5.2.3简单复合函数的导数教学设计高二下学期数学人教A版选择性

教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期秋季课题简单复合函数的导数教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册出版社：人民教育出版社教学目标1.掌握复合函数的概念及分解．2.理解掌握复合函数的求导法则，提高学生的数学抽象能力．3.掌握导数的综合运算，提高学生的数学运算能力．教学内容教学重点：1.复合函数的概念；

2.复合函数的求导法则.

教学难点：1.复合函数的求导.及导数的综合运算教学过程一、温故知新基本初等函数的导数公式（教材74页表5.21）：（1）若fx=c（2）若fx=xα（α∈Q，且（3）若fx=sinx（4）若fx=cosx（5）若fx=ax

(a特别地，若fx=e（6）若fx=logax(a特别地，若fx=lnx2、导数的四则运算法则（1）；（2）；（3）.设计意图：承前启后，为后面的学习探究做好充分的准备.二、新知探究探究1、复合函数的概念问题1：如何求函数师生活动：教师引导，学生独立完成.解析：y'追问1：如何求函数y=ln⁡师生活动：学生观察分析，师生共同总结函数的结构特点.分析：函数y=ln若设u=2x数。如果把y与追问2：同学们还能列举出具有这样结构特点的函数吗？师生活动：学生尝试列举、展示交流，然后形成共识，抽象形成概念.归纳：复合函数的概念：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作：y＝f(g(x)).设计意图：提出问题，开门见山，逐步深入引导激发学生探究复合函数的求导问题。培养学生的转化思想，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。探究2、复合函数的求导法则问题2：函数y=sin2x是复合函数吗？若是，由哪师生活动：学生独立思考完成，教师点评.解析：是复合函数，由函数u追问1：如何求函数y=师生活动：学生在教师引导下观察思考，先将该函数转化为两个三角函数的乘积，再利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可求得。解析：因为y所以y'=(2=2cosx∙cosx+sinx∙(−sinx)追问2：函数y=sin2师生活动：在教师的引导下，学生小组内合作探究.分析：以yx'表示y对x的导数，yu'表示y对u的导数，以ux'yu'=(sinu

可以发现yx追问3：由以上的例子，能否归纳出复合函数求导法则？师生活动：学生独立思考作答，教师点评完善.归纳：复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx'=ux'∙yu'设计意图：问题的提出具有承前启后，接连不断地对问题深入的追问，发展学生由具体到一般的数学归纳推理能力、培养学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。三、典例解析、巩固理解典例解析：例6（教材第79页）.求下列函数的导数（1）y=（3x+5例7（教材第80页）.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:mm)与时间t(单位:s)之间的关系为.求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义。师生活动：在教师的引导下，师生共同完成，并归纳复合函数的求导步骤。小结：复合函数求导步骤:分解求导相乘回代（记得）.四、目标检测，检验效果1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sin(x)的复合过程是y＝sinu，u＝x．()(2)f(x)＝ln(3x－1)则f′(x)＝eq\f(1,3x－1)．()(3)f(x)＝x2cos2x，则f′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x．()1、[答案](1)√(2)×(3)×解析(2)中f′(x)＝eq\f(3,3x－1).(3)中，f′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x.设计意图：考查学生对复合函数概念及复合函数求导法则的掌握情况2．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－12、[答案]A设计意图：考查学生对复合函数概念的掌握情况3．下列对函数的求导正确的是()A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2B．y＝log2(2x＋1)，则y′C．y＝coseq\f(x,3)，则y′＝eq\f(1,3)sineq\f(x,3)D．y＝22x－1，则y′＝22xln23、[答案]D解析：[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′，∴B错误；C中，y′＝－eq\f(1,3)sineq\f(x,3)，∴C错误；D中y′＝22x－1ln2×(2x－1)′＝22xln2.故D正确．]设计意图：考查学生对复合函数求导法则的掌握情况4．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x4.答案B解析：[y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.]设计意图：考查学生导数综合运算的能力5．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.5、答案eq\f(3,2)解析：[f′(x)＝eq\f(1,3x－1)×(3x－1)′＝eq\f(3,3x－1)，∴f′(1)＝eq\f(3,3×1－1)＝eq\f(3,2).]设计意图：考查学生对复合函数求导的掌握情况6．已知f(x)＝xe－x，则f(x)在x＝2处的切线斜率是________．6、答案－eq\f(1,e2)解析：[∵f(x)＝xe－x，∴f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，∴f′(2)＝－eq\f(1,e2).根据导数的几何意义知f(x)在x＝2处的切线斜率为k＝f′(2)＝－eq\f(1,e2).]设计意图：考查导数的几何意义与导数运算综合能力7．求下列函数的导数：(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝xeq\r(1＋x2).7、[解](1)令u＝3x－2，则y＝10u.∴yx'＝yu'·ux（2）令u＝ex＋x2，则y＝lnu.∴yx'＝yu'·ux'＝eq\f(1,u)·(ex＋x2)′＝eq\f(ex＋2x,ex＋x2).(3)y′＝(xeq\r(1＋x2))′＝eq\r(1＋x2)＋x(eq\r(1＋x2))′＝eq\r(1＋x2)＋eq\f(x2,\r(1＋x2))＝.设计意图：考查学生导数综合运算的能力8.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是?8、解：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝eq\f(2,2x－1)，∴y′|eq\s\do16(x＝x0)＝eq\f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq\r(5)，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq\r(5).设计意图：考查学生综合分析能力、数形结合及化归思想，培养学生的数学运算、逻辑推理的核心素养。五、课堂小结，形成结构问题：本节课我们重点学习了哪些方面的内容？师生活动：教师提出问题，学生回答总结1、学习复合函数的概念；2、复合函数的求导法则：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx'＝yu'·ux'，即y对x的导数等于y对u3、复合函数的求导步骤：分解求