2023年四川省凉山州数学中考真题和答案

凉山州2023年初中毕业暨高中阶段学校招生考试

数学试卷

试卷满分150分考试时间120分钟

A卷（共100分）

第I卷选择题（共48分）

一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确

的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.

1.下列各数中，为有理数的是（）

A.状B.3.232232223…C.jD.72

2.如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，

则这个几何体的主视图是（）

B

mD千

3.若一组数据司,12，工3,…，血的方差为2，则数据芯+3,9+3,巧+3,…,乙+3的方差是（）

A.2B.5C.6D.11

4.下列计算正确的是（）

A.a2a4=a^B.a2-^-2a2=3a4C.（2a2bf=8aVD.（a-b）2=a2-b2

5.2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营.据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客144.6

万人次,将数据144.6万用科学记数法表示的是（）

A.1.446xl05B.1.446xl06C.0.1446xl07D.1.446xl07

6.点P（2,-3）关于原点对称点P，的坐标是（）

A.（2,3）B.（-2,-3）C.（-3,2）D.（-2,3）

7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同,

所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，/1=45。,/2=120。，则N3+N4=（）

C.105°D.90°

8.分式三二的值为0,则x的值是（）

x-1

A0B.-1C.1D.0或1

9.如图，在/和△0CE中，点七、〃在8c上，BE=CF/B=NC,添加下列条件仍无法证

明△回齐乡△OCE的是（）

A.ZAFB=/DECB.AB=DCC.ZA=ZDD.AF=DE

10.如图，在等腰J13C中，ZA=40%分别以点A、点B为圆心,大于为半径画弧，两弧分别交于

2

点、M和点、N,连接直线与4c交于点。，连接BO,则/O8C的度数是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

11.如图，在。。中，OA±BC,ZADB=30°,BC=26,则OC=()

li

C.26D.4

12.已知抛物线y=av2+"+c（awO）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

D.atn2+bm+a<0

（加为实数）

第H卷非选择题（共52分）

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13.计算（万一+-.

14.已知产一切），+1是完全平方式，则团的值是.

15.如图，u48C。的顶点O、A、。的坐标分别是（0,0）、（3,0）、（L2）.则顶点8的坐标是

5x+2>3（x-l）

16.不等式组｛]3的所有整数解的和是.

-x-l<7——x

122

17.如图，在RtZVIBC纸片中，Z4CB=90°,C£>是A8边上的中线，将“IC。沿CD折叠，当点A落

在点4处时，恰好C“_L4B,若BC=2,则C4'=.

（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点〃是否超速？并通过计算说明理由.（参

考数据：&之1.4,6起1.7）

22.如图，在YA8CD中，对角线AC与5。相交于点O，N66=NAC*,过点6作6E_LA5交AC于

点E.

(1)求证：ACJ.BD,

(2)若AB=10,AC=\6,求OE的长.

B卷（共50分）

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）

23.已知“2—2%—i=o,贝|」3/-10必一5%+2027的值等于.

24.如图，边长为2的等边U15C的两个顶点48分别在两条射线。A/、QN上滑动，若OM上ON,则

OC的最大值是.

五、解答题（共4小题，共40分）

25.凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区.经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业

博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县“，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况,

购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销.在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资

中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克.共需72元人民币.

（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？

（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙

多少千克？

26.阅读理解题：

阅读材料：

如图1,四边形A8CD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记NK4E为。、/FAD为。，若

1

tana=—,则tan/?=-.

2

证明：设BE=k,Vtana=l,AAB=2k,

2

易证zMEB^AEFC(AAS)

:・EC=2k,CF=k,

:.FD=k、AD=3k

若a+/7=45°时，当iana=5，则tan〃=-.

同理：若。+4=45°时,当tana=—,则tan£=—

32

根据上述材料，完成下列问题：

如图2,直线y=3x-9与反比例函数y=‘(x>0)的图象交于点A,与％轴交于点8.将直线AB绕点

x

A顺时针旋转45。后的直线与》轴交于点E，过点A作AM_Lx轴于点M,过点A作ANJLy轴于点

N,已知0A=5.

(2)直接写出tanN8AM、tanNM4E值；

(3)求直线AE的解析式.

27.如图，CD是。。的直径，弦AB_LCD,垂足为点尸，点尸是CO延长线上一点，DELAP,垂足

<1)求证：AE是OO的切线；

(2)若PA=4,PD=2,求。。的半径和OE的长.

28.如图，已知抛物线与4轴交于A(1,O)和8(-5,0)两点，与)，轴交于点C.直线y=-3x+3过抛物线

顶点P.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若直线工=6（-5＜加＜:0）与抛物线交于点后，与直线BC交于点尸.

①当EF取得最大值时，求团的值和瓦'的最大值；

②当eEFC是等腰三角形时，求点E的坐标.

凉山州2023年初中毕业暨高中阶段学校招生考试

数学试卷

试卷满分150分考试时间120分钟

A卷（共100分）

第I卷选择题（共48分）

一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确

的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.

1.下列各数中，为有理数的是（）

A.状B.3.232232223…C.jD.72

【答案】A

【解析】

【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得.

【详解】解：A、爬=2,是有理数，贝！此项符合题意；

B、3.232232223…是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；

C、色是无理数，则此项不符合题意；

3

D、也是无理数，则此项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键.

2.如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，

则这个几何体的主视图是（）

cm-

【答案】B

【解析】

【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答.

【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一列由1个小正方形

组成.

故选：B.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图，

要熟练掌握.

3.若一组数据弓,戈2，/，…，Z的方差为2，则数据％+3,々+3,工3+3,，,/+3的方差是（）

A.2B.5C.6D.11

【答案】A

【解析】

【分析】根据方差的定义进行求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加3,所以波动不

会变，方差不变.

【详解】解：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这人数，设原平均数为了，现在

的平均数为元+3,

原来的方差s；=L［（%—元）2+（々一为2+…+（X„-X）2］=2,

现在的方差S；=：［（%+3—亍一3）2+（天+3—元一3）2+...+（/+3—元一3）1，

=7［（玉一元）？+（/—彳）2++（X„,

=2•

故选：A.

【点睛】本题考查了方差的定义.当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方

差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个

数，方差变为这个数的平方倍.

4.下列计算正确的是（）

A./.^二笳B.4+2^=3/C.（2«2Z?）3=8a6Z?3D.（a-b）2=a2-b2

【答案】C

【解析】

【分析】利用同底数恭的乘法法则，合并同类项法则，鼎的乘方法则，积的卖方法则和完全平方公式分别

计算，即可得出正确答案.

【详解】解：A././=々6,故该选项错误，不合题意；

B.4+2储=3储，故该选项错误，不合题意；

C.(2/冲3=8。6炉，故该选项正确，符合题意；

D.伍一力2=/_2"+/，故该选项错误，不合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查同底数基的乘法、合并同类项、基的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识点，熟练掌

握各项运算法则是解题的关键.

5.2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营.据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客144.6

万人次.将数据144.6万用科学记数法表示的是()

A.1.446xl05B.1.446xlO6C.0.1446x10?D.1.446xlO7

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表现形式为ax10。的形式，其中1<|a|<10,〃为整数，确定〃的值时，要看把

原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，

〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：144.6万=1.446x1()6,

故选B.

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.

6.点P(2,—3)关于原点对称的点p的坐标是()

A.(2,3)B.(-2,-3)C.(-3,2)D.(-2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案.

【详解】解：点尸(2,—3)关于原点对称的点p，的坐标是(一2,3),

故选D.

【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都

互为相反数”.

7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同,

所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，/1=45。,/2=120。，则N3+N4=()

A.1650B.1550C.105°D,90°

【AC

【解析】

【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.

【详解】解：如图所示，AB//CD,光线在空气中也平行，

=Z2+Z4=180°.

•・•Zl=45°,Z2=120°,

/.Z3=45°,Z4=180°-120°=60°.

Z3+Z4=45°+60°=105°.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.

2

8.分式三二四的值为0,则x的值是()

x-1

A.OB.-1C.1D.0或1

【答案】A

【解析】

【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可.

2

【详解】解：•・•分式匚二的值为0,

（X2-x=0

••,,

x-1^0

解得N=o,

故选A.

【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为。的条件是分子为0,分母不为。是解题的关

键.

9.如图，在ZXA3/和△OCE中，点£、尸在8c上，BE=CF,NB=NC,添加下列条件仍无法证

明△AB77且ZXDCE的是（）

A.ZAFB=/DECB.AB=DCC.ZA=ZDD.AF=DE

【答案】D

【解析】

【分析】根据=可得B/=CE,再根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解..

【详解】解：・・・3E=C/，

:.BF=CE,

VZB=ZC,

A、添加乙4F3=NOEC，可利用角边角证明△A3下乡△OCE,故本选项不符合题意；

B、添加A3=OC,可利用边角边证明△A3F丝/XOCE,故本选项不符合题意；

C、添加NA=N。，可利用角角边证明△AMgZXOCE,故本选项不符合题意；

D、添加A/=。£,无法证明AAB产丝△QCE,故本选项不符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

10.如图，在等腰中，ZA=40°,分别以点A、点B为圆心，大于,43为半径画弧，两弧分别交于

2

点M和点N,连接MV,直线MN与4c交于点连接则/OBC的度数是（）

A

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】B

【解析】

【分析】先根据等边对等角求出NA3C=70。，由作图方法可知，是线段A8的垂直平分线，则

AD=BD，可得NA3O=NA=40。，由此即可得到ND8C=NA5C—ZA3D=30。.

【详解】解：•・•在等腰〜48c中，ZA=40°,AB=AC，

.・.ZABC=ZACB=-―-A=70°,

2

由作图方法可知，MN是线段A3的垂直平分线，

:.AD=BD，

AZABD=ZA=40°,

:./DBC=ZABC-ZABD=30°,

故选B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等

等，灵活运用所学知识是解题的关键.

11.如图，在。0中，OA1BC,AADB=30°,8c=26，则OC=（）

A.1B.2C.2x/3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】连接OB,由圆周角定理得NA03=60。，由。4_L8C得，ZCOE=ZBOE=60°,

CE=BE=6在RhOC石中，由OC=1w，计算即可得到答案.

sin600

【详解】解：连接OB,如图所示，

Z4Q3=2ZAD3=2x30。=60。，

OALBC,

...NCOE=NBOE=600，CE=BE=-BC=-x2y/3=y/3,

22

在RtaOC石中，ZCOE=60°,CE=B

,。八上邛=2

sin60°也，

T

故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题关键是熟练掌握圆周角定理，垂

径定理，添加适当的辅助线.

12.已知抛物线y=ax2+区+c（a00）的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是（）

A.abc<0B.4a-2b+c<0C.3。+c=0D.am2+bm+a<0

（机为实数）

【答案】C

【解析】

【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线片=1可得。>0,cvO,人=一2。<0,由此

即可判断A；根据对称性可得当工=-2时，y>0,当广一1时，y=Of由此即可判断B、C：根据抛物

线开口向上，对称轴为直线x=l,可得抛物线的最小值为一a+c,由此即可判断D.

【详解】解：•・•抛物线开口向上，与），轴交于负半轴，

。>0,cv0,

•・•抛物线对称轴为直线x=l,

2a

:.b=-2a<0,

：.abc>3故A中结论错误，不符合题意；

•・•当x=4时，y>0,抛物线对称轴为直线x=l,

二当工=一2时，y>0,

：.4a-2b+c>0,故B中结论错误，不符合题意；

•・•当/=3时，y=o,抛物线对称轴为直线1=1,

**•当X——1时，y=。，

:.。一b+c=0,

又,：b=-2a，

・・・3a+c=0,故C中结论正确，符合题意；

•・•抛物线对称轴为直线％=1,且抛物线开口向上，

工抛物线的最小值为a+b+c=a-2a+c=-a+c,

：•anf+bm+c之一a+c，

***anf+/?/??+a>0»故D中结论错误，不符合题意；

故选c.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相

关知识是解题的关键.

第II卷非选择题（共52分）

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13.计算（万一3.14）°+“逐一1『=.

【答案】V2

【解析】

【分析】根据零指数累、二次根式的性质进行计算即可.

【详解】（乃一3.14）°+J（加-1）2

=1+72-1

=V2-

故答案为：近.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一人不为零的数的零次辕都是I

是解题的关键.

14.已知y2一阳+1是完全平方式，则〃i的值是.

【答窠】±2

【解析】

【分析】根据（。土6）2=/±2皿+从，计算求解即可.

【详解】解：・・・丁—冲+i是完全平方式，

:.—m=±2,

解得m=±2,

故答案为：±2•

【点睛】本题考查了完全平方公式.解题的关键在于熟练掌握：（〃±力）2=/±2。力+/.

15.如图，oABC。的顶点O、A、。的坐标分别是（0,0）、（3,0）、（L2）.则顶点8的坐标是.

【答案】（4,2）

【解析】

【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点3的纵坐标与点C的纵坐标相等，且

BC=OA=3,即可得到结果.

【详解】解：•在〜WC。中，0（0,0）,4（3,0）,

BC=OA=3»

BC//AO,

•••点3的纵坐标与点C的纵坐标相等，

「4(4,2),

故答案为：(4,2).

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相

等且平行”的性质.

5x+2>3(x-l)

16.不等式组｛13的所有整数解的和是.

-x-l<7一一x

122

【答案】7

【解析】

【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可.

5五+2>34-1)①

【详解】解：17

—X—147----

122

由①得：5x——3—2♦

•**2x>—5>

解得：x>——；

2

由②得：工一2W14—3x>

整理得：4x<16,

解得：x<4,

・•・不等式组的解集为：-2<XV4,

2

・••不等式组的整数解为：一2，-1，0,1,2,3,4；

・・・-2+(-1)+0+1+2+3+4=7,

故答案为：7

【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题

的关键.

17.如图，在纸片中，ZACB=90°,。。是A8边上的中线，将“18沿CO折叠，当点A落

在点4处时，恰好C4'_LA8,若BC=2,则C4'=.

【答案】

【解析】

【分析】由Rt4ABC,NACB=90。，CD是4B边上的中线，可知CD=AD,则NACD=NA,由翻

折的性质可知，ZACD=»AfC=AC,则NACO=NA'CD=NA,如图，记AC与A8的交

点为E，ZCE4=90°,由NC£4+N4a)+NA'a>+N4=180。，可得乙4二30。，根据

A'C=AC=-^—,计算求解即可.

tanNA

【详解】解：・・・RtAABC,ZACB=90°,CO是AB边上的中线，

:.CD=AD>

・..ZACD=ZA,

由翻折性质可知，ZACD=ZA'CD»ArC=AC,

・•・ZACD=ZACD=ZA,

如图，记4C与A8的交点为E，

,・・C4'_LAB，

・•・ZCE4=90°,

■:NCE4+ZACZ)+ZA'CZ)+ZA=180。,

AZ4=30°,

・•・A'C=AC=^^—=2y/3,

tanNA

故答案为：2JJ.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定

理，正切.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

/[\2O23

18.先化简，再求值：（2x4-y）2-（2x+y）（2x-y）-2y（x+y）,其中x=-,y=22022.

（2/

【答案】2xyt1

【解析】

【分析】根据（。±力『=/±2就+从，（a+b）（〃-》）=/_/,单项式乘以多项式法则进行展开，再加

减运算，代值计算即可.

【详解】解：原式=4丁+4孙+丁一（4/一丁）一2个一2y2

=4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2

=2xy.

/1\2023

当％=1,y=22°22时，

/1\2023

原式=2x-X22022

=1.

【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法

则是解题的关键.

x2

19.解方程：——=——.

*十1-1

【答案】4=2

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到工的值，经检验即可得到分式方程的

解.

x2

【详解】解：--=^-

x+1x-I

方程两边同乘（》+1）（工一1）,

得x（'T）=2，

整理得，x2-x-2=0»

:.(x+l)(x-2)=0,

解得：％=

T,x2=2,

检验：当兄=一1时，(x+l)(x—l)=O,x=-l是增根，

当x=2时，(x+l)(x—1)=3.0,

「•原方程的解为x=2.

【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键.

20.2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、

会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区(以下分别用A、8、C、。表示)游客人数进行了抽样调查，

并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图.

请根据以上信息回答：

(1)本次参加抽样调查的游客有多少人？

(2)将两幅不完整的统计图补充完整；

(3)若某游客随机选择A、B、C、。四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰

好选择A的概率.

【答案】(1)600人

(2)见解析(3)-

4

【解析】

【分析】(1)用选择B景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数；

(2)先求出选则C景区的人数和选择A景区的人数占比，再求出选择C景区的人数占比，最后补全统计图

即可；

(3)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到他第一个景区恰好选择A的结果数，最后依据概

率计算公式求解即可.

【小问1详解】

解：60・10%=600人，

:,本次参加抽样调查的游客有600人；

【小问2详解】

解：由题意得，选择C景区的人数为600—180—60—240=120人，选择A景区的人数占比为

—X100%=30%,

600

，选择C景区的人数占比为一xl00%=20%

600

开始

第一个

第二个

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他第一个景区恰好选择A的结果数有3种,

31

・••他第一个景区恰好选择A的概率为—

124

【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统

计图和画出树状图是解题的关键.

21.超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示

意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、厂在同一直线上.点C、点E到A8的距离分

别为C。、EF,且CO=E/=7m,CE=895m,在C处测得A点的俯角为30。，在E处测得8点的俯角

为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s.

（1）求A8两点之间的距离（结果精确到1m）；

（2）若该隧道限速80千米〃J、时，判断小型汽车从点A行驶到点8是否超速？并通过计算说明理由.（参

考数据：V2«lAx/3«1.7）

【答案】（1）900m

（2）小型汽车从点A行驶到点8没有超速.

【解析】

【分析】（1）证明四边形力CE尸为矩形，可得CE=。/=895m,结合NC4Z>=30。，Z£BF=45°,

CD=EF=7m,可得AO=——=7>/3,BF=EF=7,再利用线段的和差关系可得答案;

tan30°

（2）先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可.

【小问1详解】

解：•・•点C、点£到45的距离分别为CD、EF,

.\CD±AB,EF工AB，而C£:〃A8,

・•・NDCE=90。,

・•・四边形OCE尸为矩形，

：.CE=DF=895m,

由题意可得：ZCAD=30°,ZEBF=45°,CD=EF=7m,

:.AD=------=1\/3»BF=EF=7，

tan30°

:.=AF-BF=AD+DF-BF=773+895-7=900（m）

【小问2详解】

•・•小型汽车从点A行驶到点4所用时间为45s.

.・.汽车速度为---=20（m/s）,

45

•・•该隧道限速80千米/小时，

80x1000

80kmzh=22(m/s),

3600

V20<22,

，小型汽车从点A行驶到点B没有超速.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函数解题是关键.

22.如图，在Y45CD中，对角线AC与8。相交于点O,ACAB=ZACB,过点8作鹿_L43交AC于

点E.

(1)求证：AC1BD；

(2)若AB=10,AC=16,求OE的长.

9

【答案】(1)见详解(2)-

2

【解析】

【分析】(1)可证AB=C8,从而可证四边形A8CO是菱形，即可得证;

(2)可求08=6,再证AEBOSCB4O,可得空=殷，即可求解.

BOA0

【小问1详解】

证明：・.NC43=NAC3,

:.AB=CB,

四边形48co是平行四边形，

二•四边形ABC。是菱形，

:.AC1BD.

【小问2详解】

解：四边形A8CD是平行四边形，

:.OA=-AC=S

2f

BE1,AB，

/.ZAOB=/BOE=ZABE=90°,

OB7AB2-OB?

=V102—82=6,

・：/EBO+ZBEO=9Q。,

ZAB。+NEBO=90。，

.\ZBEO=ZABOf

一BAO,

.EOBO

一茄一茄’

•_E_O___6_

68

9

解得：。七二一.

2

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握

相关的判定方法及性质是解题的关键.

B卷（共50分）

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）

23.已知“2一2"一1=0，则3/-1Of-5%+2027的值等于.

【答案】2023

【解析】

【分析】把――2x—1=0化为：/=2工+1代入降次，再把d—2x=l代入求值即可.

【详解】解：由*2一2*-1=0得：x2=2x4-1»x2-2x=\»

3X3-10X2+5X+2027

=3x（2x+1）-10/+5x+2027

=6/+3x-10x2+5x+2027

=-4/+8才+2027

=-4（/_2x）+2027

=Tx1+2027

=2023,

故答案为：2023.

【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键.

24.如图，边长为2的等边/由。的两个顶点48分别在两条射线OM、QN上滑动，若OMLON,则

OC的最大值是.

B

M

【答案】l+6##6+l

【解析】

【分析】如图所示，取43的中点D,连接CD,先根据等边三角形的性质和勾股定理求出CD=6

再根据直角三角形的性质得到=再由OCVOD+CD可得当O、C、。三点共线时，0。

2

有最大值，最大值为1+6.

【详解】解：如图所示，取48的中点D,连接ODCD,

•・•）记。是边长为2的等边三角形，

:・CD工AB,BC=AB=2,

；・BD=AD=\，

：•CD=JBC?-Blf=G，

,：OMION,即NAO3=90。，

・•・OD=-AB=l,

2

•:OC<OD+CD,

・•・当。、C\。三点共线时，0c有最大值，最大值为1+6，

故答案为：1+J§.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角

形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当O、C、。三点共线时，0。有最大值是解题的关

键.

五、解答题（共4小题，共40分）

25.凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区.经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业

博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况,

购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销.在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资

中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克,共需72元人民币.

（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？

（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙

多少千克？

【答案】（1）雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元.

（2）最多能购买雷波脐橙40千克.

【解析】

【分析】（1）设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为X兀，y兀，购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共

需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币，再建立方程组即可；

（2）设最多能购买雷波脐橙加千克，根据顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，再建立不等

式即可.

【小问1详解】

解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为x元，y元，则

‘31+2），=78①

[2x+3y=72②’

@+（5W；5x+5y=150,则x+y=30③

把③代入①得：x=18,

把③代人②得：y=12,

x=18

・••方程组的解为：\―一，

>=12

答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元.

【小问2详解】

设最多能购买雷波脐橙加千克，则

18/n-i-12（100-/n）<1440,

：•6m<240,

解得：/n<40,

答：最多能购买雷波脐橙40千克.

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键.

26.阅读理解题：

阅读材料：

如图1,四边形ABC。是矩形，ZXAM是等腰直角三角形，记N84后为。、4FAD为。,若

tana=—,贝!)tan/?=一.

易证AAEB^AEFC(AAS)

・•・EC=2k,CF=k,

・•・FD=k,AD=3k

DFk1

tanp=

~AD~3k~3

若a+0=45°时，当tana=g,则tan〃=；.

同理：若a+£=45°时，当tana=—,则tan夕=5.

根据上述材料，完成下列问题：

如图2,直线y=3x-9与反比例函数y=—(x>0)的图象交于点A,与“轴交于点B.将直线绕点

x

A顺时针旋转45。后的直线与)'轴交于点E，过点A作轴于点M,过点A作AN_Ly轴于点

N,已知04=5.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）直接写出tanNB4M、tanNN4E的值;

（3）求直线AE的解析式.

【答案】（1）y=—（x>0）

x

（2）tanZ.BAM=—,tanZNAE=—

32

（3）y=-x+\

2

【解析】

【分析】（1）首先求出点8（3,0）,然后设A（a,3a-9）,在山△ACW中，利用勾股定理求出a=4,得

到A（4,3）,然后代入>='（%>0）求解即可；

⑵首先根据A（4,3）,3（3,0）得到MO=4,BO=3,求出"3=1，AM=3,然后利用正切值的

概念求出tanNR4M=g—=!，然后证明出四边形NOMA是矩形，得到N8AM+NM4£=45。，然

AM3

后由tanNBAM=-即可求出tan/NAE=-；

32

（3）首先根据矩形的性质得到AN=OM=4,NO=AM=3,然后利用tan/NAE=L求出

2

NE=2,进而得到E（0,l）,然后设直线AE的解析式为y=&+。，利用待定系数法将七（0』）和

A（4,3）代入求解即可.

【小问1详解】

将）=0代入丁=3%一9得，3二3,

・•・8（3,0）,

•.•直线y=3x-9与反比例函数y=2*>0）的图象交于点A,

x

工设A（a,3a-9）,

VAA/lx,OA=5,

・••在RtZ\AQM中，OM2+AM2=AO2

・•・/+(3a—9『=52,

,7

，解得

q=4,n2=—,

•・•点A的横坐标要大于点B的横坐标，

7

应舍去，

a2=1

••。=4,

・•・4(4,3),

・・・将4(4,3)代入丁二竺(%>0),解得切=12；

X

・••反比例函数的解析式为y=U(x>。)；

x

【小问2详解】

•・・A(4,3),3(3,0),

.•・MO=4,80=3,

MB=1,AM=3,

,:AM.Lx,

:.tanZ.BAM=-------=—，

AM3

AN±yf^NOM=90°.

・•・四边形NOMA是矩形，

AZ7^4M=9O°,

•・•将直线AB绕点A顺时针旋转45。后的直线与》轴交于点E，

・•・ZME=45°,

・•・ZMM+ZM4E=45°,

,/tan/BAM——,

3

/.tan/NAE=—；

2

【小问3详解】

•；四边形NOAM是矩形，

：，AN=OM=4,NO=AM=3,

•：AN±yftanZNAE=^,

NE1NE1

:.——=-,n即n——=-,

AN242

・•・解得NE=2,

：・OE=ON—NE=\,

・•・E（OJ）,

，设直线AE的解析式为y=取+b,

・••将E（0,l）和A（4,3）代入得，/以+八3

b=\

，解得《1，

x=—

・•・直线AE的解析式为y=1.

【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知

识，解题的关键是正确理解材料的内容.

27.如图，。。是的直径，弦A5_LCD,垂足为点尸，点2是8延长线上一点，DE_LAP，垂足

为点E，NEAD=乙FAD.

（1）求证：AE是。。的切线；

（2）若~4=4,电＞=2,求OO的半径和DE的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）OO半径为3,的长为与

【解析】

【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得NE4O+NOD4=90。，再根据等腰三角形的性质可得

ZOAD=ZODA,从而可得NQ4E=90。，然后根据圆的切线的判定即可得证；

（2）设。。的半径为「，则0A=QD=r，OP=r+2,在中，利用勾股定理求解即可得；根

据相似三角形的判定可得..PDEPOA,根据相似三角形的性质即可得.

【小问1详解】

证明：如图，连接OA,

弦AB工8,

ZFAD+ZODA=90°f

-ZEAD=ZFADf

.•.ZE4D+ZOm=90°,

,OA=OD，

：.^OAD=ZODA,

.•.NE4£)+NQ4D=90。，即NQ4E=9O。,

:.AE±OA»

又•二04是OO的半径，

.：AE是。0的切线.

【小问2详解】

解：幻图，连接。4,

设00的半径为〃，则。4=Q£）=r,

QP