全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷4（共280题）

全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷4（共9套）（共280题）全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第1套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、行列式()A、48B、一48C、一84D、84标准答案：A知识点解析：2、初等矩阵相当于对A()A、交换2，3两行的变换B、交换2，3两列的变换C、交换1，2两行的变换D、交换1，3两列的变换标准答案：B知识点解析：因右乘初等矩阵为列变换且右乘为交换2，3两列．3、已知A2+3A-5E=0，则矩阵A-1=()A、A+EB、5(A+3E)C、A+3ED、标准答案：D知识点解析：A2+3A一5E=O;A(A+3E)=5E，所以4、设α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有()A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关B、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关D、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关标准答案：D知识点解析：由于β2不可由α1．α2，α3线性表示，说明α1，α2，α3．β2线性无关．设k1α1+k2α2+k3α3+k4(kβ1+β2)=0，由已知可知β1=m1α1+m2α2+m3α3代入上式整理得(k1+k4m1k)α1+(k2+k4m2k)α2+(k3+k4m3k)α3+k4β2=0．由β2不可由α1，α2，α3线性表示得k1+k4m1k=0，k2+k4m2k=0，k3+k4m3k=0，k4=0,显然k1=k2=k3=k4=0．故选项D成立，至于B，C选项，当k=0时线性相关，当k≠0时线性无关．5、实二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，则k的取值范围为()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2标准答案：B知识点解析：由于二次型的矩阵为，A正定，则顺序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范围是一2＜k＜0或0＜k＜2．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、设行列式FORMTEXT标准答案：30知识点解析：7、若A为3阶方阵且|A-1|=5，则|5A|=________．FORMTEXT标准答案：25知识点解析：8、设方程组无解，则λ的取值为_______．FORMTEXT标准答案：λ≠0且λ≠一3知识点解析：当λ2+3λ≠0时，即λ≠0且λ≠一3时，r(A)=3而方程组无解．9、设A是n阶方阵，且|A|=5，则|(5AT)-1|=______．FORMTEXT标准答案：5-n-1知识点解析：10、若α=(1，k，1)T与β=(1，一2，1)T正交，则k=_____。FORMTEXT标准答案：1知识点解析：由正交得1×1+k×(一2)+1×1=0，则k=1．11、函数f(x)=中，x3的系数为______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：只有主对角线上都含有z项，由行列式的性质得2x×(一x)×(一x)=2x3，x3的系数是2．12、设矩阵，则A+2B________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：13、设矩阵，则ATB=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：14、设向量α1=(1，1，1)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，0，0)T，β=(0，1，1)T，则β由α1，α2，α3线性表示的表示式为_________．FORMTEXT标准答案：β=α1+0α2一α3知识点解析：设线性方程组为x1α1+x2α2+x3α3=β，对它的增广矩阵施行初等变换，得：(A，β)=(α1，α2，α3，β)=显然x1α1+x2α2+x3α3=β的同解方程组Tx=d就是，它的唯一解就是x1=1，x2=0，x3=一1．故β可以唯一表示成α1，α2，α3的线性组合是β=α1+0α2一α3．15、设三元实二次型f(x1，x2，x3)的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型是_________．FORMTEXT标准答案：f=z12+z22一z32知识点解析：因f为实二次型，所以f可经非退化线性替换x=cz化为规范形，又r=n=3，正惯性指数为2，则负惯性指数为1，故f的规范型为f=z12+z22一z32．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算行列式标准答案：把第二行的(一1)倍加到第一行，第四行的(一1)倍加到第三行得把第一列的(一1)倍加到第二列，第三列的(一1)倍加到第四列得知识点解析：暂无解析17、设A，B满足ABA=2BA—E，其中求B.标准答案：将ABA=2BA—E两端右乘A-1得AB=2B—A-1，所以(A一2E)B=一A-1．即有B=一(A—2E)-1A-1知识点解析：暂无解析18、设α1=(1，2，1，2)T，α2=(1，0，3，1)T，α3=(2，一1，0，1)T，β=(2，1，一2，2)T，判断β是否能由α1，α2，α3线性表出?如能，判断表出的方法是否唯一．标准答案：设x1α1+x2α2+x3α3=β，则增广矩阵为对增广矩阵进行初等行变换有所以方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有唯一解，x1=-1，x2=一1，x3=1，即β能由α1，α2，α3线性表示，且表示的方法唯一，即β=α1—α2+α3．知识点解析：暂无解析19、问a取何值时，向量组线性相关?标准答案：所以当或a=1时，向量组α1，α2，α3线性相关．知识点解析：暂无解析20、用初等行变换法求解线性方程组标准答案：对增广矩阵进行初等行变换因为r(A)≠r(A，β)，故方程组无解．知识点解析：暂无解析21、设A是三阶实对称矩阵，且A的特征值为1，2，3，α1=(一1，一1，1)T，α2=(1，一2，一1)T分别是属于特征值1，2的特征向量．(1)求属于特征值3的一个特征向量；(2)求出相应的矩阵A．标准答案：(1)设属于特征值3的特征向量为α=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量两两正交，则有(α1，α)=0，(α2，α)=0，解得属于特征值3的一个特征向量为α=(1，0，1)T．知识点解析：暂无解析22、用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+4x2x3为标准形，并判断是否正定．标准答案：f(x1，x2，x3)=(x12+2x1x2+x22)+(x22+4x2x3+4x32)一x32=(x1+x2)2+(x2+2x3)2一x32，则二次型f(x1，x2，x3)的标准形为y12+y22-y32．由标准形可知f的正平方项个数即正惯性指数为2＜3，故f非正定．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、已知m个向量α1，α2，…，αm线性相关，但其中任意m一1个都线性无关．证明：如果存在等式k1α1+…+kmαm=0，则这些系数k1，…，km或者全为零，或者全不为零．标准答案：证明：假设k1，…，km中有一个为零，不妨设为k1，则有k2α2+…+kmαm=0，而α2，α3，…，αm线性无关，得k2=…km=0=k1，矛盾，故k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第2套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、若n阶方阵A可逆，且伴随矩阵A*也可逆，则A*的逆矩阵为()A、AB、｜A｜．2C、D、标准答案：C知识点解析：由于A可逆，因此｜A｜≠0，又A．A*=A*．A=｜A｜．I，所以．答案为C。2、设α1=，则α3=_________时，有α1，α2，α3为R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T标准答案：D知识点解析：首先已知α1，α2线性无关(其坐标不成比例)，又令A=(α1，α2，α3)，则α1，α2，α3线性无关→｜A｜≠0由于A的左上角2阶主子式(记为｜A11｜)不等于0，故选α3=即可。(此时｜A｜*==｜A11｜．1≠0)．答案为D。3、已知可逆方阵A的逆矩阵，则A＝A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：4、设A=，则以矩阵A为对应的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32B、f(x1，x2，x3)=x12+x2x3C、f(x1，x2，x3)=x22+x1x3D、f(x1，x2，x3)=x32+x1+x2标准答案：C知识点解析：A的主对角线元素1对应x2系数；a13=1，a31=1，之和对应x1x3系数2．答案为C。5、设n维向量，矩阵A=E一αTα，B=E+2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB=()A、OB、一EC、ED、E+αTα标准答案：C知识点解析：B=(E—αTα)(E+2αTα)=E+αTα一2αTααTα=E+αTα一2αT(ααT)α=E+αTα一2×=E，选C.6、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，则()A、α1线性相关B、α1，α2线性相关C、α1，α2，α3线性相关D、α1，α2，α4线性相关标准答案：C知识点解析：单个非零向量是线性无关的，∴选项A不对，而(α1，α2，α3)→因为含有零向量的向量组一定线性相关，所以C是正确．答案为C7、已知三阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为1，2，4，则｜B－1｜﹦A、1／8B、8C、1／7D、7标准答案：A知识点解析：相似矩阵必有相同的特征值，因A～B，则A与B有相同的特征值，即B的特征值为1，2，4，则｜B｜＝，即｜B｜＝1×2×4＝8，而｜B-1｜＝，故选A．8、设ε1，ε2，ε3是Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成()A、ε1，ε2，ε3的一个等价向量组B、ε1，ε2，ε3的一个等秩向量组C、ε1，ε1+ε2，ε1+ε2+ε3D、ε1—ε2，ε2一ε3，ε3—ε1标准答案：C知识点解析：A错误，这是因为等价向量组所含向量的个数不一定相同，如ε1，ε2，ε3，ε1+ε2也与ε1，ε2，ε3等价，但它不是基础解系．B也错误，等价自然等秩．C正确，一方面它与ε1，ε2，ε3等价，且另一方面个数也为3．D错误，ε1一ε2，ε2一ε3，ε3一ε1线性相关．9、二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋3x32＋2x1x2＋2x2x3的秩为A、0B、1C、2D、3标准答案：D知识点解析：由二次型的矩阵，得r(A)＝3，即此二次型的秩为3，故选D项．10、行列式()A、48B、一48C、一84D、84标准答案：A知识点解析：11、已知A2+3A-5E=0，则矩阵A-1=()A、A+EB、5(A+3E)C、A+3ED、标准答案：D知识点解析：A2+3A一5E=O;A(A+3E)=5E，所以12、实二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，则k的取值范围为()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2标准答案：B知识点解析：由于二次型的矩阵为，A正定，则顺序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范围是一2＜k＜0或0＜k＜2．13、当t为________，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+21x3是正定的．()A、｜t｜＞2B、｜t｜＜3C、｜t｜＜D、｜t｜＞1标准答案：C知识点解析：二次型的矩阵A=各阶顺序主子式为2＞0，14、当t为______，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1标准答案：C知识点解析：二次型的矩阵各阶顺序主子式为2＞0，即即因为故当时，答案为C15、设，则α3=______时，有α1，α2，α3为R3的基．()A、(0，0，1)TB、(0，1，0)TC、(1，0，1)TD、(2，1，2)T标准答案：A知识点解析：首先易知α1，α2线性无关(其坐标不成比例，)又令A=(α1，α2，α3)，则α1，α2，α3线性无关,|A|≠0．由于A的左上角2阶主子式(记为|A11|)不等于0，故选α3==|A11|×1≠0)．16、设A，B是n阶正定矩阵，则_______是正定矩阵．()A、A*.B*B、A*+B*C、k1A*+k2B*D、A*一B*标准答案：B知识点解析：因为A，B是n阶正定阶阵，则A*，B*也是n阶正定矩阵，所以对于任何非零实列向量x都有xTA*x＞0，xTB*x＞0，二式相加xTA*x+xTB*x=xT(A*+B*)x＞0对任何非零实列向量都成立，由定义知，A*+B*为正定矩阵．答案为B17、行列式=()A、48B、84C、一48D、一84标准答案：A知识点解析：=6×23=48．答案为A。18、设矩阵，则()A、a=3，b=一1，c=1，d=3B、a=一1，b=3，c=1，d=3C、a=3，b=一1，c=0，d=3D、a=一1，b=3，c=0，d=3标准答案：C知识点解析：。答案为C。19、λ1，λ2都是n阶矩阵A的特征值，λ1≠λ2，且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量，当______时，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量．()A、k1≠0且k2≠0B、k1≠0而k2=0C、k1=0且k2=0D、k1.k2=0标准答案：B知识点解析：A的特征向量不能是零向量，所以k1，k2不同时为零，所以C，D不对；x1，x2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和，不再是其中一个方程的解．所以A的特征向量不是A选项．选项B，因为k2=0，k1≠0，x=k1x2仍然是A的特征向量．20、设则以矩阵A为对应的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+2x2x3B、f(x1，x2，x3)=x12+x22=x32C、f(x1，x2，x3)=x32+2x1x2D、f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3标准答案：D知识点解析：A的主对角线元素1对应x22系数；a13=1，a31=1，之和对应系数2．答案为D.二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、设线性方程组当λ______时，有唯一解．FORMTEXT标准答案：≠2知识点解析：得当λ－2≠0时，r(A)＝r(A，b)＝3，方程组有唯一解．故λ≠2．22、设A，B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为__________．FORMTEXT标准答案：AB=BA知识点解析：A、B为n阶对称矩阵，则AT=A，BT=B，因为AB也是对称矩阵．(AB)T=BTAT=BA=AB，故A、B都为n阶对称矩AB．则AB也为对称矩阵的充要条件为AB=BA．23、用初等变换将矩阵A=化为标准型为__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：对A进行初等变换，有24、设A为n阶方阵，｜A｜≠0，若A有特征值λ，则A*的特征值_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由于｜A｜≠0，因此A可逆并且A-1=，即A*=｜A｜．A-1；如果Aα=λα，则A-1．Aα=λA-1α，所以A-1α=是A*的特征值．25、已知A=是正定矩阵，则a满足的条件是_________．FORMTEXT标准答案：a＞1知识点解析：A为正定矩阵，故A的顺序主子式均大于零，得△1=2＞0，△2=8＞0，△3=｜A｜==2×(4a一4)＞0，故a＞1．26、设二阶矩阵A＝，则｜2A2｜＝_______．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：27、设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+x32+2x1x3，判定该二次型的正定性为_________．FORMTEXT标准答案：半正定二次型知识点解析：该题可利用特征值判定．由二次型对应的对称矩阵A=．可知A的特征值为0，2，2，故该二次型为半正定二次型．28、设矩阵A=，则3AT一BT=________。FORMTEXT标准答案：知识点解析：3AT—BT=3．29、FORMTEXT标准答案：211知识点解析：依据行列式计算法则：原式=一2×(一2)×(一2)×(一2)×(一2)+3×3×3×3×3=一32+243=211．30、设A是n阶方阵，且|A|=5，则|(5AT)-1|=______．FORMTEXT标准答案：5-n-1知识点解析：三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、设2阶矩阵A可逆，且A-1=对于矩阵令B=P1AP2，求B-1标准答案：由于B=P1AP2故B-1=(P1AP2)-1=P2-1A-1P1-1知识点解析：暂无解析32、设向量都是方阵A的属于特征值λ=2的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A2β．标准答案：因此r(A)=3。知识点解析：暂无解析33、计算.标准答案：第一行乘1加第二行，再让第二行乘1加第三行……以此类推得D=1．知识点解析：暂无解析34、已知二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+Cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩为2，求参数C及此二次型对应矩阵的特征值．标准答案：此二次型对应矩阵为因秩(A)=2，故故所求特征值为λ1=0，λ2=4，λ3=9．知识点解析：暂无解析已知线性方程组35、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析36、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、如果Ak=0(k为正整数)，求证：(E—A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．标准答案：(E—A)(E+A+A2+…+Ak-1)=E．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第3套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设A、B为n阶可逆矩阵，下列选项等式不成立的是A、｜AB｜＝｜BA｜B、(AB)T＝BTATC、(AB)-1＝B-1A-1D、(A+B)-1＝A-1＋B-1标准答案：D知识点解析：因为｜AB｜＝｜A｜·｜B｜，所以｜AB｜＝｜BA｜＝｜A｜·｜B｜，故A成立．而B、C也都符合矩阵运算的规律，故B、c成立．因此D不成立．2、已知可逆方阵A的逆矩阵，则A＝A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：3、行列式=()A、0B、21C、42D、一42标准答案：D知识点解析：行列式展开性质，=(一1)1+4×=一42．答案为D。4、设A、B为n阶方阵，且AB=O(零矩阵)，则()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0标准答案：D知识点解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案为D。5、方程组的一组基础解系由_________个向量组成．()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：该方程组的系数矩阵秩等于1，有3个未知数，因此基础解系由2个线性无关的向量组成．答案为B。6、要使ε1=(1，0，1)T，ε2=(一2，0，1)T都是线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：ε1，ε2显然线性无关，故系数矩阵的秩至多为3—2=1，只有D符合．7、设ε1，ε2，ε3是Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成()A、ε1，ε2，ε3的一个等价向量组B、ε1，ε2，ε3的一个等秩向量组C、ε1，ε1+ε2，ε1+ε2+ε3D、ε1—ε2，ε2一ε3，ε3—ε1标准答案：C知识点解析：A错误，这是因为等价向量组所含向量的个数不一定相同，如ε1，ε2，ε3，ε1+ε2也与ε1，ε2，ε3等价，但它不是基础解系．B也错误，等价自然等秩．C正确，一方面它与ε1，ε2，ε3等价，且另一方面个数也为3．D错误，ε1一ε2，ε2一ε3，ε3一ε1线性相关．8、设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()A、A的任意m个列向量必线性无关B、A的任意一个m阶子式不等于零C、若矩阵B满足BA=O，则B=OD、A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式标准答案：D知识点解析：矩阵Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行满秩，列不满秩，A的m个列向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为(ImO)形式，故选D．答案为D。9、设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是A、r(A)＝r(B)B、λE一A＝λE一BC、｜A｜＝｜B｜D、存在可逆矩阵P，使P－1AP＝B标准答案：B知识点解析：暂无解析10、=0的根为()A、a1+a2+a3+a4B、0，a1+a2+a3+a4C、a1．a2．a3．a4，0D、0，一a1—a2—a3—a4标准答案：D知识点解析：2、3、4列加到第一列，答案为D。11、零为矩阵A的特征值是A不可逆的()A、必要条件B、充分条件C、非充分、非必要条件D、充要条件标准答案：D知识点解析：零为矩阵A的特征值,|0×E—A|=|-A|=(一1)n|A|=0,|A|=0推得A不可逆．故选D.12、设A为二阶方阵，B为三阶方阵，且行列式｜A｜＝2，｜B｜＝－1，则行列式｜A｜B｜＝A、8B、－8C、2D、﹣2标准答案：B知识点解析：因B为3阶矩阵，且｜B｜＝－1，｜A｜＝2，所以｜A｜B｜＝｜A｜3｜B｜＝23×(－1)＝－8．13、如果A，B是同阶对称矩阵，则A.B()A、是对称矩阵B、是非对称矩阵C、是反对称矩阵D、不一定是对称矩阵标准答案：D知识点解析：设A与B均为对称矩阵但A.B=不是对称矩阵．答案选D。14、n维向量组α1，α2…，αs(s≥2)线性相关充要条件A、α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例B、α1，α2，…，αs中至少有一个是零向量C、α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以由其余向量线性表出D、α1，α2，…，αs中每一个向量都可以由其余向量线性表出标准答案：C知识点解析：暂无解析15、以下各线性方程组中，解空间的基是α1=(1，一1，1，一1，1)T，α2=(1，1，0，0，3)T，α3=(3，1，1，一1，7)T，α4=(0，2，一1，1，2)T的方程组是()A、B、C、x1一x2—2x3=0D、x1+x2+2x4=0标准答案：C知识点解析：因5一r(A)=4，故r(A)=1．于是，只可能为C或D。因一眼就能看出，A、B中两方程的系数都不成比例，故r(A)=r(B)=2．再把解代人验证：因α1满足C，不满足D，故选C。答案为C。16、行列式()A、48B、一48C、一84D、84标准答案：A知识点解析：17、设α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有()A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关B、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关D、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关标准答案：D知识点解析：由于β2不可由α1．α2，α3线性表示，说明α1，α2，α3．β2线性无关．设k1α1+k2α2+k3α3+k4(kβ1+β2)=0，由已知可知β1=m1α1+m2α2+m3α3代入上式整理得(k1+k4m1k)α1+(k2+k4m2k)α2+(k3+k4m3k)α3+k4β2=0．由β2不可由α1，α2，α3线性表示得k1+k4m1k=0，k2+k4m2k=0，k3+k4m3k=0，k4=0,显然k1=k2=k3=k4=0．故选项D成立，至于B，C选项，当k=0时线性相关，当k≠0时线性无关．18、设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT.BT是矩阵．()A、上三角B、下三角C、对角形D、即非上三角也非下三角标准答案：B知识点解析：AT，BT均为下三角阵，因此AT.BT也是下三角阵．答案为B19、当t为______，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1标准答案：C知识点解析：二次型的矩阵各阶顺序主子式为2＞0，即即因为故当时，答案为C20、设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题不正确的是()A、AB也是正交矩阵B、A*也是正交矩阵C、A+B也是正交矩阵D、A-1也是正交矩阵标准答案：C知识点解析：设A=E，B=一E，则A，B均为正交矩阵，但A+B为零矩阵，不是正交矩阵．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、已知则X=_________.FORMTEXT标准答案：知识点解析：22、分块矩阵则AT=_____．FORMTEXT标准答案：知识点解析：暂无解析23、已知α=(3，5，7，9)，β=(一1，5，2，0)，x满足2α+3x=β，则x=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：24、设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B=AC的秩为__________．FORMTEXT标准答案：r知识点解析：根据矩阵的秩的定理2．6．1推论：设A为m×n矩阵，P和Q分别是m阶和n阶可逆矩阵．则r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)．可推出r(B)=r(AC)—r(A)=r．25、设A为4阶方阵，且秩(A)=2，则齐次线性方程组A*x=0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为________．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：秩(A)=2，则秩(A*)=0，即A*=O．故任意4维向量都是A*x=0的解，即它的基础解系所包含的线性无关的解向量的个数为4．26、设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B=AC的秩为_______．FORMTEXT标准答案：r知识点解析：根据矩阵的秩的定理2．6．1推论：设A为m×n矩阵，P和Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，则r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)．可推出r(B)=r(A)=r(A)=r．27、设三阶实对称矩阵A的特征值为0，1，2，它们对应的特征向量分别为α1＝(1，1，1)，α2＝(1，a，－1)，α3＝(b，－2，1)，则a＝______，b＝______．FORMTEXT标准答案：0．1知识点解析：由实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定是正交向量，得α1α2T＝0，28、已知矩阵有一个特征值为0，则x=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：A的行列式等于A的所有特征值的乘积，因为A有一个特征值为0，所以|A|=5—2x=0，x=29、二次型f(x1，x2，x3，x4)=2x1x2一ax3x4的秩为2，则a=_____．FORMTEXT标准答案：0知识点解析：二次型的矩阵且r(A)=2，故a=0．30、设矩阵A=为正定矩阵，则a的最大取值范围是________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：矩阵A正定，因此顺序主子式大于0，｜1｜=1＞0，=1一5a2＞0，所以a的最大取值范围是．三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、设α1=(2，3，5)，α2=(3，7，8)，α3=(1，一6，1)，求λ使β=（7,2，λ）可用向量α1,α2,α3线性表示。标准答案：求解非齐次线性方程组据此可知当λ=15时，β=11α1一5α2+0α3．知识点解析：暂无解析32、已知矩阵(1)求A-1；(2)解矩阵方程AX=B.标准答案：由于｜A｜=1≠0，所以矩阵A可逆，经计算因此知识点解析：暂无解析33、设A为n阶方阵(n≥3)，秩r(A)=r，求A的伴随矩阵A*的秩．标准答案：当r(A)=n时，A可逆，则A*也可逆，因此r(A*)=n；当r(A)=n一1时，｜A｜=0，因此AA*=｜A｜．E=0，即A*的n个列向量均为齐次线性方程组Ax=0的解向量，由于r(A)=n一1，AX=0的基础解系仅含一个解向量，所以A*的列向量的秩≤1；又r(A)=n—1，A中存在一个不为0的n—1阶子式，故A*的n个列向量中至少有一个不为零向量，所以A*的列向量的秩≥1，由以上讨论可知，r(A*)=1．当r(A)＜n—1时，A的每一个n一1阶子式均为零，即A*是零矩阵，所以r(A*)=0．所以r(A*)=知识点解析：暂无解析34、设A为n阶方阵(n≥3)，秩r(A)=r，求A的伴随矩阵A*的秩．标准答案：当r(A)=n时，A可逆，则A*也可逆，因此r(A*)=n；当r(A)=n一1时，｜A｜=0，因此AA*=｜A｜．E=0，即A*的n个列向量均为齐次线性方程组Ax=0的解向量，由于r(A)=n一1，AX=0的基础解系仅含一个解向量，所以A*的列向量的秩≤1；又r(A)=n一1，A中存在一个不为0的n—1阶子式，故A*的n个列向量中至少有一个不为零向量，所以A*的列向量的秩≥1，由以上讨论可知，r(A*)=1．当r(A)＜n-1时，A的每一个n一1阶子式均为零，即A*是零矩阵，所以r(A*)=0．所以知识点解析：暂无解析已知线性方程组35、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析36、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、任意一个实方阵A都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．标准答案：知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第4套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设α1=，则α3=_________时，有α1，α2，α3为R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T标准答案：D知识点解析：首先已知α1，α2线性无关(其坐标不成比例)，又令A=(α1，α2，α3)，则α1，α2，α3线性无关→｜A｜≠0由于A的左上角2阶主子式(记为｜A11｜)不等于0，故选α3=即可。(此时｜A｜*==｜A11｜．1≠0)．答案为D。2、设A=，则Ax=0的基础解系含有_________个解向量．()A、1B、2C、3D、0标准答案：A知识点解析：由于V(A)=3，所以基础解集含有4—3=1个向量．答案为A。3、若方程组，有非零解，则λ＝A、－2／5B、0C、2/5D、-1标准答案：C知识点解析：齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行列式4、设向量组(I)：α1，α2，…，αn的秩为r，则必有A、(I)中任意r个向量必线性无关B、(I)中任意r－1个向量必线性无关C、(I)中任意r+1个向量必线性相关D、(I)中线性相关向量的个数必大于r标准答案：C知识点解析：因向量组(I)的秩为r，故向量组的一个极大无关组为(Ⅱ)：αi1，…，αir，则(I)中任意r+1个向量都可由(Ⅱ)线性表示，故C选项正确．5、设A是n阶方阵，已知A2一2A—2I=O，则(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、标准答案：A知识点解析：把已知关系式A2—2A—2I=O写成(A+I)M=I的形式，则M是(A+I)的逆方阵．由题设关系式A2一2A一2I=O，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I—A)=I，故(A+I)-1=3I—A．答案为A。6、设A为m×n矩阵，若任何n维列向量都是方程组Ax＝0解，则A、r(A)＝mB、r(A)＝nC、0D、A＝0标准答案：D知识点解析：设ej是单位矩阵E的第j列，则有题知Aej＝0，即AE＝0，故A＝0．7、已知是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为()A、(5，一3，一1)B、C、D、标准答案：A知识点解析：将四个选项代入验证Ax=0是否成立即可．答案为A。8、设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则()A、AA*=｜A｜B、AA*=｜A｜*C、A*A=｜A｜D、A*A=｜A｜*I标准答案：C知识点解析：A.A*=｜A｜I．答案为C.9、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，则()A、α1线性相关B、α1，α2线性相关C、α1，α2，α3线性相关D、α1，α2，α4线性相关标准答案：C知识点解析：单个非零向量是线性无关的，∴选项A不对，而(α1，α2，α3)→因为含有零向量的向量组一定线性相关，所以C是正确．答案为C10、设向量组(I)：α1=(a11，a21,a31)T，α2=(a12，a22，a32)T，α3=(a13,a23，a33)T，向量组(Ⅱ)：β1=(a11，a21，a31，a41)T，β2=(a12，a22，a32，a42)T，β3=(a13，a23，a33，a43)T，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：令α1=(1，0，0)T，α2=(1，0，0)T，α3=(0，1，0)T，β1=(1，0，0，1)T，β2=(1，0，0，0)T，β3=(0，1，0，0)T，显然α1，α2，α3线性相关，而β1，β2，β3线性无关，排除A，C．同理可举例排除D．也可证明B成立，(I)无关，故矩阵A4×3=(β1，β2，β3)有一个3阶主式不为零，故A的列向量组的秩也必为3，故β1，β2，β3线性无关．11、若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C为同阶方阵，则A应满足条件()A、A≠0B、A=0C、｜A｜=0D、｜A｜≠0标准答案：D知识点解析：若AB=AC，则A(B—C)=0，故当A可逆，即｜A｜≠0时B=C．答案为D。12、设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()A、A的任意m个列向量必线性无关B、A的任意一个m阶子式不等于零C、若矩阵B满足BA=0，则B=0D、A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式标准答案：D知识点解析：矩阵Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行满秩，列不满秩，A的m个列向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为(ImO)形式，故选D答案为D。13、设n(n≥3)阶矩阵A=若矩阵A的秩为n一1，则a必为()A、1B、C、一1D、标准答案：B知识点解析：由r(A)=n一1．必｜A｜=0．若a=1，则r(A)=1，故必a≠1．=(1一a)n—1(1一n+na)=(1—a)n—1[1一n)a]因a≠1，故仅当a=时，｜A｜=0且r(A)=n—1(即｜An—1｜≠0)．答案为B。14、n元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是()A、方程个数m＜nB、方程个数m＞nC、方程个数m=nD、秩(A)＜n标准答案：D知识点解析：对于线性方程组Ax=0来说，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分条件)；同样，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要条件)．答案为D。15、设A为二阶可逆矩阵，且(3A)－1＝，则A＝A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：16、设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT.BT是矩阵．()A、上三角B、下三角C、对角形D、即非上三角也非下三角标准答案：B知识点解析：AT，BT均为下三角阵，因此AT.BT也是下三角阵．答案为B17、设A是n阶方阵，且｜A｜=5，则｜(5AT)-1｜=()A、5n+1B、5n-1C、5-n-1D、5-n标准答案：C知识点解析：因为｜A｜=5，所以答案为C18、设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：∵A是2阶可逆矩阵，∴A的秩为2，由于两矩阵等价则矩阵的秩相等，由题知D答案中矩阵秩为2，所以选D．答案为D。19、若二阶矩阵A相似于矩阵B＝，E为二阶单位矩阵，则与矩阵A－2E相似的矩阵是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因A～B，故A的特征值为1，3，则A一2E的特征值为－1，1．因相似矩阵必有相同的特征值，所以只有B项正确．20、设有向量组α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是()A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4，α5C、α1，α2，α4D、α1，α2，α5标准答案：C知识点解析：(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)=故α1T，α2T，α4T线性无关，从而α1，α2，α4是极大线性无关组．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、齐次线性方程组，有非零解的充要条件是λ＝______．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：因方程组有非零解，则｜A｜＝0，即r(A)<3，故λ－1＝0，得λ＝1．22、用初等变换将矩阵化为标准型为______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：对A进行初等变换，有23、实对称矩阵A满足A2+A2+A=3I，则A=__________．FORMTEXT标准答案：I知识点解析：设矩阵A的特征值为λ，则有λ3+λ2+λ=3，即(λ—1)(λ2+2λ+3)=0．由于实对称矩阵的特征值是实数，故λ2+2λ+3=(λ+1)2+2＞0，由此可得A只有惟一的三重特征值1，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=I，于是有A=PIP-1=I．24、已知三阶矩阵A的特征值为1，2，3，且矩阵B与A相似，则｜B+AT｜＝______．FORMTEXT标准答案：48知识点解析：由A与AT有相同的特征值，相似矩阵也必有相同的特征值，得B、AT的特征值都为1，2，3，所以B+AT的特征值为2，4，6，则｜B＋AT｜＝2×4×6＝48．25、已知线性方程组无解，则λ=_______。FORMTEXT标准答案：-1知识点解析：当λ=一1时，第4个方程为矛盾方程，因而无解．26、设三阶实对称矩阵A的特征值为0，1，2，它们对应的特征向量分别为α1＝(1，1，1)，α2＝(1，a，－1)，α3＝(b，－2，1)，则a＝______，b＝______．FORMTEXT标准答案：0．1知识点解析：由实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定是正交向量，得α1α2T＝0，27、齐次线性方程组有非零解，则a=_________．FORMTEXT标准答案：8知识点解析：齐次线性方程组有非零解=0，即a=8．28、已知矩阵有一个特征值为0，则x=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：A的行列式等于A的所有特征值的乘积，因为A有一个特征值为0，所以|A|=5—2x=0，x=29、若向量组线性相关，则t=_______．FORMTEXT标准答案：6知识点解析：由于α1，α2，α3线性相关，故行列式|α1，α2，α3|==2t—12=0，故t=6．30、方程组中有_________个自由未知量．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：由于系数矩阵的秩为2，所以有3—2=1个自由未知量．三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、将线性无关向量组α1=化为单位正交向量组．标准答案：用施密特正交化方法，有则β1，β2，β3是正交向量组，再单位化，有则γ1，γ2，γ3是单位正交向量组．知识点解析：暂无解析32、已知A=且A2一AB=E，求矩阵B．标准答案：由于AB=A2一E，又｜A｜==一1≠0．所以A可逆，因此B=A-1(A2一E)=A—A-1而A-1=。知识点解析：暂无解析已知线性方程组33、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析34、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析35、计算行列式标准答案：知识点解析：暂无解析36、设求一个正交矩阵P，使得p-1AP为对角矩阵．标准答案：矩阵的特征多项式为得A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5．对于特征值λ1=1，求解方程组(E—A)x=0，得到一个特征向量对于特征值λ2=2，求解方程组(2E—A)x=0，得到一个特征向量对于特征值λ3=5，求解方程组(5E—A)x=0，得到一个特征向量因为特征值不相等，则ξ1，ξ2，ξ3正交，将ξ1，ξ2，ξ3单位化得令P=(p1,p2，p3)=则有P-1AP=知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、设A，B为n阶方阵，试证明：标准答案：证明：由于两边取行列式得知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第5套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT.BT是矩阵．()A、上三角B、下三角C、对角形D、即非上三角也非下三角标准答案：B知识点解析：AT，BT均为下三角阵，因此AT.BT也是下三角阵．答案为B2、设A是n阶方阵，且｜A｜=5，则｜(5AT)-1｜=()A、5n+1B、5n-1C、5-n-1D、5-n标准答案：C知识点解析：因为｜A｜=5，所以答案为C3、设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1()A、A-1+B-1B、A+B.C、A(A+B)-1.BD、(A+B)-1标准答案：C知识点解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1.B=B-1.B=I，所以(A-1+B-1)4、齐次线性方程组的解的个数为()A、有惟一的零解B、有无穷多个解C、无解D、不确定标准答案：B知识点解析：齐次线性方程系数矩阵A的秩为：r(A)=3＜4，故齐次线性方程组有无穷多个解．答案为B。5、已知线性方程组则下列判断正确的是()A、λ=2时,方程组有无穷多组解B、λ=一3时方程组无解C、λ=3时方程组有无穷多组解D、λ≠2时方程组有惟一解标准答案：B知识点解析：对方程组的增广矩阵进行初等变换，依次将第一行、第二行和第三行加到第四行上：这时就可发现若λ=一3，则矩阵最后一行前面4个数等于0，而最后一个数等于4，用方程式表示将得到0=4，这表明方程组无解，故应该选B。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、行列式=__________.FORMTEXT标准答案：4知识点解析：7、若则D1==_______。FORMTEXT标准答案：2知识点解析：8、已知则X=_________.FORMTEXT标准答案：知识点解析：9、设A为n阶方阵且｜A｜≠0，则A*可逆并且(A*)-1=_________.FORMTEXT标准答案：知识点解析：由于｜A｜≠0，故A可逆且所以A*=｜A｜.A-1，因此10、已知向量组线性相关，则k=_____.FORMTEXT标准答案：k=2知识点解析：向量α1,α2,α3线性相关，故对α1,α2,α3组成的矩阵作初等变换，即由于α1,α2,α3线性相关，故k=2．11、已知齐次线性方程组有非零解，则λ=_________.FORMTEXT标准答案：一2或1知识点解析：由于齐次线性方程组有非零解，系数行列式12、若三阶矩阵,则A的三个特征向量的关系为_______．FORMTEXT标准答案：线性无关知识点解析：A～B知A和B有相同的特征值，故A有1，2，3三个不同的特征值，A为三阶的，故A的三个特征值对应的三个特征向量线性无关．13、已知三阶方阵A的三个特征值为1，一2，一3，｜A｜及A-1，A*，A2+2A+E的特征值分别为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：本题考查利用公式求特征值与特征向量，设λi为n阶方阵A的特征值，pi为A的对应于特征值λi的特征向量，i=1，2，…，n，则(1)f(A)的特征值为f(λi)，对应于f(λi)的特征向量为pi，i=1，2，…，n，其中f(x)为x的多项式；(2)设A可逆，则A-1的特征值为λi-1，对应的特征向量为pi，i=1，2，…，n；(3)设A可逆，则A*的特征值为，对应的特征向量为pi，i=1，2，…，n；(4)AT的特征值为λi,i=1，2，…，n，对应的特征向量为pi，i=1，2，…，n；(5)若B=P-1AP，则B的特征值为λ，对应的特征向量为P-1pi，i=1，2，…,n；从而有：｜A｜=1.(一2).(一3)=6；A-1的特征值为：；A*的特征值为：6，一3，一2；A2+2A+E的特征值为：4，1，4．14、已知方阵A与方阵相似，则A的特征值为_______．FORMTEXT标准答案：λ1=λ2=2，λ3=一2知识点解析：由于B的特征多项式为因此B的特征值为λ1=λ2=2，λ3=一2，而A与B相似，因此有相同的特征值．15、二次型f(x1，2x2，x3)=x12一2x22+x32一2x1x2+4x1x3+8x2x3对应的对称矩阵A=_______．FORMTEXT标准答案：x1，x2，x3平方项系数对应主对角线元素：1，一2，1；x1x2的系数一2对应a12和a21的系数的和：∴a12=一1a21=一1；x1x3的系数4对应a13和a31系数的和：∴a13=a31=2；x2x3的系数8对应a23和a32的系数的和：∴a23=a32=4．知识点解析：暂无解析三、计算题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)16、计算标准答案：将第一行乘1加到第二行上，再将新的第二行乘1加到第三行上，依次类推，最后可得行列式的值为1．知识点解析：暂无解析17、计算行列式标准答案：知识点解析：暂无解析18、设矩阵，求A在初等变换下的标准型并求A的秩．标准答案：对矩阵A作初等变换，有为A在初等变换下的标准型，并且r(A)=2．知识点解析：暂无解析19、求向量组α1=(1，2，1，0)T，α2=(1，1，1，2)T，α3=(3，4，3，4)T，α4=(4，5，6，4)T的秩与一个极大线性无关组．标准答案：以α1,α2,α3,α4为列向量构成矩阵A由此可知B的列向量组的秩为3，且第1，2，4列为B的列向量组的一个极大线性无关组，所以向量组α1,α2,α3,α4的秩为3，α1,α2,α4为其一个极大线性无关组(α1,α2,α4也是一个极大线性无关组)．知识点解析：暂无解析20、设3阶方阵A的特征值为λ1=1，λ2=0，λ3=一1，并且A属于λ1，λ2，λ3的特征向量分别为求矩阵A及A5．标准答案：由于Aαi=λi，αi=1，2，3，所以令则所以又知识点解析：暂无解析21、已知2是三阶方阵的二重特征值，求A的另一个特征值，并求可逆阵P使得P-1AP为对角阵．标准答案：设A的另一个特征值为λ，则2+2+λ=tr(A)，即2+2+λ=1+4+5．所以λ=6．对应于λ1=λ2=2的特征向量为对应于λ3=一6的特征向量为所以知识点解析：暂无解析设三阶实对称矩阵A满足A2+2A=0，而且r(A)=2．22、求出A的全体特征值．标准答案：设矩阵A的特征值为λ，则有A2+2A=0知，λ2+2λ=0，故λ=0或λ=2．因为r(A)=2，λ=0不可能是二重根，故λ是二重根．知识点解析：暂无解析23、当k为何值时，kE3+A必为正定矩阵?标准答案：kE3+A的特征值为k+λ，kE3+A为正定矩阵的充要条件是kE3+A有3个大于0的特征值，故当k＞0时，k+λ＞0，kE3+A必为正定矩阵．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)24、设方阵A满足条件A’A=E，求证：A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．标准答案：设X是A的实特征向量，λ是对应的特征值，则AX=λX，因X’A’=λX’,于是X’A’AX=ZX’λX=λ2X’X因A’A=E，(E为单位阵)，所以X’EX=λ2X’X，即X’X=λ2X’X，(λ2一1)X’X=0．又x≠0为实特征向量，从而X’X≠0，所以λ2=1即｜λ｜=1．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第6套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A为3阶方阵且，则｜一2A｜=()A、一4B、4CC、一1D、1标准答案：A知识点解析：答案为A2、若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C为同阶方阵，则A应满足条件()A、A≠0B、A=0C、｜A｜=0D、｜A｜≠0标准答案：D知识点解析：若AB=AC,则A(B-C)=0，故当A可逆，即｜A｜≠0时B=C答案为D。3、设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()A、A的任意m个列向量必线性无关B、A的任意一个m阶子式不等于零C、若矩阵B满足BA=0，则B=0D、A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式标准答案：D知识点解析：矩阵Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行满秩，列不满秩，A的m个列向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为(ImO)形式，故选D答案为D。4、若α1,α2,α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列答案中也是Ax=0的基础解系的为()A、α1一α2，α2一α3，α3一α1B、α1，α2，α3的任意三个线性组合C、α1，α1一α2，α1一α2一α3D、α1，2α1,3α1标准答案：C知识点解析：本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与α1,α2,α3等价．答案为C。5、设则A的属于特征值O的特征向量是()A、(1，1，2)TB、(1，2，3)TC、(1，0，1)TD、(1，1，1)T标准答案：B知识点解析：用定义Ax=λx来判断，这时λ=0，故计算Ax的值，使Ax=0的向量x就是A的属于特征值0的特征向量．当x=(1，2，3)T时，有Ax=0．答案为B。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、函数中，x3的系数为______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：只有主对角线上都含有x，项，由行列式的性质得2z×(一x)×(一x)=2x3，x3的系数为2．7、设，则A-1=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：｜A｜=1利用公式由知故8、设矩阵则ATB________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：9、设向I组工的秩为r1，向量组Ⅱ的秩为r2，且I可由Ⅱ表出，则r1，r2的关系为__________．FORMTEXT标准答案：r1≤r2知识点解析：向量组I可由Ⅱ表出，故向量组I的秩≤向量组Ⅱ的秩，即r1≤r2．10、设矩阵，则齐次线性方程组AX=0的基础解系含有解向量个数为________．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：由此得r(A)=2，所以AX=0的自由未知量有4—2=2个，基础解系中含有2个解向量．11、三元非齐次线性方程组Ax=b的r(A)=2，且α1=(1，2，2)T，α2=(3，2，1)T是Ax=b的两个解，则Ax=b的通解为_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：r(A)=2知三元非齐次方程Ax=b的基础解系只有一个解向量，α1=(1，2，2)T，α2=(3，2，1)T是Ax=b的两个解，故α1一α2=(一2，0，1)T是Ax=0的一个解向量，故Ax=b的通解为(c为任意常数)．12、已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则｜A*｜=_________.FORMTEXT标准答案：36知识点解析：而λ1=1，λ2=2，λ3=3∴｜A｜=1×2×3=6∵AA*=｜A｜E∴AA*=6E两边同时求行列式有，｜AA*｜=｜6E｜=63→｜A｜｜A*｜=63∴｜A*｜=36．13、若，则｜A｜=________．FORMTEXT标准答案：72知识点解析：故14、设向量α=(1，1，1)，则它的单位化向量为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：根据单位向量定义可知：｜｜a｜｜=1为单位向量．∴α=(1，1，1)的单位化向量为答案为15、f(x1，x2，x3)=(k+1)x12+kx22+(k一2)x32为正定二次型，则k________．FORMTEXT标准答案：k＞2知识点解析：它是正定二次型当且仅当它的所有系数都是正数．∴k＞2．三、计算题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)16、计算标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知AP=PB，其中,求A及A5．标准答案：由于因此P可逆并且A=PBP-1，所以知识点解析：暂无解析18、a、b为何值时，向量β=(3，10，6，4)可由向量组α1=(1，4，0，2)，α2=(2，7，1，3)，α3=(0，1，一1，a)线性表出．标准答案：①当b=2，a≠1时，β可由α1,α2,α3线性表出，且表示法惟一，β=一α1+2α2+0α3②当b=2，a=1时，β可由α1,α2,α3线性表出，且表示法不惟一．β=一(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3．知识点解析：暂无解析设向量组又向量求：19、a、b为何值时β不能由α1,α2,α3,α4线性表示?标准答案：设β=x1α1+x2α2+x3α3+x4α4，则x1，x2，x3,x4是线性方程组的解，对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有(1)当a=1且b=4时，系数矩阵的秩=2，而增广矩阵的秩=3，所以方程组无解，即a=1且b=4时β不能由α1,α2,α3,α4线性表示；知识点解析：暂无解析20、a、b为何值时β能由α1,α2,α3，α4线性表示且表示式不惟一?标准答案：当a=1且b=3时，系数矩阵的秩=3，而增广矩阵的秩=3，所以方程组有解且有无穷多解，即β可由α1,α2,α3,α4线性表示且表示式不惟一；又当a≠1时，如果a+b一5=0，即b=5一a，则系数矩阵秩=3且增广矩阵秩=3，方程组有解且有无穷多解，所以β可由α1,α2,α3,α4线性表示且表示式不惟一．知识点解析：暂无解析已知线性方程组21、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析22、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析23、设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=λ3=1，A对应于λ1=一1的特征向量为，求A.标准答案：设属于λ2=λ3=1的特征向量为则由(α，x)=0可得到x2+x3=0．于是得到两个线性无关的解向量令可使得所以知识点解析：暂无解析24、用配方法将二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+3x32一4x1x2—4x2x3化为标准型并写出可逆线性变换．标准答案：f(x1，x2，x3)=x12+2x22+3x32一4x1x2－4x2x3=(x12－4x1x2+4x22)一2x22一4x2x3+3x32=(x2一2x2)2一2(x22+2x2x32+x3)+5x32=(x1—2x2)2一2(x2+x3)2+5x32令即则经过线性变换得将二次型化为标准型f=y12一2y22+5y32．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)25、已知向量组α1，α2，…，αm与向量组α1，α2，…，αm，β有相同的秩，证明：β可由α1，α2，…，αm线性表示．标准答案：设是α1，α2，…，αm的一个极大无关组，由于α1，α2，…，αm，β的秩也是r，所以也是α1，α3，…，αm，β的一个极大无关组，所以β可由线性表示，而仅是α1，α2，…，αm的一个部分向量组，所以β也可由α1，α2，…，αm线性表示．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第7套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、若A，B均为n阶方阵，且AB=0，则()A、A=0或B=0B、A+B=0C、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0标准答案：C知识点解析：AB=0→｜AB｜→0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案为C2、设A=，当x与y满足_________时，有AB=BA．()A、2x=7B、2y=xC、y=x+1D、y=x一1标准答案：C知识点解析：由于解得y=x+1．答案为C。3、设A是3阶反对称矩阵，即AT=一A，则｜A｜=()A、0B、1C、±1D、0或1标准答案：A知识点解析：由于｜A｜=｜A｜=｜—A｜=(一1)3｜A｜=一｜A｜，所以｜A｜=0.答案为A.4、若齐次线性方程组只有零解，则λ应为()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1标准答案：B知识点解析：齐次线性方程组Ax=0只有零解｜A｜≠0故λ≠一1时题中齐次线性方程组只有零解．答案为B.5、二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B()A、一定合同B、一定相似C、即相似又合同D、即不相似也不合同标准答案：A知识点解析：xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即B=pTAp，所以矩阵A与B一定合同．只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B既相似又合同．答案为A.6、二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12＋2x1x2－x22＋2x2x3＋x32＋x42的秩为A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：故r(A)＝4，则二次型f的秩也为4．7、下列为初等方阵的是A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因只有单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵才称为初等方阵，故A项正确，因B、C、D项都是单位矩阵经过了两次初等变换才能得到，所以B、C、D不对．8、若n阶方阵A满足A2一2A一3I=0，且矩阵A可逆则A-1=()A、A一2IB、2I一AC、一(A—2I)D、(A一2I)标准答案：D知识点解析：由于A(A一2I)=3I，因此A[(A一2I]=I，所以A-1=(A一2I)．答案为D。9、设A、B、C均为n阶方阵，且满足AB＝BA，BC=CB，则CAB＝A、ABCB、ACBC、BCAD、BAC标准答案：C知识点解析：因AB＝BA，BC＝CB，所以CAB＝CBA＝BCA．故C项正确．10、设A为m×n矩阵，秩为r，C为n阶可逆矩阵，矩阵B=AC，秩(B)=r1，则()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1与C有关标准答案：C知识点解析：∵C为可逆阵，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案为C。11、设A为m×n矩阵，秩为，r，C为n阶可逆矩阵，矩阵B=AC，秩(B)=r1，则()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1与C有关标准答案：C知识点解析：∵C为可逆阵，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案为C12、实二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，则k的取值范围为()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2标准答案：B知识点解析：由于二次型的矩阵为，A正定，则顺序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范围是一2＜k＜0或0＜k＜2．13、设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有()A、A=BB、A=一BC、｜A｜=｜B｜D、｜A｜2=｜B｜2标准答案：D知识点解析：∵A2=B2A2=AA=BB=B2，∴｜A2｜=｜B2｜，｜AA｜=｜BB｜．∵｜AA｜=｜A｜｜A｜=｜A｜2，｜BB｜=｜B｜｜B｜=｜B｜2，∴｜A｜2=｜B｜2．答案为D。14、当t为________，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+21x3是正定的．()A、｜t｜＞2B、｜t｜＜3C、｜t｜＜D、｜t｜＞1标准答案：C知识点解析：二次型的矩阵A=各阶顺序主子式为2＞0，15、设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C’AC，则下述结论_______不成立．()A、A与B相似B、A与B等价C、A与B有相同的特征值D、A与B有相同的特征向量标准答案：D知识点解析：∵c是正交阵∴c=c-1，B=C-1AC，因此A与B相似．A对．c是正交阵｜C｜≠0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对．两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对．(λI—A)X=0与(λI—B)X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D答案为D。16、当t为______，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1标准答案：C知识点解析：二次型的矩阵各阶顺序主子式为2＞0，即即因为故当时，答案为C17、设，则α3=______时，有α1，α2，α3为R3的基．()A、(0，0，1)TB、(0，1，0)TC、(1，0，1)TD、(2，1，2)T标准答案：A知识点解析：首先易知α1，α2线性无关(其坐标不成比例，)又令A=(α1，α2，α3)，则α1，α2，α3线性无关,|A|≠0．由于A的左上角2阶主子式(记为|A11|)不等于0，故选α3==|A11|×1≠0)．18、设有向量组α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是()A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4，α5C、α1，α2，α4D、α1，α2，α5标准答案：C知识点解析：(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)=故α1T，α2T，α4T线性无关，从而α1，α2，α4是极大线性无关组．19、设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α1+α3