上海市长宁区2025届八年级数学第一学期期末检测试题含解析

上海市长宁区2025届八年级数学第一学期期末检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．-=20 B．-=20 C．-= D．=2．如图，AC∥DF，AC＝DF，下列条件不能使△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．AB=DE D．BF=EC3．甲，乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，结果如下。某同学根据上表分析，得出如下结论。班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135（1）甲，乙两班学生成绩的平均水平相同。（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数。（每分钟输入汉字≧150个为优秀。）（3）甲班成绩的波动情况比乙班成绩的波动小。上述结论中正确的是（）A．(1)(2)(3) B．(1)(2) C．(1)(3) D．(2)(3)4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是()A．－2a+b B．2a－b C．－b D．b5．如图，≌，下列结论正确的是()A． B． C． D．6．在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，7．关于x的不等式有解，则a的取值范围是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a≥3 D．a＞38．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．6cm，8cm，9cm B．4cm，4cm，10cmC．5cm，6cm，11cm D．3cm，4cm，8cm9．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，－2） B．（－1，2） C．（-1，－2） D．（2，－1）10．下列命题中，真命题是（）A．过一点且只有一条直线与已知直线平行B．两个锐角的和是钝角C．一个锐角的补角比它的余角大90°D．同旁内角相等，两直线平行11．已知为正整数，也是正整数，那么满足条件的的最小值是()A．3 B．12 C．2 D．19212．若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（）A．13 B．10 C．3 D．2二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在中，和的平分线相交于点，过作，交于点，交于点.若，则线段的长为______．14．如图，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB平移至A1B1，A1、B1的坐标分别为（3，1）、（a，b），则a+b的值为_____．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3，则线段BD的长为___．16．计算3的结果是___．17．计算：0.09的平方根是________．18．若分式有意义，则实数的取值范围是_______.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知，直线l垂直平分线段AB尺规作图：作射线CM平分，与直线l交于点D，连接AD，不写作法，保留作图痕迹在的条件下，和的数量关系为______．证明你所发现的中的结论．20．（8分）（Ⅰ）计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1（Ⅱ）因式分解：（a﹣4b）（a+b）+3ab（Ⅲ）化简：．21．（8分）等腰三角形中，，，点为边上一点，满足，点与点位于直线的同侧，是等边三角形，（1）①请在图中将图形补充完整：②若点与点关于直线轴对称，______；（2）如图所示，若，用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由．22．（10分）（1）求值：；（2）解方程：．23．（10分）（问题解决）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=1．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．（类比探究）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=1，PB=1，PC=，求∠APB的度数．24．（10分）阅读下列解题过程：（1）；（2）；请回答下列问题：（1）观察上面解题过程,请直接写出的结果为__________________．（2）利用上面所提供的解法，请化简：25．（12分）八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：（Ⅰ）如图5-1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（Ⅱ）如图5-2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD,接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.阅读后1回答下列问题：

（1）方案（Ⅰ）是否可行？说明理由.（2）方案（Ⅱ）是否可行？说明理由.（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,方案（Ⅱ）是否成立？.26．随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售,据了解2辆A型汽车、3辆B型汽气车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少方元?(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案；(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元,销售1辆B型汽车可获利5000元,在(2)中的购买方案中,假如这些新能源汽车全部售出,哪种方案获利最大?最大利润是多少元？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】由题意可得，

-=，

故选：C．【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．2、C【分析】根据判定全等三角形的方法，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵AC=DF；A、∠A＝∠D，满足ASA，能使△ABC≌△DEF，不符合题意；B、∠B＝∠E，满足AAS，能使△ABC≌△DEF，不符合题意；C、AB=DE，满足SSA，不能使△ABC≌△DEF，符合题意；D、BF=EC，得到BC=EF，满足SAS，能使△ABC≌△DEF，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握SAS、SSS、ASA、AAS、HL证明三角形全等．3、B【分析】平均水平的判断主要分析平均数；根据中位数不同可以判断优秀人数的多少；波动大小比较方差的大小．【详解】解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确；甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，（2）正确；甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况小，所以（3）错误．综上可知（1）（2）正确．故选：B．【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．4、A【分析】直接利用数轴得出a＜0，a−b＜0，进而化简得出答案．【详解】由数轴可得：a＜0，a−b＜0，则原式＝−a−（a−b）＝b−2a．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．5、B【分析】全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，据此逐一判断即可的答案．【详解】∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，故A、C、D选项错误，不符合题意，∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BC-CE=EF-CE，∴BE=CF，故B选项正确，符合题意，故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的性质，正确找出对应边与对应角是解题关键．6、C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】A、1＋2＝3＜4，不能组成三角形，故此选项错误；B、4＋1＝5＜9，不能组成三角形，故此选项错误；C、3＋4＝7＞5，能组成三角形，故此选项正确；D、5＋4＝9，不能组成三角形，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．7、C【分析】解不等式6－2x≤0，再根据不等式组有解求出a的取值范围即可．【详解】解不等式6－2x≤0，得：x≥1，∵不等式组有解，∴a≥1．故选：C．【点睛】本题主要考查根据不等式组的解判断未知参数的范围，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．8、A【分析】根据三角形中：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．【详解】解：A、∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴能构成三角形，故本选项正确；B、∵4+4＜10，∴不能构成三角形，故本选项错误；C、∵5+6=11，∴不能构成三角形，故本选项错误；D、∵3+4=7＜8，∴不能构成三角形，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．9、A【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），进而求出即可．【详解】点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为：（1，-2）．

故选：A．【点睛】此题考查关于x轴对称的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．10、C【分析】根据平行线的公理及判定、角的定义和补角和余角的定义可逐一判断．【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；B、两个锐角的和不一定是钝角，如20°+20°=40°，是假命题；C、一个锐角的补角比它的余角大90°，是真命题；D、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的公理及性质，掌握平行线的公理及判定、角的定义和补角和余角的定义是关键．11、A【分析】因为是正整数，且==，因为是整数，则1n是完全平方数，可得n的最小值．【详解】解：∵是正整数，则==，是正整数，∴1n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为1．故选A.【点睛】此题主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则，解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．12、B【分析】根据三角形的三边关系，求出第三边的长的取值范围，即可得出结论．【详解】解：∵三角形两边的长分别是5和8，∴8－5＜第三边的长＜8＋5解得：3＜第三边的长＜13由各选项可知，符合此范围的选项只有B故选B．【点睛】此题考查的是根据三角形两边的长，求第三边的长的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、2【分析】根据角平分线的定义可得∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，由平行线的性质可得∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，等量代换可得∠DFB=∠DBF，∠EFC=∠ECF，根据等角对等边可得到DF=DB，EF=EC，再由ED=DF+EF结合已知即可求得答案.【详解】∵BF、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∴∠DFB=∠DBF，∠EFC=∠ECF，∴DF=DB，EF=EC，∵ED=DF+EF，，∴EF=2，∴EC=2故答案为：2【点睛】本题考查了等腰角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.14、1【分析】根据点A、A1的坐标得到平移的规律，即可求出点B平移后的点B1的坐标，由此得到答案.【详解】解：∵点A（2，0）先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点A1（1，1），∴线段AB先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到线段A1B1，∴点B（0，1）先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点B1，∴a＝0+1＝1，1+1＝b，∴a+b＝1+2＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查点平移的规律：纵坐标上加下减，横坐标左减右加，正确掌握规律是解题的关键.15、9【分析】利用三角形的内角和求出∠A，余角的定义求出∠ACD，然后利用含30度角的直角三角形性质求出AC=2AD，AB=2AC即可..【详解】解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB=90°又∵在三角形ABC中，∠B=30°∴∠A=90°-∠B=60°，AB=2AC又∵∠ADC=90°∴∠ACD=90°-∠A=30°∴AD=AC,即AC=6∴AB=2AC=12∴BD=AB-AD=12-3=9【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形性质以及三角形内角和定理，解题的关键在于灵活应用含30度角的直角三角形性质.16、．【分析】首先化简二次根式进而计算得出答案．【详解】原式＝32．故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．17、【分析】根据平方根的定义即可求解．【详解】0.09的平方根是故答案为：．【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知其定义．18、【分析】根据分式有意义的条件，即可求出x的取值范围.【详解】解：∵分式有意义，∴，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了分时有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，即分母不等于0.三、解答题（共78分）19、(1)见解析;(2);(3)见解析.【解析】利用基本作图作的平分线即可；作于E，于F，如图，利用线段的垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质得到，则利用“HL”可证明≌，所以，然后根据四边形内角和和角的代换得到．【详解】解：如图，AD、BD为所作；

答案为；

理由如下：作于E，于F，如图，

点D在AB的垂直平分线上，

，

平分，，，

，

在和中

，

≌

，

，

，

即．

【点睛】考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质．20、（Ⅰ）﹣3；（Ⅱ）（a+2b）（a﹣2b）；（Ⅲ）﹣．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据负整数指数幂的意义、绝对值的意义和二次根式的乘法法则计算；（Ⅱ）先展开合并得到原式=a2-4b2，然后利用平方差公式进行因式分解；（Ⅲ）先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式=-，最后进行通分即可．试题解析：（Ⅰ）原式=-+2--2=-2+2--2=-3；（Ⅱ）原式=a2+ab-4ab-4b2+3ab=a2-4b2=（a+2b）（a-2b）；（Ⅲ）原式===-==-．21、（1）①画图见解析；②75°；（2）AB=BE+BD，证明见解析．【分析】（1）①根据题意直接画出图形；②根据对称性判断出AB⊥DE，再判断出∠DAE=60°，可以求出∠BAC，即可得出结论；（2）先判断出∠ADF=∠EDB，进而判断出△BDE≌△FDA，即可得出结论．【详解】解：（1）①根据题意，补全图形如图所示，②当点D与点E关于直线AB轴对称时，∴AB⊥DE，∵△ADE是等边三角形，AB⊥DE，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE=30°，∵AB=AC，∴∠ACB=（180°-∠BAC）=75°，故答案为75°；（2）AB=BE+BD，证明如下：如图，在BA上取一点F，使BF=BD，DE与AB的交于H，∵△ADE是等边三角形，∴AD=ED，∠EAD=∠AED=60°，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=80°，∴∠ABC=∠ACB=80°，∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=20°，∴∠BAE=∠DAE-∠BAC=40°，在△BCD中，BC=BD，∴∠BDC=∠ACB=80°，∴∠DBC=180°-∠ACB-∠BDC=20°，∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°，∵BF=BD，∴△BDF是等边三角形，∵∠AED=∠ABD=60°，∠AHE=∠BHD，∴∠BDE=∠BAE=40°，∴∠BDF=60°，BD=FD=BF，∴∠ADF=180°-∠BDC-∠BDF=40°=∠ADF，又∵DE=AD，∴△BDE≌△FDA（SAS），∴FA=BE，∴BA=BF+FA=BD+BE．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确做出辅助线，构造出全等三角形是解本题的关键．22、（1）4；（2）．【分析】（1）分别计算算术平方根、立方根和零次幂，将结果相加减即可；（2）依次移项、系数化为1、两边直接开平方即可得出答案．【详解】解：（1）原式==4；（2）移项得：，系数化为1得：，两边直接开平方得：．【点睛】本题考查求立方根，零指数幂和平方根方程．（1）中能根据定义分别计算是解题关键；（2）注意不要忘掉负值．23、（1）见解析；（2）见解析.【解析】分析：（1）先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=1，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论．详解：（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=1，在Rt△PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=BP=2，∵AP=1，∴AP2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=12=9，∴AP2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=115°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=，在Rt△PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=BP=，∵AP=1，∴AP2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（）2=11，∴AP2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°．点睛：此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．24、（1）；（2）9【分析】（1）利用已知数据变化规律直接得出答案；（2）利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可.【详解】解：（1）=．（2）=-1+-+-+…+-+-=-1+=-1+10=9【点睛】此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键.25、（1）见解析；（2）见解析；（3）∠ABD=∠BDE=90°，成立.【解析】（1）由题意可证明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；

（2）由题意可证明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以证明△ABC≌△EDC，则也可得到AB=ED．【详解】（1）在△ACB和△DCE中∵A