2-1-2一元二次方程的解集及其根与系数的关系-2022-2023学年高一数学上学期知识梳理考点精讲

第二章等式与不等式2.1等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系知识梳理1．一元二次方程的解集一般地，△=b2（1）当△>0时，方程的解集为{eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)}；（2）当△=0时，方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))；（3）当△<0时，方程的解集为．2．一元二次方程根与系数的关系若是一元二次方程的两个根，则，．常见考点考点一一元二次方程的解集典例1．求下列方程的解集：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）（2）（3）【分析】直接利用十字相乘法分解因式，再解方程．【详解】解：（1），原方程化为，解得或，所以原方程的解集为.（2），原方程化为，解得或，所以原方程的解集为.（3），原方程化为，解得或，所以原方程的解集为.【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，考查一元二次方程的解法，属于基础题．变式1-1．解下列一元二次方程：（1）；（2）.【答案】（1）（2）当时，原方程的解集为，当时，原方程的解集为【分析】直接利用十字相乘法解方程，写解集时注意元素的互异性．【详解】解：（1）原方程化为，解得或，所以原方程的解集为.（2）原方程化为，解得或，当时，原方程的解集为，当时，原方程的解集为.【点睛】本题主要考查十字相乘法解一元二次方程，属于基础题．变式1-2．方程的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得到，解得或，即可求解.【详解】由方程，可得方程，解得或，所以或，即方程的解集为.故选：C.变式1-3．一元二次方程解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将一元二次方程因式分解后，求得方程的解集.【详解】，即，所以或，解得，.故选:C.【点睛】本小题主要考查提公因式法求一元二次方程的解集，属于基础题.考点二根据一元二次方程根的情况求参数典例2．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是__________．【答案】【分析】直接根据，即可得答案；【详解】由题意得：，故答案为：.变式2-1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______．【答案】【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可.【详解】因为方程有两个不相等的实数根，则，解得：且故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况，属于简单题.变式2-2．已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．【答案】【分析】由二次项系数非零及两根之积小于0，可得关于m的不等式组，解之即可.【详解】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得，解得.故答案为：变式2-3．已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.【答案】或【分析】根据方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，由求解.【详解】要使原方程有两个负实根，必须满足：，即，所以，解得-2≤k<-1或<k≤1.所以实数k的取值范围是k-2≤k<-1或<k≤1.考点三根与系数的关系例3．若关于x的方程的两根分别是，则（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由韦达定理可得，然后，即可算出答案.【详解】因为是方程的两根，所以所以故选：C变式3-1．关于x的方程的两个根为，，则______．【答案】3【分析】利用韦达定理求出两根关系即可求出.【详解】由题意得，，所以．故答案为：3.变式3-2．设m､n是方程的两个实数根，则的值为___________.【答案】1000【分析】由题意，结合韦达定理，转化原式为，即得解【详解】由题意，m､n是方程的两个实数根又则故答案为：1000变式3-3．若方程的两个实根为、，则的值为______．【答案】10．【分析】由根与系数的关系求解．【详解】由已知，，所以．故答案为：10考点四利用根与系数的关系求参数例4．已知一元二次方程的两实根为、，且，求实数的值.【答案】【分析】转化，结合韦达定理以及判别式，即得解【详解】由题意，一元二次方程的两实根为、故解得或且故即或（舍去）故实数的值为变式4-1．关于的方程有两个实数根．(1)若，且方程的两根为和，求的值．(2)若方程两根的平方和为11，求实数的值．【答案】(1)3；(2)1．【分析】(1)由题意结合韦达定理即可求得代数式的值；(2)由题意结合韦达定理和方程的判别式即可求得实数的值．【详解】(1)当时，方程即，由韦达定理可得：，，则．(2)根据题意设方程的两根为，，∴，∵，∴，∵，∴，解得或﹣3(舍去)．综上所述，实数的值为1．变式4-2．已知关于x的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；（2）若方程两实数根分别为、，且满足，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用判别式的意义得到（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式即可；（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，由条件得x12+x22＝31+x1x2，再利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定满足条件的m的值．【详解】（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解得m≥﹣；（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，x12+x22＝31+x1x2，即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，而m≥﹣；所以m＝2．变式4-3．已知，是方程的两个实数根，且.（1）求值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）66.【分析】（1）由判别式，可求得的取值范围，由韦达定理结合可求得实数的值；（2）利用完全平方和公式及韦达定理即可得解.【详解】解：（1）∵，是方程的两个实数根.∴，即，且，.又∵∴∴，即∴或（舍）.故的值为.（2）由（1）可知，∴.故的值为66.巩固练习练习一一元二次方程的解集1．求下列方程的解集：（1）；（2）【答案】（1）22,-22【分析】（1）本题首先可以求解方程，然后将方程的根写成集合的形式即可；（2）本题首先可以求解方程，然后将方程的根写出集合的形式即可.【详解】（1），，解得或，故、、、，方程的解集为22,（2），，，解得或，方程的解集为.【点睛】本题考查用集合表示方程的解，考查集合的表示方式，考查计算能力，是简单题.2．解下列一元二次方程：（1）；（2）.【答案】（1）当或1时，此时原方程的解集为或；当且时，此时原方程的解集为.（2）当时，此时原方程的解集为；当时，此时原方程的解集为.【分析】直接利用十字相乘法解方程，在写解集时注意元素的互异性．【详解】解：（1）因为，所以原方程化为，解得或，当或1时，，此时原方程的解集为或；当且时，，此时原方程的解集为.（2）因为，所以原方程化为，解得或.当时，，此时原方程的解集为；当时，此时原方程的解集为.【点睛】本题主要考查含参的一元二次方程的解法，考查十字相乘法，考查元素的互异性，属于易错的基础题．3．求方程的解集.【答案】【分析】直接利用因式分解法解方程．【详解】解：因为，所以原方程可以化为，从而可知或，即或，因此所求解集为．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，通常用因式分解法、配方法、求根公式法解决，属于基础题．4．解下列一元二次方程.（1）；（2）.【答案】（1），或；（2），或.【分析】（1）由十字相乘将化简为：，即可求出答案.（2）由十字相乘将化简为：，即可求出答案.【详解】（1），解得：，或.（2），解得：，或.【点睛】本题第一问和第二问主要考查利用十字相乘法求一元二次方程，属于简单题.练习二根据一元二次方程根的情况求参数5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实根可判断，解不等式可得答案.【详解】解：有两个不相等的实数根故答案选：B6．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】由一元二次方程存在两个实根，有判别式即可求的取值范围.【详解】由题意知：，解之得或，故选：C7．若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>-1 B．k<-1C．k≥-1且k≠0 D．k>-1且k≠0【答案】D【分析】由方程有两个不等实根，则根据一元二次方程的性质有k≠0且Δ>0，即可求得k的范围【详解】∵x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根∴k≠0且Δ=4-4k×(-1)>0，解得k>-1∴由上，k的取值范围为k>-1且k≠0故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程，由根与系数关系，以及判别式求参数范围8．若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，判别式及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数的取值范围.【详解】因为关于的方程有两个不同的正根，所以，解得，故实数的取值范围是.故选：C练习三根与系数的关系9．若函数的零点为，，则_________．【答案】4【分析】由题意可知，是方程的两个根，从而得到，且，然后代入所求式子即可求出结果．【详解】解：∵函数的零点为，，∴，是方程的两个根，∴，且，∴，故答案为：4．10．若是方程的两个实数根，则的值等于___________.【答案】2006【分析】由题得，进而提公因式求解即可得答案.【详解】解：因为是方程的两个实数根，所以根据韦达定理得，所以故答案为：11．已知方程的两根为，且，求的值．【答案】【分析】根据方程解出，，代入即可得出答案.【详解】方程的两根为，且则根据方程可得，所以故答案为：12．已知方程的两个实数根为，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【分析】结合韦达定理求出两根和与积，再将所求式子转化为与韦达定理相关的式子即可求解.（1）因为的两个实数根为，结合韦达定理可得，；（2）；（3）练习四利用根与系数的关系求参数13．已知是关于一元二次方程的两个实数根，则，则值是（）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合题干条件，化简计算，即可得答案.【详解】由题意得且解得，又，解得或（舍）.故选：B14．已知一元二次方程的两实根为