专题04 全等模型专题：全等三角形中的常见五种解题模型全攻略（原卷版）

专题04全等模型专题：全等三角形中的常见五种解题模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【解题模型一四边形中构造全等三角形解题】 1【解题模型二一线三等角模型】 5【解题模型三三垂直模型】 12【解题模型四倍长中线模型】 18【解题模型五倍长中线模型】 26【典型例题】【解题模型一四边形中构造全等三角形解题】例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【变式训练】1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【解题模型二一线三等角模型】例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．【变式训练】1．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如图1，求证：BD＝CE；(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．2．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：①如图1，若，，求证：；②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．3．在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．【解题模型三三垂直模型】例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．【变式训练】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．如图，已知：在中，，，直线经过点，，．（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．【解题模型四倍长中线模型】例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围．【变式训练】1．如图，在中，是边上的中线．延长到点，使，连接．(1)求证：；(2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________；(3)若，猜想与的数量关系，并加以证明．2．（1）方法呈现：如图1，在中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”．（2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．

3．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．4．阅读理解在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；类比应用如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；拓展创新如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．【解题模型五倍长中线模型】例题：如图，，，．（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；（3）若，求的度数．【变式训练】1．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．2．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．3．如图，已知和中，，，，，，线段分别交，于点，．（1）请说明的理由；（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；（3）求的度数．4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．5．将两个全等的直角三角形△ABC和△DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角