浙江省杭州市拱墅区拱宸中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（每小题3分，共30分）1．（3分）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．2．（3分）不透明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是A． B． C． D．3．（3分）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为A． B． C． D．4．（3分）有两个事件，事件：掷一次骰子，向上的一面是3；事件：篮球队员在罚球线上投篮一次，投中．则A．只有事件是随机事件 B．只有事件是随机事件 C．事件和都是随机事件 D．事件和都不是随机事件5．（3分）向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒6．（3分）抛物线过，，三点，则，，的大小关系是A． B． C． D．7．（3分）根据下表：456135513确定方程的解的取值范围是A．或 B．或 C．或 D．或8．（3分）如图，二次函数的图象，有如下结论：①；②；③；④为实数）．其中正确结论的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（3分）已知两点，均在抛物线上，点，是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是A． B． C． D．10．（3分）已知中，，，正方形中，，和在同一直线上，将向右平移，则和正方形重叠部分的面积与点移动的距离之间的函数图象大致是A． B． C． D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：黄豆种子数（单位：粒）800100012001400160018002000发芽种子数（单位：粒）76294811421331151817101902种子发芽的频率（结果保留至小数点后三位）0.9530.9480.9520.9510.9490.9500.951那么这种黄豆种子发芽的概率约为（精确到．12．（4分）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是，则铅球推出的距离．13．（4分）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有4个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为．14．（4分）如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解为．15．（4分）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线；乙说：与轴的两个交点距离为6；丙说：顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足上述全部条件的一条抛物线的解析式：．16．（4分）已知抛物线，当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，则的取值范围是．三、解答题（本题7大题，共66分）17．（6分）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张．（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；（2）计算小明和小亮抽得的两张卡片上的数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜，请判断游戏是否公平？并说明理由．18．（6分）已知二次函数．（1）在所给的坐标系中画出这个函数的大致图象；（2）利用函数图象直接写出：①当时，的取值范围是．②当时，的取值范围是．19．（6分）如图，抛物线与轴的两个交点分别为点，．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在该抛物线上，当的面积为8时，直接写出点的坐标．20．（8分）如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为30米，拱桥处为警戒水位标识，点到的水平距离和它到水面的距离都为5米．（1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；（2）求在正常水位时桥面距离水面的高度．21．（8分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量与销售单价之间的关系可以近似地看作一次函数：．（1）该文具店这种笔记本每月获得利润为元，求每月获得的利润元与销售单价之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？22．（10分）已知二次函数过点．（1）求二次函数解析式及图象的对称轴；（2）当时为常数），对应的函数值的取值范围是，试求的值．23．（10分）已知二次函数是常数，且．（1）证明：不论取何值，该二次函数图象总与轴有两个交点；（2）若，是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数表达式和的值；（3）若点，点也均在此函数图象上，且满足，求的取值范围．24．（12分）九（1）班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大．小组讨论后，同学们做了以下三种试验：请根据以上图案回答下列问题：（1）在图案1中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，长方形框架的面积是；（2）在图案2中，如果铝合金材料总长度为，设为，长方形框架的面积为（用含的代数式表示）；当时，长方形框架的面积最大；在图案3中，如果铝合金材料总长度为，设为，当时，长方形框架的面积最大．（3）经过这三种情形的试验，他们发现对于图案4这样的情形也存在着一定的规律．探索：如图案4如果铝合金材料总长度为共有条竖档时，那么当竖档多少时，长方形框架的面积最大．

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单选题（每小题3分，共30分）1．（3分）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．【分析】根据顶点式，顶点坐标是，可直接得到答案．【解答】解：顶点式，顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是．故选：．【点评】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法，关键是熟练掌握：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．2．（3分）不透明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是A． B． C． D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：由于共有8个球，其中红球有5个，则从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，故选：．【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．3．（3分）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为A． B． C． D．【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．【解答】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为，故选：．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．4．（3分）有两个事件，事件：掷一次骰子，向上的一面是3；事件：篮球队员在罚球线上投篮一次，投中．则A．只有事件是随机事件 B．只有事件是随机事件 C．事件和都是随机事件 D．事件和都不是随机事件【分析】根据随机事件是可能发生，也可能不发生的事件进行判断即可．【解答】解：事件和事件都可能发生，也可能不发生，都是随机事件，故选：．【点评】考查随机事件的定义；掌握随机事件是可能发生，也可能不发生的事件是解决本题的关键．5．（3分）向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值．【解答】解：此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，抛物线的对称轴是：，炮弹所在高度最高的是第12秒．故选：．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．6．（3分）抛物线过，，三点，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】对二次函数，对称轴，在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小．【解答】解：在二次函数，对称轴，在图象上的三点，，，，点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近，，故选：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．7．（3分）根据下表：456135513确定方程的解的取值范围是A．或 B．或 C．或 D．或【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可．【解答】解：由表格得：时，，时，；时，，时，，可得方程的解取值范围是或．故选：．【点评】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键．8．（3分）如图，二次函数的图象，有如下结论：①；②；③；④为实数）．其中正确结论的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判定；当时，；然后由图象顶点坐标确定与的大小关系．【解答】解：①对称轴在轴右侧，、异号，，，，故①错误；②对称轴，；故②正确；③，，当时，，，，故③正确；④根据图象知，当时，有最小值；当为实数时，有，所以为实数）．故④正确．本题正确的结论有：②③④，3个；故选：．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．9．（3分）已知两点，均在抛物线上，点，是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】由抛物线顶点纵坐标最大可得出，抛物线开口向下，函数值越大，该点离对称轴的距离就越近．当时，可以得出该抛物线的对称轴为直线，而题目中是，所以对称轴应该在左侧，即．【解答】解：点，是该抛物线的顶点．且，抛物线开口向下，函数值越大，该点离对称轴的距离就越近当时，该抛物线的对称轴为直线，，故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（3分）已知中，，，正方形中，，和在同一直线上，将向右平移，则和正方形重叠部分的面积与点移动的距离之间的函数图象大致是A． B． C． D．【分析】首先确定每段与的函数关系类型，根据函数的性质确定选项．【解答】解：，，的底边边上的高为：．①当时，，故第一段函数图象为开口方向向上的抛物线，可排除选项、；②当时，，，，故第二段函数图象为开口方向向下的抛物线；③当时，，故第三段函数图象为开口方向向上的抛物线，故选项符合题意．故选：．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：黄豆种子数（单位：粒）800100012001400160018002000发芽种子数（单位：粒）76294811421331151817101902种子发芽的频率（结果保留至小数点后三位）0.9530.9480.9520.9510.9490.9500.951那么这种黄豆种子发芽的概率约为0.95（精确到．【分析】根据7批次种子粒数从800粒增加到2000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95．【解答】解：由表知随着试验次数的增加种子发芽的频率逐渐稳定再0.95附近，所以这种黄豆种子发芽的概率约为0.95，故答案为：0.95．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．12．（4分）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是，则铅球推出的距离10．【分析】令，得到关于的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：令，则，解得：或（不合题意，舍去），，．故答案为：10．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．13．（4分）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有4个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为12个．【分析】先根据红球的个数及其对应频率求出球的总个数，继而可得答案．【解答】解：通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，袋中球的总个数约为（个，白球的个数为（个，故答案为：12个．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．（4分）如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解为．【分析】由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，当时，的图象在的图象的下方，即可得答案．【解答】解：由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，当时，的图象在的图象的下方，不等式的解为．故答案为：．【点评】本题考查二次函数与不等式（组，能够利用函数图象判断两个函数的大小关系是解题的关键．15．（4分）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线；乙说：与轴的两个交点距离为6；丙说：顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足上述全部条件的一条抛物线的解析式：或．【分析】因为对称轴是直线，与轴的两个交点距离为6，所以与轴的两个交点的坐标为，；因为顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为，得顶点坐标为或；所以利用顶点式求得抛物线的解析式即可．【解答】解：根据题意得：抛物线与轴的两个交点的坐标为，，顶点坐标为或，设函数解析式为或；把点代入得；把点代入得；满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为或．【点评】此题考查了学生的分析能力．解题的关键是理解题意，采用待定系数法求解析式，若给了顶点，注意采用顶点式简单．16．（4分）已知抛物线，当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，则的取值范围是或．【分析】当抛物线与轴有两个交点时，只要满足和时的函数值异号；当抛物线与轴有一个交点时，只需要对应的一元二次方程的判别式等于0即可；从而可分别得到关于的不等式或方程，可求得答案．【解答】解：，当时，，当时，，令可得，，其判别式为△．当抛物线与轴有两个交点时，需满足，解得；当抛物线与轴只有一个交点时，抛物线对称轴为，其对称轴满足，只需要△即可，即，解得；综上可知的取值范围为或，故答案为：或．【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点，掌握抛物线与轴的交点与对应一元二次方程根的关系是解题的关键．三、解答题（本题7大题，共66分）17．（6分）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张．（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；（2）计算小明和小亮抽得的两张卡片上的数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜，请判断游戏是否公平？并说明理由．【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；（2）根据题意可以分别求得他们获胜的概率．【解答】解：（1）由题意可得，出现的可能性是：、、、、、、、、；（2）游戏不公平，理由：出现和为奇数的可能性是：、、、，小明获胜的概率是，则小亮获胜的概率是，故该游戏不公平．【点评】本题考查游戏公平性、列表法与树状图法，解答本题的关键明确题意，写出所有的可能性．18．（6分）已知二次函数．（1）在所给的坐标系中画出这个函数的大致图象；（2）利用函数图象直接写出：①当时，的取值范围是．②当时，的取值范围是．【分析】（1）将二次函数化成顶点式可确定对称轴及顶点坐标，确定抛物线与轴的交点，然后画出图象即可；（2）①根据图象与轴的交点坐标，可确定时，的取值范围；②根据图象与轴和轴的交点坐标以及顶点坐标，可确定时，的取值范围．【解答】解：（1）当时，，抛物线经过原点，顶点的坐标为，当时，，解得，，抛物线与轴的交点为，，如图；（2）①当时，的取值范围是；故答案为：；②当时，，当时，的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围．19．（6分）如图，抛物线与轴的两个交点分别为点，．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在该抛物线上，当的面积为8时，直接写出点的坐标．【分析】（1）将点，的坐标分别代入，求出，；（2）以为底，求出的高，即点的纵坐标的绝对值，进而将的纵坐标代入抛物线的表达式，求解其横坐标．【解答】解：（1）点，在抛物线上，，解得，抛物线的解析式为．（2），，．又，，即．①令，该方程无解，不符合题意；②令，解得，．或．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与三角形面积的综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．20．（8分）如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为30米，拱桥处为警戒水位标识，点到的水平距离和它到水面的距离都为5米．（1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；（2）求在正常水位时桥面距离水面的高度．【分析】（1）设抛物线解析式为：，将点、点代入求得、的值即可得抛物线解析式；（2）将抛物线解析式配方可得其最大值，即最大高度．【解答】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：，将点、点代入，得：，解得：．故抛物线解析式为：；（2），当时，取得最大值，最大值为9，故在正常水位时桥面距离水面的高度为9米．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键，结合题意理解不同水位对应的函数关系是解题的关键．21．（8分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量与销售单价之间的关系可以近似地看作一次函数：．（1）该文具店这种笔记本每月获得利润为元，求每月获得的利润元与销售单价之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？【分析】（1）根据题意和每月销售量与销售单价之间的关系为，可以写出每月获得的利润元与销售单价之间的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式，然后将其化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求得销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元．【解答】解：（1）由题意可得，，即每月获得的利润元与销售单价之间的函数关系式为；（2），当时，取得最大值，此时，答：当销售单价定为20元时，每月可获得最大利润，最大利润为500元．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．22．（10分）已知二次函数过点．（1）求二次函数解析式及图象的对称轴；（2）当时为常数），对应的函数值的取值范围是，试求的值．【分析】（1）将代入解析式求出抛物线解析式，将解析式化为顶点式求解．（2）由（1）可得二次函数的取值范围，根据可得当时，，进而求解．【解答】解：（1）把代入，解得．二次函数解析式为．对称轴为．（2）由（1）可知．时，，又当时，，只有当时，，即，解得或（不符合题意，舍去）．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．23．（10分）已知二次函数是常数，且．（1）证明：不论取何值，该二次函数图象总与轴有两个交点；（2）若，是