4.1数列的概念（第2课时数列的递推公式）课件高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列4.1数列的概念第2课时数列的递推公式人教A版

数学

选择性必修第二册课程标准1.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.2.会利用数列的前n项和Sn与an的关系求通项公式.基础落实·必备知识全过关知识点1

递推公式如果一个数列的

之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

相邻两项或多项

名师点睛数列递推公式与通项公式的区别和联系公式类型递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法;(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式过关自诊1.利用an+1=2an,n∈N*可以确定数列{an}吗?提示

不能,需要知道数列{an}的某一项才可以.3.试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项:(1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*;解

因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,所以a3=a2+2a1=2+2×1=4,a4=a3+2a2=4+2×2=8,a5=a4+2a3=8+2×4=16.因此,数列{an}的前5项依次为1,2,4,8,16.知识点2

数列的通项公式与前n项和

1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.

共有n项

名师点睛由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段形式表示,即过关自诊1.S1与a1是什么关系?S2呢?2.若数列{an}的前n项和为Sn,则关系式an=Sn-Sn-1的使用条件是什么?提示

由于S1表示数列的前1项的和,因此S1与a1相等,而S2表示数列的前2项的和,因此S2=a1+a2.提示

n≥2,n∈N*,而不能只是n∈N*,这是因为当n=1时Sn-1=S0,数列中S0无意义.3.[人教B版教材习题]已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,求{an}的通项公式.解

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3(n-1)=3.当n=1时,a1=S1=3,所以an=3.重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一由递推公式求前若干项【例1】

(1)(多选题)已知数列{an}中,a1=3,an+1=-,则能使an=3的n可以为(

)A.22 B.24

C.26

D.28AD(2)已知数列{an},a1=1,且满足an=3an-1+

(n∈N*,且n>1),写出数列{an}的前5项.分析

由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.规律方法

由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,若项数很大,则应考虑数列的周期性.-3探究点二由递推公式求数列的通项公式解

由a1=2,an+1=3an,得a2=3a1=3×2,a3=3a2=3×3×2=32×2,a4=3a3=3×32×2=33×2,a5=3a4=3×33×2=34×2,…,猜想:an=2·3n-1.规律方法

由递推公式求通项公式常用的两种方法(1)累加法:当an=an-1+f(n),n>1时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.探究点三由数列的前n项和求通项公式【例3】

(1)若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.解

∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.(2)若数列{an}的前n项和Sn=2n+1-1,求数列{an}的通项公式.解

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n;当n=1时,a1=S1=3,经验证不符合上式.规律方法

[提醒]应重视分类讨论的思想,分n=1和n≥2两种情况讨论.当n=1时,a1不适合an的情况要分开写,即变式训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,求数列{an}的通项公式.(1)Sn=2n-1,n∈N*;解

由Sn=2n-1,①得Sn-1=2n-1-1,②①-②,得an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),又n=1时,a1=S1=21-1=1,满足an=2n-1,即an=2n-1,n∈N*.(2)Sn=2n2+n+3,n∈N*.解

由Sn=2n2+n+3,③则Sn-1=2(n-1)2+(n-1)+3,④③-④,得an=Sn-Sn-1=4n-1(n≥2),又当n=1时,a1=S1=6,不满足an=4n-1,本节要点归纳1.知识清单:(1)数列递推公式的概念.(2)由递推公式求数列的通项公式.(3)数列的周期性.(4)由数列的前n项和求数列的通项公式.2.方法归纳:归纳法、累加法、累乘法、分类讨论思想.3.常见误区:(1)用累加法、累乘法求通项公式时易忽视角标和首项的确认;(2)由数列的前n项和求数列的通项公式时易忽视首项是否符合通项公式的验证.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测1234567891011121314A级必备知识基础练1.[探究点一]已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n(n∈N*),则a4的值为(

)A.5 B.6 C.7 D.8D解析

因为a1=2,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=3+2=5,a4=a3+3=5+3=8.1234567891011121314D12345678910111213143.[探究点三]已知数列{an}的前n项和Sn=4n2-10n,则a2a6=(

)A.52 B.68

C.96

D.108B解析

由题意,可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.12345678910111213144.[探究点二]已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是(

)D解析

(方法1

构造法)由已知整理,得(n+1)an=nan+1,1234567891011121314当n=1时,an=n也成立,所以an=n.12345678910111213145.[探究点一](多选题)已知数列{xn}满足x1=a,x2=b,xn=1=xn-xn-1(n≥2),则下列结论正确的是(

)A.x2020=a

B.x2022=a-bC.x11=x2021

D.x1+x2+…+x2020=2b-aBCD1234567891011121314解析

x1=a,x2=b,x3=x2-x1=b-a,x4=x3-x2=-a,x5=x4-x3=-b,x6=x5-x4=a-b,x7=x6-x5=a=x1,x8=x7-x6=b=x2,∴{xn}是周期数列,周期为6,∴x2

020=x4=-a,A不正确;x2

022=x6=a-b,B正确;x2

021=x5=x11,C正确;x1+x2+…+x2

020=x1+x2+x3+x4=2b-a,D正确.12345678910111213146.[探究点一]若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6=

.

12345678910111213147.[探究点二]根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*);解

a1=0,a2=1,a3=4,a4=9.猜想an=(n-1)2(n∈N*).B级关键能力提升练1234567891011121314A123456789101112131412345678910111213149.在数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5等于(

)C解析

由题意a1a2=22,a1a2a3=32,a1a2a3a4=42,a1