第二节常用逻辑用语讲义高三数学一轮复习

第一章集合与常用逻辑用语第二节常用逻辑用语【课标要求】常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性。教学目标：1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；2.理解全称量词与存在量词的意义。3.能正确对含一个量词的量词命题进行否定。教学重点：1.必要条件、充分条件、充要条件的判断；2.含量词命题真假的判断教学难点：1.充要条件的证明；2.量词的理解及应用教学过程：一．知识梳理：（请同学们阅读教材，完成下列知识填空）1.充分条件与必要条件(1)充分条件与必要条件:一般地，“若p,则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.即由p推出q,记，则说________的充分条件,________的必要条件(2)充分条件、必要条件、充要条件的判断定义法判断集合语言判断p是q充分不必要条件且q不能推出pp是q必要不充分条件p是q充要条件p是q既不充分也不必要条件注：把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,记A={x|p(x)},B={x|g(x)}(3)充要条件的证明：证明“p是q充要条件”,要分别从“pq”和“qp”两个方面证明，即要分别证明充分性和必要性两个方面，由条件结论是证明充分性，由结论条件是证明必要性.2、全称量词与存在量词(1)全称量词与全称量词命题语言定义符号表示全称量词短语中____在逻辑中称为全称量词全称量词命题含有全称量词的命题全称量词命题的判断(1)判断全称量词命题是真命题，需要对每一个元素x,证明都成立；(2)判断全称量词命题是假命题，举反例.(2)存在量词与存在量词命题语言定义符号表示存在量词短语中_______在逻辑中成为存在量词存在量词命题含有存在量词的命题存在量词命题的判断(1)判断存在量词命题是真命题，举例说明；(2)判断全称量词命题是假命题，需要对每一个元素x,证明都不成立；(3)量词的否定命题形式否定存在量词命题存在量词命题全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全程量词二．考点强化：考点1：充分必要条件的判断例1.（1）（2024年全国甲卷第9题）设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则()A.x=3是a⊥b的必要条件B.x=3是a//b的必要条件C.x=0是a⊥b的充分条件D.x=是a//b的充分条件(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：（1）B.(2)B方法总结：充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪练习1：(1)写使得“”成立的一个充分条件是________；（2）若“x2－mx＋4<0”是“x2－4x＋3<0”的必要条件，则实数m的取值范围为________．答案：(1){x|x<0}的子集均可；（2）m≥5考点2：充要条件的证明及应用例2.（人教A版必修1教材P22例４）已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O犗相切的充要条件．跟踪练习2：(1)(人教A版必修1P23第5题）设a,b,c∈R.证明：a²+b²+c²=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c.（2）(人教A版必修1P23第6题改编）设a,b,c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.请利用边长a,b,c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.考点3：含量词命题真假的判断：（新课标2卷第2题）已知命题p:；命题q:则（）A.p和q都是真命题B.p和q都是真命题C.p和都是真命题D.p和都是真命题跟踪练习3：（1）判断下列命题真假①；②（2）下列命题是真命题的是________．(填序号)①存在a∈R，使函数在R上为偶函数；②任意x∈R，函数的值恒为正数；③任意x∈R，；④存在x∈R，x2－2x＋1≤0考点4：含一个量词命题的否定例4.（1）已知命题，则（）Ａ．， Ｂ．，Ｃ．， Ｄ．，命题“存在”的否定是（）.（Ａ．不存在B.存在C.对任意的D.对任意的跟踪练习4：写出下列命题的否定，并判断它们的真假。(1)一元二次方程有实根;(2).考点5：量词在解题中的理解及应用例5.已知,,若对任意x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．答案：变式练习：（1）若将例5中“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．（2）本例中，若将例5中“任意x1∈[0,3]”改为“存在x1∈[0,3]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．三．课堂小结：（1）请画出本节知识结构图（2）请梳理出本节课中自己易错点、疑难点。四．课后练习：1.设x∈R，则“”是“x3<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.命题p：cosθ＝eq\f(\r(2),2)，命题q：tanθ＝1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.（多选题）下列命题中的真命题是()A.存在x0∈R，lgx0＝1B.存在x0∈R，sinx0＝0C.任意x∈R，x3＞0D.任意x∈R，2x＞05.（多选题）命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定正确的有（）A,并非所有的矩形都是平行四边形B.存在一个矩形不是平行四边形C.所有的矩形都不是平行四边形D.矩形不都是平行四边形6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且q的一个充分不必要条件是非p，则a的取值范围是________7.直线y＝kx＋1与圆有公共点的充要条件是________8.若“任意，m≤tanx＋2