2023年高考数学一轮总复习第6讲：函数的概念及其表示

2023年高考数学一轮总复习第6讲：函数的概念及其表示

【教材回扣】

1.函数的概念

(1)A,3是两个.

(2)对于A中的一个数x,按照某种确定的对应关系f在8中都有

的数)，和它对应.

(3)的取值范围4叫做函数的定义域.

(4)函数值的集合叫做函数的值域.

2.函数的三种常用表示法：、、列表法.

3.分段函数：在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有不同的,

这样的函数称为分段函数.分段函数的定义域是各段定义域的,值域是各段值域

的.

【题组练透】

题组一判断正误(正确的打“J”，错误的打“x”)

1.若4=11,8={小>0},/：X一丁=㈤，其对应是从A到8的函数.()

2.对于函数/：A-8,其底域就是集合5.()

3.若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()

4.函数y=/(x)的图象可以是一条封闭的曲线.()

题组二教材改编

1.下列函数火力与g(x)是同一个函数的是()

X2

A.J(x)=x-\,g(x)=~\

B.,g(x)=(、6)4

c.y(x)=x2,g(x)=47

D.J(x)=x,g(x)=Q

2.(多选题)下列函数的自变量范围表述正确的是()

A.4幻=营J(x#4)

B./(x)—

C..%)=.—；(+2(冲1且xN2)

D..x)=乌:(%W4)

(x+l)2,xW—1,

3.已知函数外)=—+1，—1<XW0,则用(-2))=.

。+1)2,x>0,

题组三易错自纠

1.已知函数«r)=**若4。)+41)=0,则实数。的值等于()

1,xWO,

A.—3B.—1C.-1或一3D.3

2.函数•屈5的定义域是______.

3.函数y=#+后M的值域是.

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⑥题型讲解

题型一求函数的定义域

[例1]求下列函数的定义域：

⑴产也十^/^;

(2)y=-Iog2（4—X2）.

[听课记录]

类题通法

(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等

于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数解的底数不为零，对数的真数大于零且底数为

不等于1的正数等.

(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题.在解不等式组时要细心，取交集时

可借助数轴，并且要注意端点值或边界值.

巩固训练1：(1)函数4x)=d—f+9x+10-]Mx_i)的定义域为()

A.[1,10]B.[l,2)U(2,10]

C.(1,10]D.(l,2)U(2,10]

(2)函数共幻=4+111%的定义域是.题型二求函数的解析式

角度-三||利用待定系数法求解析我

[例2](1)已知一次函数兀0满足火/(x))=4x+6,则九I)的解析式为.

(2)已知二次函数./(x)满足10)=1,>/(1)=2,./(2)=5,则该二次函数的解析式为.

[听课记录]

类题通法

待定系数法求函数解析式的技巧

若已知函数类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法求解，例如，二次函数可

设为40=加+云+，3工0),其中a,b,c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出

a,b,c即可.

巩固训练2：已知贝x)是二次函数且直0)=2,兀i+l)-/U)=x-l,则火x)=

角度-三||利用换元法求函数的解病]

[例3](1)已知人而+1)=X+2、/L则氏r)的解析式为.

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(2)已知函数/(x+D^-Zr,则兀i)的解析式为

［听课记录］

类题通法

换元法求函数解析式的技巧

主要解决已知复合函数遂以初的解析式求解函数代v)的解析式的问题，先令g(x)="解

出凡即用I表示x,然后代入大式工))中即可求得大。，从而求得式x).要注意新元的取值范

围.

巩固训练3：若0=舌，则当xWO,且时，犬x)等于()

角度-二|国询呈组法求函数解麻

［例4］(1)已知函数九I)满足或%)+次3=x,则函数4幻的解析式为

(2)已知次r)+y(一劝=加，其中aH±l,则函数凡r)的解析式为.

［听课记录］

类题通法

方程组法求解函数解析式的技巧

已知人幻满足某个等式，这个等式除人处是未知量外，还有其他未知量，如O,犬一X)

等，可令“为士一x等，得到另一个等式，通过解方程组求出於).此外，也可利用赋予特

殊值的方法求出这个等式中的有关量，从而求得大X).在求解过程中注意分类讨论与整合、

等价转化与化归等教学思想的灵活应用.

巩固训练4：若7W对于任意实数x恒有"幻一贺一幻=5工+1,则yu)=.

题型三分段函数高频考点

角度||分段函数求值

［3x4-1»x<2t2

［例5］(1)(一题两空)已知函数危)=若火/「))=一6,则实数a的值为

(AICLX,X22,，

，12)=.

co券，xWO,

(2)已知凡6=12则人2)=.

、/(x—1)+1,x>0,

［听课记录］

类题通法

在求分段函数的函数值时,一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集,再代入相应的

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关系式.若涉及复合函薮求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论.

［1+1。&2(2—x).r<1.

巩固训练5：设函数«r)=,则4-2)+川og212)=()

⑵,,后1,

A.3B.6

C.9D.12

角度||分段函数与不标］

f2\xWO,1

［例6］设函数段)=",八则使於层的工的集合为_________________.

l|log2X|，X>0,N

［听课记录I

lofftr,x>0i

变式探究：将本例中的条件改为“4x)=J叼，且五砂片”，则实数。的取值

(2\x<0

范围是.

类题通法

解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值(范围)时，应根据每

一段的解析式分别求解，解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围.

fj—2,

巩固训练6：已知函数yu)=二八则不等式M/U-DVIO的解集是

I—2,x<2,

［预测1］核心素养——数学抽象

如图为一木制框架，框架的下部是边长分别是x,M单位：m)的矩形，上部是等腰直角

三角形，要求框架围成的总面积为4m2,若用x表示y的表达式为_/U),则兀0的解析式为

［预测2］新题型——一题两空

2

xd----3,

已知函数X则欢-3))=,«r)的最小值是

.IgCr+l),x<l,

状元笔记

一、抽象函数的定义域

求抽象函数的定义域必须明确以下几点:

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(1)函数f(x)的定义域是指X的取值范围所组成的集合.

(2)函数f((p(x))的定义域是指x的取值范围，而不是<p(x)的取值范围.

(3)f(t),f((p(x)),f(h(x))=.个函数中的t.(p(x),h(x)在对应关系f下的范闱相同.

(4)已知f(x)的定义域为A,求f((p(x))的定义域，其实质是已知(p(x)的取值范围为A,求

出x的取值范围.

(5)已知f((p(x))的定义域为B,求f(x)的定义域，其实质是已知f((p(x))中的x的取值范围

为B,求出(p(x)的取值范围(值域)，此取值范围就是f(x)的定义域.

［典例1］(1)若函数f(x)的定义域为(一1,2),则函数f(2x+l)的定义域为.

(2)若函数f(2x+1)的定义域为(一1,2),则函数f(x)的定义域为.

(3)若函数f(2x+1)的定义域为(一1,2),则函数f(x—1)的定义域为________.

【解析】⑴由一l<2x+l<2,得一，f(2x+l)的定义域为(一1,

(2)V-l<x<2,.,.-l<2x+l<5,；・f(x)的定义域为(一1,5).

(3)由f(2x+l)的定义域为(一1,2),得f(x)的定义域为(-1,5),由一1VX—K5得(Kxv6,

・・・f(x—l)的定义域为(0,6).

【答案】(1)(一1，号⑵(T，5)(3)(0,6)

二、抽象函数的解析式

当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量

相等代入，再根据已知条件求出函数解析式.具体取什么特殊值，要根据题目特征而定.

［典例2］设f(x)是R上的函数，且满足区0)=1,并且对任意的实数x,y都有人x-y)

=/(x)-><2x-y+l),则危)的解析式为.

【解析】方法一由已知条件得«0)=1,

又4工一力=/)一可级一y+1),

设丁=占则於一)，)=<0)=yU)-x(2x-x+l),

所以兀+x+L

方法二令％=0,得<0—〉)=/(0)一)(一丁+1),

则/(—y)=扁"—y用工代换，

得1上)=/+%+1.

【客案】y(x)=x24-x+1

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2023年高考数学一轮总复习第6讲：函数的概念及其表示答

案

［教材回扣］

□非空实数集E任意□唯一确定

SxS解析法0图象法0对应关系

国并集回并集

［题组练透］

题组一

1.X2.x3.x4.X

题组二

1.解析：A中，f(x)定义域为R,g(x)的定义域为{x|xW0},定义域不同，，/(工)

与g(x)不是同一函数；B中，定义域为R,gQ)定义域为{加20},定义域不同，

.*./(,X)与g(x)不是同一函数；C中，f(%)与g(x)定义域与对应关系都相同，；j(x)

与g(x)是同一函数；D中，f(x)与g(x)定义域都是R,但对应关系不同，・・・/(外与

gQ)不是同一函数.故选C.

答案：C

2.解析：A正确；B中，xGR,B错；C中，f-3x+2W0,解得且xW2,C正

4—x20,

确；D中，彳口八解得xW4且灯勺，口错・

X—1W0,

答案：AC

3.解析：・"(-2)=(-2+1)2=1

/./(/(-2))=/(1)=(1+1)2=4.

答案：4

题组三

I.解析：."(a)+f(1)=0,・"(〃)=-/(1)=一2,

当〃>0时，2。=一2,：,a=-\(舍去)，

当aWO时，。+1=—2,•'•a=-3.故选A.

答案：A

x—220.

2.解析：由题意知・・・x22.故函数的定义域是［2,+8).

A+2^0,

答案：［2,+8)

3.解析：令，=正币,贝！，20,且4=三一.

尸一11.

故尸2(/+1)1,/E［0,+0°).

:.函数y=x+、2x+l的值域为［一=+8).

答案：+8)

课堂题型讲解

题型一

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2一|才#0,

例1解析：(1)由

f-120,

人#±2,

得所以函数的定义域为{x|xW—1或且xH±2}.

xW—1或

1

(2)由<得一2<工<0或1Wx<2.

x#0,

、4一/>0.

・••函数的定义域为(-2,0)U[l,2).

一1+9%+1020,—10W1O,

巩固训练1解析：(1)由，InGT)WO,得一#2,

1>0,x>\,

・・・1<XW10且xW2.

・••定义域为(1,2)U(2,10],故选D.

x+1WO,

(2)函数/(x)=币+lnx的自变量满足

x>0,

・二。0,即定义域为(0,+°°).

答案：(1)D(2)(0,+0°)

题型二

例2解析：(1)设f(x)=ax^b(aWO),

则f(/(x))=/(or+力)=a(oH~b)+b=crx-^ab-\-b=4x-^(i,

6Z2=4,a=2,

于是有解得b=2,或

ab+b=6,b=~6.

所以/(x)=2x+2或/(x)=-2A—6.

(2)设二次函数的解析式为/(x)=渥+云+。(aNO),

c=\,a=l,

由题意得a+力+c=2,解得1b=0,

、4a+2b+c=5,k=l,

故f(x)=f+1.

答案：(l)/(x)=2x+2或f(x)=-2x-6(2)/(x)=f+1

巩固训练2解析：设f(x)=aF+bx+c(aWO),

由f(0)=2,得c=2,

f(x+1)—f(x)=a(x+1)-~\~b(x+1)+2—ar—Z>A—2=x—1,即2ar+a+b=x

-1,

2a=1,

即

a+b=-1,人=-|.

:J(x)=3A2-x+2.

答案：IX2—1x+2

例3解析：(1)方法一(换元法)令，=m+1,则*=(r—1)2,疹1,所以/⑺

=(/-I)2+2(/-I)=~-1(。1),

所以函数的解析式为f(x)=f—I(彳21).

方法二(配凑法)f+1)=x-\~2y[x=x+2y[x+1—1=(A/X+1)2—1.

因为5+121,所以函数的解析式为/Xx)=f-1(x21).

(2)方法一(换元法)令x+l=1，则X=L1,l£R,

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所以f(f)=(r-1)2—2(z-l)=-一4/+3,即f(x)=/—4x+3.

方法二(配凑法)因为f—2x=(f+2x+l)-(4x+4)+3=(x+1)2—4(x+1)

+3.

所以/(x+1)=(x+1)2-4(x+l)+3,即/(x)=f-4x+3.

答案：(l)/(x)=x2-1(x21)(2)f(x)=f—4x+3.

巩固训练3解析：令:=z,则

1

:.f(/)=—eo且F#I)

-7

・•・/(x)=」7awo且e).

JX—1

答案：B

例4解析：(1)在已知等式中，将工换成:,得)+2f(x)=：,与已知方程

[f(X)+4©)=%，

联立，得＜

匕/)+4。)=-

消去fC)»得/(x)=-f+..

(2)在原式中用一工替换k,得5(—x)+/(x)——bxy

曰/{af(x)+/(—X)=bx,

于延得，好*(—x)+/(x)=—bx,

消去了(一X),得f(x)=3.

故/(x)的解析式为/a)=£y1，4r±1.

x2h

答案：(l)/(x)=一彳+4(2)/(x)=-x,a^±\

巩固训练4解析：对Vx£R恒有"(X)-2/-(-x)=5x+l①

所以有"(一幻-2f(x)=-5x4-1②

由①②解得f(x)=x+l.

答案：x+1

题型三

22

例5解析：(1)由题意得/(§)=3X-+1=3,

2

所以/(/(§))=/(3)=32+3«=-6,

所以°=-5,/(2)=4-5乂2=—6.

(2)/(2)=/(1)+1=/(0)+2=cos吟X0)+2=3.

答案：(1)—5—6(2)3

巩固训练5解析：由题意知/(-2)=1+Iog2(2+2)=3.

-,

/(lo