2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.1.1任意角6教学教案新人教A版必修4

PAGE任意角的三角函数教学目标：1

理解并掌握任意角的三角函数的定义2

理解并掌握各三角函数在各象限的符号教学重点：任意角三角函数的定义教学难点：利用定义计算任意角的三角函数值授课类型：新授课

根据新课程改革的基本理念，我准备在教学过程中从问题情境出发，让学生进行观察、操作、探究从而感受数学，然后引导学生去发现数学、建构数学，使他们在这种过程中感悟并获得数学知识与思想方法，最终能运用所学的知识去解决实际问题。

一

问题情境

问题1

求的值。

师：等于多少？

生：等于。

我们知道，是一个锐角，在初中，我们是如何定义锐角三角函数的？

复习锐角三角函数的定义：

在中，。前面我们把角的概念推广到了任意角。那么如何求任意角的三角函数值呢？

问题2

求的值。师：怎么办？在直角三角形中能表现这个角吗？还能不能在直角三角形来求这个值？生：不能在直角三角形中求出来。师：对，显然，不能再用初中的定义，因为，这里没有直角三角形，也就没有什么对边、邻边和斜边。那么，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行推广。这就是我们本节课要研究和解决的问题。

二

建构数学【学生操作】

课件1打开课件1，观察任意角α的终边分别位于不同位置时，三个比值的变化情况。（请同学们仔细观察这个课件的演示情况，对我们以后的学习将有很大的帮助。）【教师总结】随着α的终边在轴上及各象限内变化，三个比值也随着变化；且对于任何一个确定的角，每一个比值都是唯一确定的（终边在y轴上时，y/x除外），根据函数的定义，它们实际上构成了以角为自变量、以比值为函数值的函数。我们把它们分别叫做任意角的正弦、余弦、正切函数。对课件1的说明：随着α的终边在轴上及各象限内的变化，利用几何画板的动态演示和度量功能，展示三个比值的变化情况。学生通过对课件1的操作，将新授的抽象内容形象化，有利于学生准确理解和掌握新知识；它也能为以后学习（三角函数的定义域、值域、三角函数值的符号、单调性、奇偶性、对称性、周期性）作铺垫。

（一）任意角的三角函数的定义

根据在平面直角坐标系中研究角的做法，以角的顶点为坐标原点，以它的始边为轴的非负半轴，建立直角坐标系。设任意角的终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离是（）。

当为锐角时，过点作轴的垂线，为垂足，则，，，所以，在中，，，。，，的值与点的选择无关。想一想，为什么？事实上，我们在角的终边上另取一点，，过点作轴的垂线，为垂足，则，，，可以证明∽，从而，，。一般地，对任意角，我们规定：（1）

比值叫做的正弦，记作，即；（2）

比值叫做的余弦，记作，即；（3）

比值（）叫做的正切，记作，即；对于确定的角，比值和都惟一确定，故正弦和余弦都是角的函数，当（），角的终边在轴上，故有，这时无意义。除此之外，对于确定的角（）（），比值也是惟一确定的，故正切也是角的函数。以上三种函数，都称为三角函数。说明：这样定义以后，（1）当是锐角时，此定义与初中定义相同。（指出对边，邻边，斜边所在）（2）当（）时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

（二）正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号规律。首先，在第一象限内讨论，由定义知，正弦函数值的符号与的符号相同，而在第一象限内，，因此，在第一象限内，；同理，余弦函数值的符号与的符号相同，，；对于正切函数，由于，，由定义，。同理，我们可以得到，，的值在各象限的符号。如下图：

＋

＋

—

＋

—

＋

－

－

－

＋

＋

—

三

数学应用师：我们已经知道了三角函数的定义，下面我们就根据定义来解决实际的问题。请看

例1

已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切值。师：要求三个三角函数值，我们需要知道哪些量？生：。师：我们是必须知道这三个量，还是知道其中两个量就行了？生：只需知道其中的两个量。师：例1中是否有咱们所需要的两个量？生：有。。师：好的。下面就由大家动手计算出这三个三角函数的值。师：由三角函数的定义，我们知道，已知角α终边上一点的坐标就可以求三个三角函数值，如果所给终边上一点含有参数呢？请看变式1：变式1

已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切值。师：这里的，分别是什么？生：。师：很好。当时，；当时，，因此要分情况讨论。

以下留给大家完成。师：若已知函数值，如何确定终边上一点的坐标呢？请看变式2：变式2

已知角的终边经过点且，求的值。师：审题以后，大家有什么想法？生：由三角函数的定义，把的值用表示出来，然后解得。师：很好。这样就可以把解出来。大家还有什么想法？生：先由的值确定角的终边所在象限，从而确定的范围。这样在解方程的时候就避免了增根或失根。师：这位同学讲得很好。在解三角函数问题时，要十分“关注”角的终边所处位置，从而确定函数值的符号。如果告诉你角的终边在某一直线上，又如何求三角函数值呢？请看变式3：变式3

已知角的终边在直线上，求的正弦、余弦、正切值。生：由定义出发，在直线上任意取一点，就可以求出的正弦、余弦、正切值。师：想法不错。由于直线经过一三象限，因此需分情况讨论，在两个不同的象限的终边上各取一点，求出的正弦、余弦、正切值。

例2

确定下列三角函数值的符号：

（1）

（2）

（3）

（4）师：如何来确定上述三角函数值的符号？生：看角的终边在第几象限，由三角函数定义来确定它的符号。师：这就需要我们正确的判断出角的终边所在位置。再用我们今天学的知识解决。可谓是温故知新，新旧结合。下面就请大家练习一下。（由学生先练习，再请学生回答，然后引入变式1。）变式1

设是三角形的一个内角，在，，，中，哪些可能取负值？

师：三角形的内角取值有什么范围？

生：。

师：在这个范围内，上述三角函数值，哪些可能取负值？

生：，。

师：此时，是什么角？的终边在第几象限？

生：是钝角，的终边在第二象限。

变式2

若且，则为第几象限角？

师：这个问题是说，如果，的值都为负值，则的终边在第几象限？

生：的终边在第二象限。

变式3

若，则为第几象限角？

师：这个问题的实质是什么？请同学们换句话，把它的意思表达出来。生：这个问题是说，如果，的值同号，则的终边在第几象限？师：非常好。此时的终边一定在第二象限吗？生：不一定。还有可能在第一象限。

四

回顾反思：[教师引导，由学生总结]

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本节课我们学习了任意角的三角函数的定义，它是锐角三角函数定义的扩展，体现了