第24章 解直角三角形 综合检测

第24章解直角三角形综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题4分，共32分)1.(2023陕西咸阳泾阳期末)计算1-2sin245°的结果是()A.-1 B.0 C.12 2.(2023吉林长春二道月考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，下列四个选项，正确的是()A.tanB=43 B.tanA=34 C.sinB=35 D.cos3.(2023山西太原小店月考)数学小组探究这样一道题：已知，tanα=2，tanβ=13，求α-β的度数.该组的同学经过思考后，画出如图所示的5×3的小正方形网格，把α和β放在网格中，使∠BAC=α，∠DAC=β，连结BD，得到△ABD，此时，根据网格可知AD=BD，∠ADB=90°.由此可知，α-β=45°.A.数形结合思想 B.分类思想 C.统计思想 D.方程思想4.(2023吉林大学附中期末)如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升300米到达A处，在A处观察B地的俯角为α，则B，C两地之间的距离为()A.300sinα米 B.300cosα米 C.300tanα米 D.5.(2022吉林长春十一高中北湖学校模拟)如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12m，AB=BC，∠BAC=25°.若用科学计算器求AB的长，则下列按键顺序正确的是()A.6×sin25°'″= B.6÷cos25°'″=C.6÷tan25°'″= D.12÷cos25°'″=6.(2023山西临汾曲沃期末)定义一种公式如下：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，已知32sinθ+12cosθ=22A.75° B.60° C.30° D.15°7.四边形的不稳定性，使其在生活中得到广泛的应用.如图所示的图形为一个伸缩门的一部分，四边形ABCD是边长为2的正方形，通过拉伸改变内角度数，使其变为菱形ABC'D'，若∠D'AB=45°，则阴影部分的面积是()A.5+22 B.5-2 C.5+228.(2022海南海口模拟)如图所示的是一块光学直角棱镜，其截面为直角三角形ABC，AB所在的面为不透光的磨砂面，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8cm.现将一束单色光从AC边上的O点入射，折射后到达AB边上的D点，恰有CD⊥AB，再经过反射后(即∠CDE=∠ODC)，从E点垂直于BC射出，则光线在棱镜内部经过的路径OD+DE的总长度为() A.12cm B.63cm C.(43+4)cm D.212二、填空题(每小题4分，共16分)9.(2023河南鹤壁淇滨期末)如图，∠AOB=30°，点C在射线OB上，若OC=6，则点C到OA的距离等于.

10.(2022湖北荆州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连结CD.若CE=13AE=1，则CD=11.(2023海南海口实验中学期中)如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD=3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE=2米，测得他的影长EF=4米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于米.

12.(2023吉林长春四十五中期末)已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°角的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则sinα的值是.

三、解答题(共52分)13.(2023河南周口实验中学期末)(8分)计算：(1)cos30°−tan60°−cos45°cos30°； (2)cos60°-2sin245°+32tan230°14.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点.若BC=12，AD=8，求DE的长.15.(2023河南新乡十中期末)(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E、C、A共线.CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=9m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.16.(2022福建泉州模拟)(12分)小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°=222+2据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2(90°-α)=1.(1)当α=30°时，验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立；(2)小明的猜想是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.17.(2022山西晋城模拟)(14分)如图①，AB、CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔.小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为27°，沿着EB向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为53°.已知∠ABE=∠CDE=90°，点E、B、D构成的△EBD中，∠EBD=90°.(1)图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度；(2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角为，若将这个角记为α，则铁塔CD的高度是米；(用含α的式子表示)

(3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的线段是.(请写出两个不同的答案，可用文字描述)

（结果精确到1米，参考数据：sin39°≈35，cos39°≈34，tan39°≈45，sin27°≈920，cos27°≈910，tan27°≈12，sin53°≈45，cos53°

第24章解直角三角形综合检测答案全解全析1.B原式=1-2×222=1-2×12.C如图，根据勾股定理得BC=102∴tanB=ACBC=3tanA=BCAC=43，sinB=ACABcosA=ACAB=33.A本题结合几何图形探究角度间的关系，体现了数形结合的思想.4.C∵∠ACB=90°，AC=300米，∠DAB=α，AD∥BC，∴∠ABC=∠DAB=α，在Rt△ABC中，BC=ACtanα=3005.B如图，过B点作BD⊥AC于D，∵AB=BC，BD⊥AC，AC=12米，∴AD=CD=6米，在Rt△ADB中，∠BAC=25°，∴AB=ADcos25°=6cos25°米，即按键顺序正确的是6÷cos25°'″6.D∵32sinθ+12cosθ=22，∴sin60°sinθ+cos60°cosθ=22.∵cos(α-β)=cossinαsinβ，∴cos(60°-θ)=cos45°，即60°-θ=45°，∴θ=15°.7.D设BC与C'D'的交点为E，则BE⊥C'D'，∴C'E=BC'·cosC'.∵四边形ABC'D'为菱形，∴∠C'=∠D'AB=45°，∴C'E=BC'·cosC'=2×22=2∴BE=C'E=2，∴D'E=2-2，∴梯形D'EBA的面积=12(D'E+AB)·BE=22-1，∴阴影部分的面积=2×2-(22-1)=5-228.B∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，∴∠DCB=30°，∠DCA=60°，在Rt△BCD中，BD=12BC=4cm，∴CD=3BD=43∵DE⊥BC，∴∠BDE=30°，∴BE=12BD=2cm，∠CDE=60°，∴DE=3BE=23∵∠CDE=∠ODC，∴∠ODC=60°=∠DCA，∴△OCD是等边三角形，∴OD=CD=43cm，∴OD+DE=43+23=63(cm).9.3解析如图，作CD⊥OA于点D，∵∠AOB=30°，∴CD=12OC=310.6解析如图，连结BE，∵CE=13AE=1，∴AE=3，AC=4，根据作图可知直线MN为线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=3，在Rt△ECB中，BC=BE2∴AB=AC2+BC2=26，∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，∴CD11.4.8解析∵CC'∥AB，∴△DC'C∽△DAB，∴C'CAB=DCDB，即1.6AB=∵EE'∥AB，∴△FE'E∽△FAB，∴EE'AB=EFBF，即1.6AB=4BC+2+4②.由①②得3BC+3=4BC+2+4，解得BC=6米，∴1.6AB=36+312.5解析本题在平行线中探究三角函数值，命题新颖.如图，过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，设l1，l2，l3相邻两条直线之间的距离d=1，∵AD⊥l3，BE⊥l3，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∴在△ACD和△CBE中，∠∴△ACD≌△CBE，∴CE=AD=2，在Rt△BCE中，BC=BE2+CE∴sinα=BEBC=15=13.解析(1)原式=32−3−223(2)原式=12-2×222+32×332-12=114.解析∵AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴AD⊥BC，BD=CD=12BC由勾股定理得AB=AD2+BD2=82+62=10，∵E15.解析∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴BCDE=ABAD.∵1m，DE=1.5m，BD=9m，∴11.5=ABAB+9，解得AB=18m，∴河宽16.解析(1)证明：当α=30°时，sin2α+sin2(90°-α)=sin230°+sin260°=122+322=1所以，当α=30°时，sin2α+sin2(90°-α)=1成立.(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，∴sin2α+sin2(90°-α)=BCAB2+ACAB2=B17.解析(1)在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∴tan39°=ABBE，即BE=ABtan39°，在Rt△∠ABF=90°，∴tan53°=ABBF，即BF=ABtan53°，∵EF=20米，∴BE-BF=ABtan39°∴AB=20tan53°·tan39°tan53°−tan39°≈40(米)，故铁塔(2)答案不唯一，如：可以测量的角是∠BED，在Rt△ABE中，BE=ABtan39°≈50米，在Rt△BED中，DE=BEcosα=50cosα米，在Rt△