第二章一阶微分方程的初等解法

§2、1变量分离方程与变量变换xxf(x0dyyy2x2y2y1时yy11为求满足初始条件y(0)为求满足初始条件y(0)c10xx。003°最后，我们还指出一点，初值问题ffyx0x,yy0y(0)02x(u)xx(u)(u)e22u2u2u2x1yxcxyyf(aa1b11f令zy130130010y2代入原方程，得到新方程dd2u122y2)2整理后得到整理后得到dd11222yc22ycc或x22xyy22x6yc1yyyyxy,所以由夹角正数公式，有yy2y1令yx2u或xu2)u2x令1u2x1u2c即u21cx1u22uxxxx2x2§2.2线性微分方程与常数变易法ycxxxP(x)dx(x)dxdxc)q(x)ep(x)dxdxz2x1x2x代入（1.19）并化简，得xc(x)xq(s)exc(x)x0sx,两端积分，即得代入（1.26得到yexsx000xxx0eyx0eyx0xx0xx2y(x532c2c3x32x2y0t有0x0t(tt0)tt0tt0t0)e00tttt§2.3恰当微分方程与积分因子1°考虑微分形式的一阶方程x2y2y若yy(x)为这个方程的解，应有恒等式d(x2y2(x))0，22(xy)dx2(x2y)dy022y2yyx2x2y2x这已是数学分析中早有的结论了，即：假如M(x,y)与N(x,y)在矩形MyMy32424x2xyx而(ysinxcosy)dx(cosx2y)dyx2xxUUyxU(x,y)xU(x,y)x0Uy使U(x,y)Uyx0x0xyy0x00于是，函数（1.6）满足初始条件y(x0)y0的y（1.35）0例2．求解方程(3x26x2y)dx(6x2yx33xy4x0(3x2x6x2y)dx00y4y3dy22y(0)2x0y042°当方程不为全微分方程时，在一定条件下，我们可以把它化为全成为全微分方程，我们就把x,y称Nx或NxyyMyxx（1.37xNMyNx或MyNxMyNNxyxyxy且（1.39）(x)为方程22MyNNxMyMNMyMNx3例4．求解(2xyx2yy)dx(x23Nx32y)dx3ex(x2y2)dyxxe02330yexy2dyc2320My133Nx2x2xx2xcosydx2x22,因为，上式两端同乘2xxcosydx2x22后2x即dyxy2yxxy2xdx22cosyx2y22x222x2y)dy0但改写成x(x2y2)dx(3°全微分方程有很具体的物理背景。略i如dy1即非可分离又不是齐次方程与线性方程。但是§2.4一阶隐式微分方程与参数表示y2x2可解dp假如（3）能求出通解pp(xc)代入（2）中得（1）通解yf(x,(x,c))则与（2）联立，即则与（2）联立，即x222yyx222yy2px22x2c2x242x2c2x24y0代入（5）中得ycx(c)通解xyxyyx它与（2）方法相似p代入（6）中x将它与（6）式联立，得3y4xyy8y0略ccxx(t)0（8）(t)0（8）(t)yyyyx(t)2yy2yyxy(t)ctgtcostdtsintdtxsintxsint1y2y§1.7一阶微分方程应用举例②在其它学科（如天文，气象）中都用应用(后继课微分几何应用)当21y<ⅲ>如何求（4）呢？采用分析法。设yy(x)为(C)中任一条曲线，于是在相应的C使得y2101y),则得等角（或正角）12°、在动力学中的应用则（1）可以化为一阶微分方程于是（1）化为vv在速度不太大的情况下（低音速的45空气阻力看做与速度的平方成正比，试证明在这情况下落体在极限速度tt12mt或2m2tmv22mtkvvkxxkk2ttkm3°流体混合问题：2xv0(v1v1)dt或于是有关系4050dx360(0.05x)dx或4,t30分钟=1800秒代入01xa2xxa2x02012u0yx1e0enynp(x)yyyq(x)yn2、方程为隐方程法（1原方程变形为1x2yx(y)cey2y2yy法（3将原方程写为微分方程形式dx(x2y)dy0Mx2y)dy0为全微分方程y(x02y)dyyz)eyceyy,u解：法（1两边除以x0，得到xx1xcx1法（2原方程可写为x1yyxcx1y(x)cx法（3原方程可写为(xy)xx2y(xy2)dy(xy2)dx（1.yx解yyx223y32x213n1132332x3x2zcxx223yx2p(x)dxp(x)dxq(x)kp(x)yy