苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.1圆(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)（含答案解析）

专题2.1圆（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】圆的概念1、描述性定义：如图，在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆.其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”，读作“圆0”.2、集合性定义：在平面内，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合由圆的集合性定义可以得出：(1)圆上的点到圆心的距离都等于半径；(2)到圆心的距离等于半径的点都在圆上.【要点提示】同一个圆的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心构成的三角形都是等腰三角形.【知识点二】点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有点P在圆内d<r;（2）点P在圆上d=r;（3）点P在圆外d>r;【知识点三】与圆有关的概念1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；直径：经过圆心的弦叫做直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

【要点提示】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.

3.同心圆与等圆

同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

4.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

【要点提示】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中；②圆中两平行弦所夹的弧相等.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】与圆相关概念的认识【例1】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（

）A．长度相等的弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．劣弧一定比优弧短D．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴【变式1】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列说法正确的有（）①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）下列说法，不正确的是（

）A．过圆心的弦是圆的直径 B．长度相等的弧是等弧C．周长相等的两个圆是等圆 D．半圆是弧，但弧不一定是半圆【题型2】由圆的概念确定圆的位置与大小【例2】（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上．【变式1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（

）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）已知点A，B之间的距离为，现在画一个半径为、且经过点A，B的圆，则这样的圆能画出个．【题型3】判断点和圆的位置关系【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系．【变式1】（2024·黑龙江大庆·二模）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（

）A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断【变式2】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，，于点，以点为圆心，5为半径作，则点在．（填“外”“内”或“上”）．【题型4】利用直径是圆中最长的弦求值【例4】（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.【变式1】（2023·江苏盐城·模拟预测）在平面内，在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，若最长为，则（

）A．4 B．2 C． D．2【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是．【题型5】利用点和圆的位置关系求半径或半径的取值范围【例5】（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围．【变式1】（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．【变式2】（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（

）

A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线【例2】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（

）

A． B． C．2 D．12、拓展延伸【例1】（2024·陕西汉中·二模）如图，在中，利用尺规作图法求作，使得与的交点C到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹）【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，、是的弦，连接、并延长，分别交弦、于点、，．求证：．专题2.1圆（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】圆的概念1、描述性定义：如图，在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆.其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”，读作“圆0”.2、集合性定义：在平面内，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合由圆的集合性定义可以得出：(1)圆上的点到圆心的距离都等于半径；(2)到圆心的距离等于半径的点都在圆上.【要点提示】同一个圆的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心构成的三角形都是等腰三角形.【知识点二】点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有点P在圆内d<r;（2）点P在圆上d=r;（3）点P在圆外d>r;【知识点三】与圆有关的概念1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；直径：经过圆心的弦叫做直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

【要点提示】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.

3.同心圆与等圆

同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

4.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

【要点提示】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中；②圆中两平行弦所夹的弧相等.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】与圆相关概念的认识【例1】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（

）A．长度相等的弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．劣弧一定比优弧短D．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴【答案】D【分析】本题考查了圆的相关性质；根据圆的相关性质，逐项分析判断，即可求解．解：A.在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧；故本选项错误；B.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；C.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短．故本选项错误；D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．故选：D．【变式1】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列说法正确的有（）①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项.解：①连接圆上任意两点的线段是弦，故原命题错误，不符合题意；②直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；③经过圆心的线段不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；④半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意；⑤长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑥弧不一定是半圆，但半圆是弧，故原命题错误，不符合题意，正确的有2个，故选：A．【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义和性质，难度不大.【变式2】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）下列说法，不正确的是（

）A．过圆心的弦是圆的直径 B．长度相等的弧是等弧C．周长相等的两个圆是等圆 D．半圆是弧，但弧不一定是半圆【答案】B【分析】本题考查了圆的相关概念，根据圆的相关概念逐项分析即可，熟练掌握圆的相关概念是解此题的关键．解：A、过圆心的弦是圆的直径，故本选项说法正确，不符合题意；B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故本选项说法错误，符合题意；C、周长相等的两个圆是等圆，故本选项说法正确，不符合题意；D、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本选项说法正确，不符合题意；故选：B．【题型2】由圆的概念确定圆的位置与大小【例2】（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上．【分析】本题考查了四点共圆，直角三角形斜边中线的性质．求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以．证明：如图所示，取的中点，连接，．，是的高，和都是直角三角形．，分别为和斜边上的中线，．，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上．【变式1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（

）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【答案】C【分析】本题考查了圆的定义．以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线的交点即为所求的点．解：如图，以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线有个交点，则满足条件的点有个，故选C．【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）已知点A，B之间的距离为，现在画一个半径为、且经过点A，B的圆，则这样的圆能画出个．【答案】2【分析】本题考查确定圆．作线段的垂直平分线l，则所求圆心在直线l上，直线l上到点A的距离为的点即为所求圆心，据此即可解答．解：如图，作线段的垂直平分线l，再以点A为圆心，为半径长作圆，交l于点和点，然后分别以点和点为圆心，以为半径长作圆，则和为所求，∴这样的圆能画出2个．故答案为：2．【题型3】判断点和圆的位置关系【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系．【答案】点在上，点在内，点在外【分析】本题考查了平面内两点之间的距离、点与圆的位置关系，先根据平面内两点之间的距离公式求出、、的长度，再与半径进行比较，即可得出答案．解：∵，，，∴点在上，点在内，点在外．【变式1】（2024·黑龙江大庆·二模）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（

）A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断【答案】B【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此解方程求出即可得到答案．解：解方程得，∴，∴点在的内部，故选：B．【变式2】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，，于点，以点为圆心，5为半径作，则点在．（填“外”“内”或“上”）．【答案】内【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积公式和点与圆的位置关系．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论．解：∵在中，，，，∴，∵，∴∵，∴点D在圆C内．故答案为：内．【题型4】利用直径是圆中最长的弦求值【例4】（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.【答案】的最大值为.【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求.解：连结，，∵

∴∴为等边三角形，∵点，分别是，的中点∴，∵为的一条弦∴最大值为直径14

∴的最大值为.【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.【变式1】（2023·江苏盐城·模拟预测）在平面内，在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，若最长为，则（

）A．4 B．2 C． D．2【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，得出点E的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，并且结合勾股定理列式得，因为，进行计算，即可作答．解：∵在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，∴点E的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，如图：上图，此时点E在的延长线上，满足最长为，设，∵在中，∴，∴，即，解得，∴，则，故选：B．【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是．【答案】【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围．解：A、是上不同的两点，，，的半径为，，的直径为，直径是圆中最长的弦，，故答案为：．【题型5】利用点和圆的位置关系求半径或半径的取值范围【例5】（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围．【答案】0＜r＜5【分析】先根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求得AB、AD，再根据点与圆的位置关系即可求解．解：∵在中，，∴，∵D是的中点，∴，∵5＜6＜8，∴AD＜AB＜AC，∵A为圆心，r为半径，点B，D，C均在外，∴0＜r＜5．【点拨】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外．【变式1】（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识．点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解．解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，∴圆的直径是，因而半径是，故选：B．【变式2】（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是．【答案】3或8【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可．解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解；当点在内，如图1，∴，∴，∴半径为8；当点在外，如图2，∴，∴，∴半径为3；综上所述，的半径是3或8；故答案为：3或8．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（

）

A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线【答案】C【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆