专题03 解一元二次方程4种压轴题型全攻略（直接开平方法和配方法）（详解版）

专题03解一元二次方程4种压轴题型全攻略（直接开平方法和配方法）【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一能运用直接开平方法解方程的条件】 1【考点二运用直接开平方法解一元二次方程】 2【考点三运用配方法解一元二次方程】 2【考点四配方法解方程的拓展提高应用】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一能运用直接开平方法解方程的条件】【例题1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用解一元二次方程——直接开平方法，进行计算即可解答．【详解】解：，，方程有实数根，，，故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程——直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程——直接开平方法是解题关键．【变式1】若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为_______（写出一个即可）。【答案】5（答案不唯一，只要即可）【分析】根据非负数的性质，即可得出，从而求解．【详解】关于的一元二次方程有实数根，故答案为：5（答案不唯一，只要即可）．【点睛】本题主要考查了用直接开平方解一元二次方程，以及非负数的性质，熟练掌握一个数的平方为非负数是解题的关键．【变式2】如果关于x的方程有实数解，那么a的取值范围是_______。【答案】【分析】先将原方程变形为，再根据平方根的意义判断即可．【详解】解：方程即为，当时，，要使方程有实数解，则，即；故答案为：．【点睛】本题考查了利用直接开平方法判断方程解的问题，掌握解答的方法是解题关键．【变式3】关于的方程：的根为___________．【答案】【分析】利用直接开平方法解得即可．【详解】解：∴．∴．故填：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解此题的关键．【考点二运用直接开平方法解一元二次方程】【例题2】方程的根是_______。【答案】【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可．【详解】解：∵，∴或，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键．【变式1】下列哪个是一元二次方程的解（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：，，，解得，，，故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，类型有：；（同号且）；；同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．【变式2】若，则的值是（）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】把当作一个整体，利用平方差公式即可求解【详解】解：，，，故答案选：B．【点睛】本题考查的是解一元二次方程-直接开平方法，掌握平方差公式及把看成一个整体是解题关键．【变式3】若，则代数式的值为_______．【答案】【分析】移项整理后，直接开平方即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．【考点三运用配方法解一元二次方程】【例题3】用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为()A．3 B． C．11 D．7【答案】D【分析】先将方程变形为，进而可得，即得答案．【详解】解：∵∴，即，则，∴，故选：D．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，正确理解题意、熟练掌握配方的方法是关键．【变式1】将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：，二次项化系数为1得：，移项得：，配方得：，整理得：，故选：D．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．【变式2】用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______．【答案】【分析】对用配方法处理化为的形式即可．【详解】解：进行移项得，二次项系数化为1得，配成完全平方式得，即，因为用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，所以，，则；故答案为：．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的配方法等知识，灵活掌握一元二次方程的配方法过程是解题的关键．【变式3】用配方法解一元二次方程时，配成的形式，则的值为______．【答案】【分析】先把常数项移到方程右侧，两边同时除以2，再同时加上，利用完全平方公式得到，从而得到m和n的值，然后计算即可．【详解】解：，，，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法，将一元二次方程配成的形式是解题关键．【考点四配方法解方程的拓展提高应用】【例题4】代数式的最小值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】利用配方法对代数式做适当变形即可解答．【详解】解：∵∴即代数式故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式、不等式等知识点，掌握运用配方法求最值是解题的关键．【变式1】对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．【详解】解：，∵，∴，∴，∴的最大值为，∴，∴故选：B．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键．【变式2】．若，则___________．【答案】【分析】根据乘法公式，配方法，非负性，乘方运算等知识即可求解．【详解】解：变形得，，∴，∴，解得，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查乘法公式，整式的变形，非负性，乘方运算的综合，掌握以上知识的综合运算是解题的关键．【变式3】阅读下列材料：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题：简单应用：（1）填空：；深入探究：（2）已知，求的值；灵活应用：（3）比较代数式与的大小，并说明理由．【答案】（1），3；（2）1；（3），理由见解析【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；（3）将两式相减，再配方即可作出判断．【详解】解：（1）．故答案为：，3；（2）∵，∴，∴，∴，解得，∴；（3），∵，∴，∴．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【过关检测】一．选择题1.若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解原方程可得或，进而可得答案.【详解】解：∵，∴，即，∴或，当时，；当时，无意义，舍去；故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——直接开平方法，难度不大，注意整体思想的利用.2．跳水是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”．为了方便研究，跳水运动员在开始下落至入水前可近似看作自由落体运动，其下落高度h（单位：m）与下落时间（单位：s）满足的关系，g（单位：）为重力加速度，计算时取10．若运动员从10m高的跳台，不做动作，直接跳入水中，则他在空中运动的时间是（）A．1s B． C． D．2s【答案】B【分析】下落高度h（单位：m）与下落时间（单位：s）满足的关系，代入数据即可求解．【详解】依题意得：解得：或（不符合题意，舍去）∴他在空中运动的时间是．故选：B【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，代入数值，正确计算．3．用配方法解方程时，配方后得到方程是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据配方法解方程的步骤求解即可．【详解】解：用配方法解方程时，移项可得：，配方，得，即为．故选：A．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法求解的步骤和方法是关键．4．用配方法将方程化成的形式，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．【详解】解：，，∴，∴，∴的值是1；故选：A．【点睛】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法的步骤一除，二移，三配方，是解题的关键．5．用配方法解方程时，可以将方程化为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将常数移到方程右边，再二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解．【详解】解：，，，，．故选：A．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．6．用配方法解一元二次方程，配方后得（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程的右边，进行把方程两边加上，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方的形式即可．【详解】解：故选∶A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．二.填空题7.已知关于的一元二次方程的根为，那么关于y的一元二次方程的解_______．【答案】和【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，进而解关于的一元二次方程即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为，∴关于y的一元二次方程可得，解得和．故答案为：和．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．8．若，则．【答案】5【分析】设，把原方程化为关于的一元二次方程，解方程求出，根据非负数的性质即可获得答案．【详解】解：设，则原方程变形为，即，解得，，∵，∴．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法以及非负数的性质，熟练掌握解一元二次方程的一般方法和步骤是解题的关键．9．已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程的根，该等腰三角形的周长为_______．【答案】13或14【分析】先求出一元二次方程的根，再讨论5是等腰三角形的底还是腰，求出三角形周长．【详解】解：，解得，若5是等腰三角形的底，则等腰三角形的腰只能是4，此时周长是，若5是等腰三角形的腰，则等腰三角形的底是4，那么周长是．故答案是：13或14．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长和底长，需要注意构成三角形的条件．10．用配方法解一元二次方程时，配成的形式，则的值为_______．【答案】【分析】先把常数项移到方程右侧，两边同时除以2，再同时加上，利用完全平方公式得到，从而得到m和n的值，然后计算即可．【详解】解：，，，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法，将一元二次方程配成的形式是解题关键．11．已知是完全平方式，则常数的值是_______．【答案】【分析】根据完全平方公式配方后，列方程，利用配方法求解即可得到答案．【详解】解：，，即，，则，即，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查利用完全平方式求参数，利用配方法得到方程，再由配方法解方程是解决问题的关键．12．若定义如果存在一个数i，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：方程的两根为_______（根用i表示）．【答案】，【分析】方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可．【详解】解：方程整理，得，配方得，即，开方，得，解得，，故答案为：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，以及新定义的运算，读懂新定义并熟练掌握配方法解一元二次方程是解本题的关键．13．若，则式子的值为_______．【答案】2024【分析】先将配方，然后将代入即可．【详解】解：∵，，∴原式，故答案为：2024．【点睛】本题考查了代数式求值，配方法的应用，将原式变形为是解题关键．14．已知为实数，若，那么的值为_______．【答案】2或3【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可．【详解】解：∵，∴,∴,∴,∴，解解，，故答案为：2或3．【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键．15．代数式的最小值为_______．【答案】【分析】利用配方法将代数式变形，再利用非负数的性质求出最小值即可．【详解】解：，当，即时，代数式取得最小值，最小值为，故答案为：．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握三、解答题16．解方程：．【答案】【分析】用直接开平方法，解一元二次方程即可．【详解】解：，方程两边同除以2得：，，所以．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．17．解方程：（开平方法）．【答案】，【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程，即可得到答案．【详解】解：，，∴，∴或，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法解一元二次方程．18．解方程．【答案】，．【分析】根据直接开平方法即可得方程的解．【详解】解：，整理得，∴，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采