北师大版高中数学必修一课件2.6习题课函数单调性与奇偶性的综合应用（共26张）

习题课——函数单调性与奇偶性的综合应用一、函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判定函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间.二、在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常函数都是偶函数.三、设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么它们在公共定义域上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.四、若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](a<b)上是增(减)函数,则f(x)在区间[-b,-a]上是增(减)函数;若f(x)为偶函数,且在区间[a,b](a<b)上是增(减)函数,则f(x)在区间[-b,-a]上是减(增)函数,即奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;而偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.五、若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).做一做1

若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)(

)

A.在[1,7]上是增函数

B.在[-7,2]上是增函数C.在[-5,-3]上是增函数 D.在[-3,3]上是增函数解析:因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1.所以f(x)=-x2+2,结合函数f(x)可知选C.答案:C做一做2

若奇函数f(x)满足f(3)<f(1),则下列各式中一定成立的是(

)

A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1)C.f(-2)<f(3) D.f(-3)<f(5)解析:因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)<f(1),所以-f(-3)<-f(-1),所以f(-3)>f(-1).答案:A做一做3

导学号91000083定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为

.

解析:由已知条件可知f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴f(3)<f(2)<f(1).再由偶函数性质得f(3)<f(-2)<f(1).答案:f(3)<f(-2)<f(1)探究一探究二探究三思想方法探究一利用函数的奇偶性求解析式

【例1】

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求:(1)f(0);(2)当x<0时,f(x)的解析式;(3)f(x)在R上的解析式.分析:(1)利用奇函数的定义求f(0);探究一探究二探究三思想方法解:(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.(3)函数f(x)在R上的解析式为探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法变式训练1

本例中若把“奇函数”换成“偶函数”,求x<0时f(x)的解析式.

解:设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∴f(x)=-2x2-3x+1,x<0.探究一探究二探究三思想方法探究二应用函数的单调性与奇偶性判定

函数值的大小

【例2】

设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(

)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)解析:∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).而2<3<π,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴f(2)<f(3)<f(π).∴f(-2)<f(-3)<f(π).故选A.答案:A探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法变式训练2

若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?

解:因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).又f(x)是R上的偶函数,故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).探究一探究二探究三思想方法探究三应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式

【例3】

导学号91000084设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.解:因为f(x)在[-2,2]上为奇函数,且在[0,2]上单调递减,所以f(x)在[-2,2]上为减函数.又f(1-m)<f(m),探究一探究二探究三思想方法延伸探究:在本例中,把“奇函数f(x)”改为“偶函数f(x)”,其余条件不变,结果又如何?解:因为f(-x)=f(x),f(x)在区间[0,2]上单调递减,所以y=f(x)在[-2,0]上是单调递增的.因为f(1-m)<f(m),探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法变式训练3

若偶函数f(x)在(-∞,0]上是增函数,且f(a+1)>f(3-a),求a的取值范围.

解:∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,∴f(a+1)>f(3-a),∴f(-|a+1|)>f(-|3-a|).∴-|a+1|>-|3-a|.∴|a+1|<|3-a|.∴a2+2a+1<9-6a+a2.∴a<1,即a的取值范围为(-∞,1).探究一探究二探究三思想方法化归思想在解抽象不等式中的应用典例已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上单调递减;③f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.【思路点拨】

要由不等式f(1-a)+f(1-a2)<0求实数a的取值范围,应利用函数f(x)的奇偶性与单调性去掉“f”,建立关于a的不等式组求解.探究一探究二探究三思想方法解:∵f(x)是奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1).∴f(1-a)+f(1-a2)<0⇒f(1-a)<-f(1-a2)⇒f(1-a)<f(a2-1).∵f(x)在定义域(-1,1)上是单调递减的,∴a的取值范围为(0,1).探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法变式训练

设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,0)上是减函数,实数a满足不等式f(3a2+a-3)<f(3a2-2a),求实数a的取值范围.

解:∵f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,∴f(x)的图像在y轴左侧递减.又∵f(x)是奇函数,∴f(x)的图像关于原点中心对称,则在y轴右侧同样递减.又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0,∴f(x)的图像在R上递减.∵f(3a2+a-3)<f(3a2-2a),∴3a2+a-3>3a2-2a,解得a>1,即实数a的取值范围为(1,+∞).123451.设f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成立的是(

)A.f(0)<f(6) B.f(4)>f(3)C.f(2)>f(0) D.f(-1)<f(4)解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(4)>f(1),∴f(4)>f(-1).答案:D123452.已知x>0时,f(x)=x-2017,且知f(x)在定义域R上是奇函数,则当x<0时,f(x)的解析式是(

)A.f(x)=x+2017 B.f(x)=-x+2017C.f(x)=-x-2017 D.f(x)=x-2017解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-2

017.又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2

017.故选A.答案:A123453.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)=

.解析:∵f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8=10,∴25+a·23+2b=-18.∴f(2)=25+a·23+2b-8=-26.答案:-26123454.若偶函数f(x)在(-∞,0]上是增函数,则