2.2 30°,45°,60°角的三角函数值 同步练习

第二章直角三角形的边角关系230°，45°，60°角的三角函数值基础过关全练知识点130°，45°，60°角的三角函数值1.(2023山东烟台牟平期中)计算4cos230°的值为()A.3 B.1 C.32 2.若锐角α满足cosα<32，且tanα<1，则αA.30°<α<45° B.45°<α<60° C.60°<α<90° D.30°<α<60°3.(2021山东烟台龙口期中)已知α为锐角，下列结论：①sinα+cosα=1；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα>12，那么α<60°；④(sinα−1)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.(2022山东东营利津期中改编)若0°<α<80°，tan(α+10°)=3，则α的度数是.

5.(2020甘肃天水中考)如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是.

6.(2021甘肃武威中考)如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED=90°，∠EAD=30°，F是AD边的中点，EF=4cm，则BE=cm.

7.(2020黑龙江哈尔滨中考)在△ABC中，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，AD=63，CD=1，则BC的长为.

8.(2023山东泰安东平期中)计算：(1)2cos30°-tan60°+tan45°-12sin60°； (2)12-2cos60°+sin245°+2-1知识点230°，45°，60°角的三角函数值的应用9.(2021湖南株洲中考)某限高曲臂道路闸口如图所示，AB⊥地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α(0°≤α≤90°)，EF∥l1∥l2，若AB=1.4米，BE=2米，车辆的高度为h(单位：米)，不考虑闸口与车辆的宽度.①当α=90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当α=45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当α=60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.则正确说法的个数为()A.0 B.1 C.2 D.310.小月在花园里荡秋千，秋千的起始位置为A，OA与地面垂直，如图所示的是小月荡的一个不均衡的来回，此时∠BOC=90°，∠BOD=30°，点B到OA的距离BD=2米，则点C到OA的距离CE为米.

11.(2022内蒙古通辽中考)某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度(结果保留一位小数，3≈1.7).能力提升全练12.(2022山东烟台栖霞期中)在△ABC中，(2sinA-1)2+cosB−12A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.无法确定13.(2022山东泰安中考)如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知窗户的高度AF=2m，窗台的高度CF=1m，窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m，则CP的长度为(结果精确到0.1m).

14.(2023山东淄博淄川期中)(1)计算：2cos45°-32tan30°cos30°+sin260°(2)计算：(sin30°)-1×(sin60°-cos45°)-(1−tan60°)2(3)已知三角函数有如下的公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，利用该公式求sin75°的值.15.(2022山东淄博高青期中)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，且BD=2AC.(1)求∠B的度数；(2)求tan∠BAC的值.(结果保留根号)素养探究全练16.(2020广西北部湾经济区中考)如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行.(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)?(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行206nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，则救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短?最短航程是多少(结果保留根号)?

第二章直角三角形的边角关系230°，45°，60°角的三角函数值答案全解全析基础过关全练1.A4cos230°=4×3222.A∵cosα<32，∴α>30°.∵tanα∴α<45°.∴30°<α<45°.故选A.3.C①如图，sinα=ACAB，cosα=BCAB，则sinα+cosα=AC②因为sin45°=cos45°=22，且在锐角范围内，正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小，所以α>45°时，sinα>22，cosα<22，所以sinα>cos③因为cos60°=12，且在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小，所以cosα>12时，α<60°④因为在锐角范围内，sinα<1，所以(sinα−1)2=1-sinα4.50°解析∵tan(α+10°)=3，∴α+10°=60°.∴α=50°.5.2解析如图，连接AB.易知△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°.∴sin∠AOB=226.6解析∵∠AED=90°，F是AD边的中点，EF=4cm，∴AD=2EF=8cm.∵∠EAD=30°，∴AE=AD·cos30°=8×32=4∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°.∴∠BEA=∠DAE=30°.在Rt△ABE中，BE=AE·cos∠BEA=43×cos30°=437.7或5解析①当△ABC为锐角三角形时，如图1，∠ABC=60°，AD⊥BC，AD=63，∴BD=ADtanB=633=6，∴图1图2②当△ABC为钝角三角形时，如图2，由①得BD=6，又CD=1，∴BC=BD-CD=5.综上，BC的长为7或5.8.解析(1)2cos30°-tan60°+tan45°-12sin60=2×32(2)12-2cos60°+sin245°+2-1=23=23−1+9.C①当α=90°时，限高曲臂道路闸口的高度为1.4+2=3.4米，所以h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确.②当α=45°时，限高曲臂道路闸口的高度为1.4+2×22≈2.814米，所以h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确.③当α=60°时，限高曲臂道路闸口的高度为1.4+2×32≈3.132米，所以h等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③不正确10.23解析在Rt△OBD中，∠BOD=30°，∠BDO=90°，BD=2米，所以OB=2BD=4米.所以OC=OB=4米.在Rt△COE中，∠EOC=∠BOC-∠BOD=90°-30°=60°，∠OEC=90°，OC=4米，所以CE=OC·sin∠EOC=4·sin60°=23(米).故填23.11.解析如图，易知∠BDE=90°-45°=45°，∴在Rt△BDE中，DE=BE=14m.易知四边形CEBM为矩形，∴CM=BE=14m.在Rt△ACM中，∠ACM=60°，∴AM=CM·tan60°=143(m)，∴AB=BM-AM=CE-AM=20+14-143≈10.2(m).答：AB的长度约为10.2m.能力提升全练12.C∵(2sinA-1)2+cosB−12=0，∴2sinA∴sinA=12，cosB=12.∴∠A=30°，∠B=60∴△ABC是直角三角形.故选C.13.4.4m解析由题意可知AD∥CP.∵∠DPC=30°，∴∠ADB=30°，∴AB=AD·tan∠ADB=0.8×33=4315m.∵AC∴BC=AC-AB=3−4315m.在Rt△BCP中，∠BPC∴CP=BCtan∠BPC=314.解析(1)原式=2×2=2−(2)原式=1=2×3−22-(3(3)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=1215.解析(1)连接AD，如图.∵AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，∴AD=BD.∴∠B=∠DAB.∵BD=2AC，∴AD=2AC.又∠C=90°，∴sin∠ADC=ACAD∴∠ADC=30°.∵∠ADC=∠B+∠DAB，∴∠B=15°.(2)设AC=m，则AD=BD=2m.在Rt△ACD中，CD=AD∴BC=(2+3)m.在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC=(2+3)m素养探究全练16.解析(1)如图，过B作BM⊥AC于M.由题意可得∠BAM=30°+15°=45°，∴∠ABM=45°.在Rt△ABM中，∵∠BAM=45°，AB=40nmile，∴AM=AB·cos∠BAM=40×cos45°=202(nmile).∴渔船航