初中数+学+反+证+法++课件++冀教版八年级数学上册

17.5反证法●

考点清单解读●

重难题型突破■考点

反证法定义先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与事实相矛盾的结果，因此，假设错误，原结论正确，这种证明命题的方法叫做反证法一般步骤17.5反证法续表注意在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定17.5反证法

归纳总结适合反证法证明的命题的常见类型17.5反证法典例1

用反证法证明“在△ABC

中，∠A，∠B对边是a，b，若∠A＞∠B，则a＞b”，第一步应假设（

）A.a＜b

B.a=bC.a≤b

D.a≥b对点典例剖析17.5反证法［解题思路］［答案］

C17.5反证法典例2

用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（

）A.至少有两个内角是直角B.没有一个内角是直角C.至少有一个内角是直角D.每一个内角都不是直角对点典例剖析17.5反证法［解题思路］因为“最多有一个”的反面是“至少有两个”，所以应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.［答案］A17.5反证法■题型一

用反证法证明几何问题例1求证：在一个三角形中不能有两个角是钝角.（画出图形，写出已知、求证，并借助反证法进行证明）17.5反证法［解析］根据反证法的证明方法作出假设，进而证明即可.［答案］已知：△ABC（如图所示）．求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A，∠B为钝角，∴∠A+∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确，即在一个三角形中不能有两个角是钝角．17.5反证法思路点拨

作出假设→推出矛盾→否定假设→结论成立.17.5反证法解题通法

用反证法证明与平面几何有关的命题时，一般先根据命题写出已知、求证，并画出相应的图形，再证明.■题型二

用反证法证明代数问题例2设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=b2-ac，y=c2-ab，z=a2-bc.求证：x，y，z至少有一个大于零.17.5反证法［答案］解：假设x，y，z都小于或等于零，则b2-ac+c2-ab+a2-bc≤0，2b2-2ac+2c2-2ab+2a2-2bc≤0，（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2≤0，当（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2＜0时，这与偶次方的非负性相矛盾，当（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0时，a-b=0，a-c=0，b-c=0，∴a=b=c，这与“a，b，c是不全相等的任意实数”相矛盾，∴假设不成立，∴x，y，z至少有一个大于零．17.5反证法变式衍生1

请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．17.5反证法解：证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，（n，p为整数），则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，因为无论n，p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，所以假设不成立，所以这两个整数中至少有一个是偶数.17.5反证法■题型三

反证法的实际应用例3体育课上，老师组织54名同学在操场上做射水枪游戏.这些同学彼此之间的距离都不相等，每人手中有一把水枪，并规定每名同学向离自己最近的同学开一枪，试证明每名同学最多被击中5枪.17.5反证法［答案］假设有一名同学至少被击中6枪，设此同学为A，其他六名同学B，C，D，E，F，G各向A开一枪.考虑B，C对A开枪，三位同学相对位置如图所示，由题意可得BA＜BC且CA＜BC，所以BC边最长，则∠BAC＞60°.不妨设6名同学B，C，D，E，F，G在A的周围按逆时针方向排列.由上可知∠CAD＞60°，∠DAE＞60°，∠EAF＞60°，∠FAG＞60°，∠GAB＞60°，所以∠BAC+∠CAD+∠DAE+∠EAF+∠FAG+∠GAB＞360°，这与周角为360°相矛盾，所以每名同学最多被击中5枪.17.5反证法17.5反证法变式衍生2

在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小明和小刚三