXABC中，。是3C边上一点，连接A。，EF//BC,且石尸分别与A3、

2.如图，E是菱形ABCD的边C。上的点，延长AE交5c的延长线于点尸，EG//AD

3.如图，已知DE//AB,OA2*=OCOE,求证：BC//AD.

攻略

将乘积式转化为比

例式

AB

「解题课」平行相似的应用-下

能力目标

□转化线段比

拔高练习

1.如图，在平行四边形A3CD中，点E为边BC上一点,连接并延长交。。的

DFDM

延长线于点M,交BD于点、G,过点G作G产〃BC交DC于点F,求证：一=——.

FCCD

2.如图，已知AB"EF"CD,B、F、£>共线，若AB=a,CD=b,EF=c,求

11

ib-

。

3.如图，在四边形ABC。中，ADHEFHBC,已知AD=a,BC=h,AE=3,BE=\,

攻略求EF的长.

转化比例线段

利用线段相等

B

「解题课」添平行线求线段比

能力目标

□添平行线求线段比

拔高练习

1.如图，D、E分别是线段3C、AC上的点，且CE=2AE,BE与AD

交于歹，求一.

FD

攻略

找准咨油线

确定三角形

过一:角形顶点作对

边平行线与酱油线

相交

2.如图，AA8C中，M是AC的中点，E是AB上一点，且连接EM并

4

延长交的延长线于。，求£

CD

攻略

找准酱油线

j

确定三角形

过三角形顶点作对

边平行线与酱油线

相交

「解题课」添平行线证比例式

能力目标

□添加平行线转化线段比

拔高练习

1.如图，在人钻。的边AB上取一点。，在AC上取一点E,使AO=AE,线段OE和

的延长线相交于尸，求证：—=—

CPCE

攻略

作平行转化线段比

找4字型、8字型

2.如图，P为八43。的中位线上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、A5于

D、E.求证：—+—=1.

DCEB

攻略

作平行转化线段比

3.如图，在八钻。中，E、尸是3c的三等分点，M是AC的中点，分别交AE、

A/7于G、H,求证：BG:GH:HM=5:3:2.

a£

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定

「概念课」44相似

学习目标

□掌握相似三角形的判定定理“AA相似”

引导问题1什么是相似三角形的判定定理“AA相似”？

1.A4相似：分别相等的两个三角形相似.

在aABC和八4'6'。中，如果有

那么就有：.

引导问题2相似三角形的判定定理“44相似”有什么应用？

2.如图，在放△ABC中，ZC=90°,AB=1(),AC=8,七是AC上的一点，AE=5,

EDVAB,垂足为。，求AO的长.

证明：ED1AB

：.ZEDA=90"

AA£DsAABC

ADAE

()=()

AD=________________

3.如图，在ZXABC和八4£。中，ZAED=ZB,AABC和八4££＞相似吗？

（相似/不相似），请你说明原因:

如果相似，你能写出一组比例线段吗？

4.如图，在八43。中，。是AB匕一点，ZACD^ZB,求证：AC2=ADAB.

A

&

BC

5.如图，AA3C是等边三角形，点£＞、E分别在5C、AC上，且8D=CE,AD与BE

相交于点尸，求证：DB^DFDA.(请你补员H下面的过程）

证明：等边AABCA

AB=BC,ZABC=ZC=60"

在△ABO和△8CE中

AB=BC

"ZABC=ZCDDC

BD=CE

ZBDF=ZADB

：.△_______s△_______

/,--D-B--=--D--A-

()()

DB?=DF-DA

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「概念课」SAS相似

学习目标

□掌握相似三角形的判定定理“SAS相似”

引导问题1什么是相似三角形的判定定理“S4s相似”？

1.SAS相似：两边________且_______相等的两个三角形相

似.

在△ABC和△A'B'C'中，如果有A

那么就有：.

引导问题2相似三角形的判定定理aSAS相似”有什么应用？

2.如图，已知求证：4cs

证明：PA2=PBPC

APACsAPBA.

Q

3.如图,AD=2,AE=-,AB=4,AC=3,求证：AADESAACB

3

B

Ani

4.如图,在等边AABC中，O、E分别在AC,AB上，且一=-

AC3

AE=EB,求证：/\AEDsACBD.

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「概念课」SSS和HL相似

学习目标

□掌握相似三角形的判定定理“SSS相似"和“HL相似”

引导问题1什么是相似三角形的判定定理“SSS相似”？

1.SSS相似：的两个三角形相似.

在"SC和△A'B'C中，如果有

那么就有：.

2.如图，在边长为1的正方形网格中有两个三角形"BC和△。砂.

求证：AABC-^DEF.

证明：根据勾股定理可得：

AB=3,ACM,BC=y[l

DE=3y/2,DF=M，EF=2

即：________________

AABCs/\DEF.

引导问题2什么是相似三角形的判定定理“//L相似”？

3.”〃相似：和一组成比例的两个直角三角形

相似.

BC

在Rf"BC和肋△4'B'C中，如果有,

那么就有：________________

4.如图，AACB=ZADC=9^,AC=«,AD=2,AB=3近.

求证：RtAADCsRt/XBCA.

D

证明：IE

根据勾股定理，在HAADC中：CD

可知：-——-

CD

AB=()

AC~CD

..Rt/\ADCsRtABC4.

引导问题3总结：相似三角形有哪些判定定理？

5.相似三角形判定定理的总结:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

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「概念课」如何找相似三角形

学习目标

□掌握根据比例式和乘积式寻找相似三角形的常用方法

引导问题1如何根据比例式和乘积式寻找相似三角形？

1.三点定型法：当题目中出现了出例区或蓼积立

如图，如果有“=请找出图中相似三角形.

将AB•4)=AC•AE转化成比例式

ACAD/

—,AC.AO对应△_______,\

(1)AB、AE对应△____

即△________s△_______

(2)AB,AC对应△________,A石、AD对应△一_______,即4_______S

△________.

2.如图，在心/XABC中，NACB=90°，。是A5的中点,。是5c上一点，连接OC、

AD,如果。CLAD,求证：ABCD^ACAD.

分析：要证ABC£)=ACAD

将乘积式转化为比例式：________________

根据“三点定型法”，即要证明：

△________S△________

(在此分析基础上，请你在下面写一下详细过程)

证明:

3.如图，在“台。中，AB=AC,点尸、。分别是5C、AC边上的点，且=

求证：ACCD=CPBP

分析：要证=/

将乘积式转化为比例式：//1

BP

但根据“三点定型法”，找不到两个三角形

根据AB=AC,将上面的比例式转化为：

再根据“三点定型法”，即要证明：

△S△

（在此分析基础上，请你在下面写一下详细过程）

证明：

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27.2.2相似三角形的性质

「概念课」相似三角形的性质

学习目标

□理解并掌握相似三角形的性质

引导问题1相似三角形有什么性质？

1.相似三角形的性质I：相似三角形的对应角，对应边

如图，AABCs△A'B'C',那么有：

①ZA____ZA',NB____ZB',NC____ZC

ABBCAC甘□人,nc

------=--------=--------=k,具中攵为△ABC

)()()

和△A'B'C'的.

追问：那么△A'B'C'和△ABC的相似比是

2.相似三角形的性质H：相似三角形的对应高、对应中线与对应角平分线的比都等于

如图，AABC和△A'BC中，AD、A'。'分别是高,

AE、A'E'分别是中线，分别是角平分线,

如果△ABC和'B'。的相似比为Z,那么有：

(1)

(~~)

AE

(2)

()

(3)

3.相似三角形的性质in：相似三角形的周长比等于

如图，△ABCsAA'B'C',/XABC和△A'B'C的

AB+BC+CA

相似比为M那么有：

即相似三角形的周长比等于.

4.相似三角形的性质W：相似三角形的面积比等于.

如图，△ABCs△ABC和△AB'C的相

似比为屋那么有士,你能说明一下理

SABC'

由吗？

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「解题课」相似三角形性质的应用

能力目标

□利用相似性质求边长与面积

1.如图，在矩形A5CO中，A8=4,BC=6,M是边8C的中点，DE1AM,垂足

为E,求DE.

2.如图△ABC中，D、/在A3上，E、G在AC上，且AD=DF=FB,

DE//FG//BC»S^ADE=1,求SDEGF、^FGCB•

攻略

i.相似三角形

l

对应边成比例

（相似比）

II平方

求线段长面积比

2.将对应定点写在

相同的位置

「解题课」相似三角形判定与性质-上

能力目标

□利用相似三角形求线段长

1.如图，在八43。中，AB^AC,AQ1B4于点A,交3C边于E,。。，8。于点。,

与AQ交于点£).(1)求证：AACE^AADC；(2)如果CE=1,CD=2,求AC

2.如图，在八45。中，AO是N84C的平分线，£：/垂直平分AO,交CB的延长线于

点尸，交AD于点E,交AC于点M.(1)"仃与相似吗？请说明理由;

(2)如果4/=6,%)=2,AC=4,求。C和AM的长.

「解题课」相似三角形判定与性质-下

能力目标

□综合运用相似的判定与性质

□利用相似三角形转化线段比

如图，在锐角AABC中，己知BE、CE分别是人钻。的高.求证：^ABC^AAEF.

如图，四边形ABC。的对角线相交于点O,=.求证：乙DAC=Z.CBD.

3.如图，在八43。中，NH4C=90°,E是AC的中点，延长M

Anr)p

和A8的延长线交于点尸.求证：——=——

ACAF

攻略

1.利用已有相似证

另一组相似

2.利用相似转化线

段比

27.2.3相似三角形应用举例

「解题课」实际问题中的相似

能力目标

□能运用相似的性质解决生活中的实际问题

已知田豆包的身高1.75米，旗杆在太阳照射下的影子长为6米，田

豆包在太阳照射下的影子长为1米.（1）求旗杆的高度；（2）若田豆

花的在太阳照射下的影子长为0.87米，则用豆花的身高约为多少？

（保留两位小数）.

|收

2.王小锤家想在自家门口池塘两岸A、B之间架一座桥，现在小锤妈妈让小锤去量一下A、

B之间的距离，但小锤不知如何测量.请你帮小锤出个主意准确量出A、B之间的距

离.

「解题课」相似与全等

能力目标

□运用相似与全等的性质和判定解决综合问题

1.如图，AB//CD,E是AB上一点,DE交AC于点F,AF=FC,分别延长。石和

CB交于点G.(1)求证：AAEF^ACDF；⑶若GB=2,BC=4,BE=\,求

A3的长.

攻略

1.利用全等转化线段

2.找A字型和8字型

2.如图，AA5C和是等腰直角三角形，NB4C=N£AD=90°,点。、七在

NB4C的外部，连接DC、的，交AB于点G,交曲于点K.若AC=8,G4=2,

求GC-KG的值.

攻略

1.利用全等转化线段

2.找A字型和8字型

3.如图，在H/ZVU3C中，ZC=90°,用△8AP中，/84。=90°,已知/。8。=/43。,

BP交AC于点、O,E为AC上一点，且AE=OC.

3

(1)求证：PE±AO;(2)当AE==AC,43=1()时，求线段8。的长度.

8

I■解题课」相似与四边形

能力目标

□转化线段乘积式为比例式

1.如图，已知正方形ABC。中，BE平分/O3C且交CD边于点E,将△BCE绕点。顺

时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交。F于点G.(1)求证：ABDGS/\DEG；

⑵若EG-3G=4,求郎的长.

攻略

看见线段乘积，转化

成比例式

2.如图，OABCO中，ADBC=45°,DE_L5C于E,BFLCD于F,DE、BF

相交于“，BF、AO的延长线相交于G.⑴求证：AB=BH；(2)若GA=10,

HE=2,求AB.

攻略

看见线段乘积，转化

成比例式

B

3.已知正方形ABC。的对角线交于点O,NC4B的平分线分别交30、BC于点E、F,

作3”14尸，垂足为“，的延长线分别交AC、CD于点G、P.

(1)求证：AE=BG；(2)求证：GOAG=CGAO.

攻略

1.看见线段乘枳，转

化成比例式

2.利用相似三角形寻

找比例线段

「概念课」射影定理

学习目标

□理解并掌握双垂图的相关结论

□熟练掌握射影定理及其应用

引导问题1什么是射影定理？如何证明射影定理？

1.射影定理：在用△ABC中，NAC8=90°,C。，AB于。，则有

AC2=—•一,BC2=—­一.

2.证明射影定理：在心AWBC中，AACB=90°,

8,旗于£>.求证：CD。=ADBD,

AC2=—•一,BC2=—•一.

证明：'：ACDA=AACB=90°,

ZDAC=ZCAB.

：.4cs△（A4相似）.

An\ro

（相似三角形对应边成比例）.

ACABBC

同理，有：

=叽（）_（）

XDCBs丛

BCABAC

△DACsADCBn省端啮

比例式转化成乘积式:

ADAr

=-^AC2=ADAB；

ACAB

—~!=BC2=BDAB；

BC()

（）.（）

=CD?=ADDB.

CD()

引导问题2射影定理有什么应用？

3.如图，在MAABC中，NAC3=90。，CDJ_AB于。，AD=\,BD=4,求AC的

长.

4.如图，在RrAABC中，ZACB-90°,C£>_LAB于。，AC=\5,£>3=16,求A。

和的长.

引导问题3双垂图还有什么结论?

5.双垂图：在向AA5C中，AACB=90°,CD_LAB于。，此图被称为双垂图.

双垂图的其他结论有：

①角相等：力=—,22=—；

②利用三边求斜边的高：CD=A?））

m勾股定理：AD2+DC2=—,

CD2+—=BC2,—+—=AB2；

④相似三角形：4DACss

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」圆与射影定理

能力目标

□在圆中发现射影定理图

拔高练习

1.如图，AB是圆O的直径，C是圆上一点，过点。作CD_LA3于AC=2j记,

AD-.BD=4A,求CD的长.

2.如图，PA.PB切0。于A、B,A3交O尸于点C.若。4=2,PC=4,求线段

OC的长.

3.如图，在圆。中，A3为直径，AABC内接于圆，CO是高，AE=AC,连接BE交

圆于点尸.求证：ZACF^ZAED.

4.如图，线段AB的中点为C,以A为圆心、AB长为半径作圆.在线段A3的延长线上

取点。，使BO=