苏科版2024-2025学年七年级数学上册专练习2.13有理数的乘方(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)

专题2.13有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】有理数的乘方1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数.【要点提示】（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．【知识点二】乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．【要点提示】(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．【知识点三】科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.【要点提示】（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数幂的概念的理解【例1】（2023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．(1)；(2)；(3)（个m）．【变式1】计算＝（）A． B． C． D．【变式2】在中，指数是，底数是，幂是．【题型2】有理数乘方运算【例2】（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：．【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数中，相等的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：，，．【题型3】乘方运算中的符号规律问题【例3】（2022七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若，则的值为．【题型4】有理数乘方的应用【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．（1）你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？（2）如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．【变式1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（

）A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时【变式2】（2023·四川广元·一模）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了天【题型5】科学记数法【例5】（23-24七年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列各数：(1)__________________；(2)__________________；(3)__________________．【变式1】（2024·云南·模拟预测）2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024六年级下·上海·专题练习）一个数用科学记数法表示为，则这个数有个整数位．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·湖北武汉·中考真题）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（

）A． B． C． D．【例2】（2022·西藏·中考真题）已知，都是实数，若，则．2、拓展延伸【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，解答下列问题：（1）由，可得_____，_____．（2）若，求的值．【例2】（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算．计算：．解：设，则，所以，即．按照上面的方法，计算：．专题2.13有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】有理数的乘方1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数.【要点提示】（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．【知识点二】乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．【要点提示】(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．【知识点三】科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.【要点提示】（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数幂的概念的理解【例1】（2023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．(1)；(2)；(3)（个m）．【答案】(1）底数是，指数是5；(2)底数是，指数是6；(3)底数是m，指数是【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；（2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；（3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可．（1）解：，其中底数是，指数是5；（2）解：其中底数是，指数是6；（3）解：（个m），其中底数是m，指数是．【点拨】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘．【变式1】计算＝（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握求n个相同因数积的运算，叫做乘方是解题的关键．根据幂的意义和乘法是相同加数的和的简便运算即可得出答案．解：原式，故选：B【变式2】在中，指数是，底数是，幂是．【答案】3﹣﹣【分析】an中，a是底数，n是指数，an是幂，据此作答．解：在中，指数是3，底数是，幂是．故填：3；；．【点拨】本题考查幂的定义，熟练掌握定义是关键.【题型2】有理数乘方运算【例2】（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：．【答案】【分析】此题考查了有理数的运算，原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后加减运算即可.解：；【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数中，相等的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案．解：A、与不相等，不符合题意；B、与相等，符合题意；C、与不相等，不符合题意；D、与不相等，不符合题意．

故选：B．【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：，，．【答案】4/【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键．根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可．解：；；．故答案为：，4，．【题型3】乘方运算中的符号规律问题【例3】（2022七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)正；(2)负；(3)负；(4)负【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可．（1）解：∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数，∴的结果为正；（2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数，∴的结果为负；（3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数，的结果为正，所以的结果为负；（4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数，∴的结果为负．【点拨】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键．【变式1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解．解：∵，，，∴，，，0中，只有0是非负数．故选：A．【变式2】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若，则的值为．【答案】【分析】本题考查了偶次方以及绝对值的性质，根据偶次方以及绝对值具有非负性来解即可．解且解得：故答案为：．【题型4】有理数乘方的应用【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．（1）你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？（2）如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．【答案】(1)层数；(2)6.4毫米【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键．（1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系；（2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解．（1）解：∵对折1次，层数，对折2次，层数，对折3次，层数，∴对折n次，层数；（2）解：（毫米），答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米．【变式1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（

）A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法的应用，列出等式是解此题的关键．先计算出装满一瓶的细菌，个，设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶，则，再根据1小时分，求解即可．解：一个细菌1分钟分裂成2个，2分钟分裂成4个，分钟分裂成个，一个细菌经过1小时的繁殖能使瓶子充满，设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶．，，小时分，，故选：B【变式2】（2023·四川广元·一模）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了天【答案】516【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意以及图形分析，根据满七进一求解是解题的关键．解：绳结表示的数为，故答案为：516；【题型5】科学记数法【例5】（23-24七年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列各数：(1)__________________；(2)__________________；(3)__________________．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．（1）；故答案为：；（2）故答案为：；（3）故答案为：．【点拨】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式1】（2024·云南·模拟预测）2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：4500万即45000000，，故选：D．【变式2】（2024六年级下·上海·专题练习）一个数用科学记数法表示为，则这个数有个整数位．【答案】7/七【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向后移几位．解：，用科学记数法表示为，则这个数有个整数位．故答案为：．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·湖北武汉·中考真题）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生