2023–2024学年七年级数学下册单元速记与巧练（人教版）第七章 平面直角坐标系知识突破（解析版）

第七章平面直角坐标系（知识归纳+9题型突破）1.理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；2.掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；3.通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想．知识点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)，(17，190)，(21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.知识点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：特别说明：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：①x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④象限角平分线上的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：①坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．②x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1-x2|；y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1-y2|．③平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1-x2|；平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1-y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.知识点三、坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．特别说明：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移（1）点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．特别说明：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．（2）图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．特别说明：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．【题型01用有序数对表示位置/路线】例题：若教室内第1行、第3列的座位表示为，则第2行、第7列的座位表示为．【答案】【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可解决问题．【详解】解：∵教室内第1行、第3列的座位表示为，∴第2行、第7列的座位表示为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是明确题意，找出数对表示位置的方法．【变式训练】1.如图，小刚在小明的北偏东方向的处，则小明在小刚的方向的处（请用方向和距离描述小明相对于小刚的位置）【答案】南偏西【详解】小刚在小明的北偏东方向的处小明在小刚的南偏西方向的处．故答案为：南偏西，．【点睛】本题考查了坐标确定位置，熟记方向角的定义是解本题的关键．2.画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为．

【答案】【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解．【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度，∴点的坐标可以表示为故答案为：．【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．3.如图为某校局部分布图.如果规定列号写在前面，行号写在后面（竖列横行），试用数对的方法表示出图中各个地点的位置.实验楼______.教学楼______.

图书馆______.

花坛______.校门______.行政楼______.【答案】，，，，，【分析】根据图中的位置，即可一一求解．【详解】解：由图可知：实验楼，教学楼，图书馆，花坛，校门，行政楼，故答案为：，，，，，．【点睛】本题考查了用数对表示位置，理解题意要求是解决本题的关键．【题型02写出直角坐标中点的坐标】例题：如图，在平面直角坐标系中，确定点A，B，C，D，E，F，G的坐标．A：______，B：______，C：______，D：______，E：______，F：______，G：______．【答案】，，，，，，【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的表示方法求解即可．【详解】A：，B：，C：，D：，E：，F：，G：．【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确结合坐标系分析是解题关键．【变式训练】1.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，，在图中作出关于y轴对称的（A，B，C的对应点分别为，），并写出的坐标．【答案】作图见解析；．【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点，的坐标，然后描点即可．【详解】解：如图，为所作，．由图象得，．【点睛】本题考查了作图形的轴对称图形，准确作出三个点的对称点是解题关键．2.如图

(1)写出平面直角坐标系内点M，N，L，P的坐标．(2)在平面直角坐标系内描出点、、、．【答案】(1)，，，(2)作图见解析【分析】（1）根据坐标系中点的位置写出对应点的坐标即可；（2）根据点的坐标在坐标系中描出对应的点即可.【详解】（1）解：由坐标系中，点的位置可得，，，；（2）解：如图所示，即为所求．

【点睛】本题主要考查了写出坐标系中点的坐标，在坐标系中描点，熟练掌握相关知识是解题的关键．【题型03判断点所在的象限】例题：（2023春·辽宁大连·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号特征处理．【详解】解：第四象限内点横坐标为正，纵坐标为负；故选：B．【点睛】本题考查平面直角坐标系与坐标，理解各象限内点坐标的符号特征是解题的关键．【变式训练】1．下列坐标中，在第二象限的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据点所在的象限的坐标符号特征逐项判断求解即可．【详解】解：A、在第三象限，不符合题意；B、在第二象限，符合题意；C、在第一象限，不符合题意；D、在第四象限，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在的象限的坐标符号特征：第一象限（+，+），第二象限（－，+），第三象限（－，－），第四象限（+，－）．2.（2023春·黑龙江佳木斯·七年级校联考期末）点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【详解】解：，，点所在的象限为第四象限．故选：D．【点睛】本题主要考查点的坐标，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．3.（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）已知，，那么点关于轴的对称点，在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由题意，可以得出P所在的象限，再求出点关于轴的对称点所在的象限即可．【详解】解：∵∴，∴点位于第二象限∴点关于轴的对称点在第三象限．故选C【点睛】本题考查坐标与图形，掌握数形相结合的思想是解题的关键．【题型04求点到坐标轴的距离】例题：已知点到轴距离为，到轴距离为．【答案】32【分析】根据“点到轴距离为纵坐标的绝对值，到轴距离为横坐标的绝对值”即可进行解答．【详解】解：点到轴距离为，到轴距离为．故答案为：3，2【点睛】此题考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握“点到轴距离为纵坐标的绝对值，到轴距离为横坐标的绝对值”是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知点，到x轴的距离为，到y轴的距离为；点到y轴的距离是．【答案】642【分析】本题考查了平面直角坐标系的点到轴的距离，到轴的距离，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标的几何意义及两点间的距离公式．根据横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是到轴的距离求解即可．【详解】解：由点可知，此点到轴的距离为，到轴的距离为，点到y轴的距离．故答案为6，4，22．（2024下·全国·八年级假期作业）点到轴的距离为4个单位长度，到轴的距离为3个单位长度，则点的坐标为．【答案】或或或【解析】略3.设点到轴的距离为，到轴的距离为．（1）当时，；（2）若点P在第四象限，且（为常数），则的值为；（3）若，则点的坐标为．【答案】32或【分析】（1）当时，从而可得出，代入进行计算即可得到答案；（2）由点P在第四象限可得，从而得出，代入得，即可求出的值；（3）根据题意可得，讨论的范围，分三段：当时；当时；当时，分别进行计算即可得到答案．【详解】解：（1）当时，，，点到轴的距高力，到轴的距离为，，，故答案为：3；（2）点P在第四象限，，，，，，，故答案为：2；（3）点到轴的距高力，到轴的距离为，，，，当时，，解得：，，当时，，不成立，舍去，当时，，解得：，，综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系中的点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值，是解题的关键．【题型05已知点所在的象限求参数】例题：（2023春·四川广元·七年级校联考期中）已知点在坐标轴上，则点P的坐标为．【答案】或【分析】由在坐标轴上，可知当，解得，，即；当，解得，，即．【详解】解：∵在坐标轴上，∴当，解得，，即；当，解得，，即；故答案为：或．【点睛】本题考查了点坐标的特征，解一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1.（2023春·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）已知点在轴上，则点的坐标为．【答案】【分析】根据y轴上的点横坐标为0列式解答即可．【详解】解：∵点在y轴上，∴，∴，∴∴故答案为．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．2.（2023春·河南漯河·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标是．【答案】【分析】直接利用x轴上坐标的特点，则纵坐标为0，进而得出a的值求出答案．【详解】解：∵点在x轴上，∴，∴，∴，∴点M的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了点的坐标的性质，注意x轴上点的坐标特点是解题的关键．3.（2023春·河北唐山·八年级统考期中）已知点在第一、三象限的角平分线上，则点A的坐标是．【答案】【分析】根据第一、三象限的角平分线上点的特点：横坐标等于纵坐标，可得方程，解方程，可得答案．【详解】由在第一、三象限的角平分线上，得，解得，则点A的坐标为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中象限角平分线上点的特点，熟练掌握平面直角坐标系中一、三象限角平分线上点的横坐标等于纵坐标，是解题的关键.4．（2022·江西赣州·七年级期末）已知点P（2a2，a+5），解答下列各题．(1)点P在x轴上，求出点P的坐标；(2)点Q的坐标为（4，5），直线轴；求出点P的坐标；(3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2022+2022的值．【答案】(1)(2)(3)2023【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标等于0求解即可得；（2）根据直线轴可得点与点的横坐标相等，由此即可得；（3）先根据点在第二象限可得，再根据点到轴、轴的距离相等可得，求出的值，代入计算即可得．（1）解：点在轴上，，解得，，．（2）解：直线轴，点与点的横坐标相等，，，解得，，．（3）解：点在第二象限，，点到轴、轴的距离相等，，即，解得，则．【点睛】本题考查了点的坐标、点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题关键．【题型06建立适当的平面直角坐标系】例题：（2023上·广东佛山·八年级校考期中）如图是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是，艺术楼的位置是．

(1)根据题意画出相应的平面直角坐标系；(2)分别写出教学楼、体育馆的位置；(3)若学校行政楼的位置是，餐厅的位置是，在图中标出它们的位置．【答案】(1)见解析(2)教学楼的位置是，体育馆的位置是(3)见解析【分析】本题考查了坐标与图形的位置：（1）直接利用宿舍楼的位置是，艺术楼的位置是得出原点的位置进而可求解；（2）利用所建立的平面直角坐标系即可求解；（3）根据点的坐标的定义即可求解；正确确定原点的位置是解题的关键．【详解】（1）解：依题意，建立如图所示平面直角坐标系：

（2）由图得：教学楼的位置是，体育馆的位置是．（3）如上图所示．【变式训练】1．（2022下·河南三门峡·七年级校考阶段练习）如图，已知宾馆的坐标为，文化馆的坐标为．

(1)根据题意，画出平面直角坐标系；(2)写出体育场、火车站、超市的坐标；(3)已知公园、游乐场、图书馆的坐标分别为，，，请在图中标出点的位置．【答案】(1)见解析(2)，，(3)见解析【分析】（1）根据宾馆的坐标为和文化馆的坐标为，求得平面直角坐标系原点和各自正方向；（2）根据平面直角坐标系的格子依次体育场、火车站、超市的坐标；（3）根据平面直角坐标系的格子标定公园、游乐场、图书馆．【详解】（1）解：（1）如图所示．

（2）体育场的坐标为，火车站的坐标为，超市的坐标为．（3）如图所示．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的求解和相关坐标的标注，熟练掌握直角坐标系中各象限坐标值的正负是解题的关键．2．（2023下·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，已知火车站的坐标为，文化宫的坐标为

(1)请你根据题目条件画出平面直角坐标系．(2)写出体育场、市场、超市、医院的坐标．(3)已知游乐场，图书馆，公园的坐标分别为，，请在图中标出、、的位置．【答案】(1)见解析(2)体育场，市场，超市，医院(3)见解析【分析】（1）根据火车站的坐标为，文化宫的坐标为，即可求解；（2）根据坐标与图形的位置关系即可求解；（3）根据坐标与图形的位置关系即可求解．【详解】（1）解：已知火车站的坐标为，文化宫的坐标为，建立平面直角坐标系如图所示，

（2）解：由（1）的平面直角坐标系可得，体育场，市场，超市，医院．（3）解：由（1）的平面直角坐标系即可标出、、的位置，如图所示，

【点睛】本题主要考查根据坐标确定平面直角坐标系，根据坐标系表示地理位置，理解并掌握坐标与图形的表示方法是解题的关键．【题型07求点沿x轴，y轴平移后的坐标】例题：（2023上·广西梧州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，有一点，若将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得坐标为．【答案】【分析】直接利用平移中点坐标的变化规律求解即可．【详解】解：点，若在平面直角坐标系先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则点在平移后的坐标系中的坐标是，即．故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移中点坐标的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【变式训练】1．（2023上·湖南长沙·八年级统考开学考试）将点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为．【答案】【分析】点的横坐标减，纵坐标减即可得到平移后点的坐标．【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为，所以点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查点的平移规律，用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．2．（2022下·新疆喀什·七年级校考期中）中，，现将它向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点的坐标分别为．【答案】，，【分析】根据向右平移，横坐标加，向上平移，纵坐标加，即可得到结论．【详解】解：∵将向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，∴，即，故答案为：，，．【点睛】本题考查了平移与坐标与图形的变化的关系，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．【题型08已知图形的平移，求点的坐标】例题：（2023·辽宁·模拟预测）如图，顶点，的坐标分别为，，将平移后，点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是．【答案】【分析】根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可计算出点E的坐标．【详解】解：由题可知平移后得到点；∴是先向右平移个单位长度，在向上平移个单位长度；∴点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度；∴点；故答案为．【变式训练】1．（2023上·安徽淮南·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边与轴平行且，，点坐标为，沿某一方向平移后，点的对应点的坐标为，则点的坐标为．

【答案】【分析】先求出点D的坐标，再找到点B的平移规律，利用点D与点B的平移规律相同即可得到点的坐标．【详解】解：∵长方形中，，，点坐标为，∴点D的坐标是，即，∵点B坐标为，沿某一方向平移后点的坐标为，∴点B是向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点，∵点的平移规律和点B的平移规律相同，∴点的坐标是，即点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移，掌握图形的平移规律是解题的关键．2．（2023下·吉林白山·七年级统考期末）如图，已知点A，B的坐标分别为、，将线段平移到，若点C的坐标为，则点D的坐标为．

【答案】【分析】先根据、两点确定出平移规律，再根据此规律解答．【详解】解：、是对应点，平移规律为向右平移2个单位，向上平移3个单位，，，点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化平移，结合图形根据点、的坐标确定出平移规律是解题的关键．3．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，小颖不小心将墨汁滴到点B的坐标上，已知A，C，D三点的坐标分别为，则点B的坐标为．

【答案】【分析】先根据点A和对应点C的坐标得到平移的规律为：向右平移2个单位，再向上平移1个单位，同步进行的是，点B向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点D．根据此平移规律推断点B的坐标．【详解】解：∵线段是由线段平移得到的，∴点平移的对应点为，点B平移的对应点为，∵点C是点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的，∴点D也是点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的，∴把点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点B的坐标，∴点B的坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形变化一平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，熟练掌握此规律是解题的关键．【题型09平移作图】例题：（2023上·重庆开州·八年级校联考开学考试）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，点经过平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．

(1)平移后的另外两个顶点坐标分别为：（

，

），（

，

）．