山东省专升本（高等数学三）模拟试卷1（共168题）

山东省专升本（高等数学三）模拟试卷1（共8套）（共168题）山东省专升本（高等数学三）模拟试卷第1套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、一页书纸的总面积为512cm2，排印打字时上顶及下底要各留出2．7cm空白，两边各留出2．4cm空白。问：如何设计书纸的长与宽，使能用来排字的面积最大?标准答案：设书纸的长为xcm，则宽为，从而书纸用来排字的面积为，令y’=0，得x=24(x=-24舍去)．因为函数有唯一的驻点，且排字面积最大的书纸一定存在，因此，当书纸长为24厘米，宽为64/3时，书纸排字的面积最大．知识点解析：暂无解析2、求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点(0，－3)和(3，0)处的切线所围成的图形的面积．标准答案：∵y’=-2x+4，∴y’|x=0=4，y’|x=3=-2，故在(0，-3)和(3，0)处的切线分别为：y=4x-3,y=-2x+6，两切线的交点为(3/2，3)，∴面积A=∫03/2[(4x-3)-(-x2+4x-3)]dx+∫2/33[(-2x+6)-(-2x+6)-(-x2+4x-3)]dx=∫02/3x2dx+∫3/23(x-3)2dx=9/4．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、己知函数f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(1)＝0，证明在(0，1)内至少存在一点ζ使得.标准答案：令F(x)=f(x)sinx，则F(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，NF(0)=F(1)=0；由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，故f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0，即f’(ξ)=．知识点解析：暂无解析4、设f(x)是连续函数，证明：∫a2bf(x)dx＝∫a2bf(a＋2b－x)dx.标准答案：令a+2b-X=t，则dx=-dt，所以∫a2b(a+2b-x)dx=-∫2baf(t)dt=∫a2bf(t)dt=∫a2bf(x)dx知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、下列各组函数中，是相同函数的是________.A、f(x)＝lnx2和g(x)＝21nxB、f(x)＝x和g(x)＝C、f(x)＝1和g(x)＝D、f(x)＝和g(x)＝x＋3标准答案：B知识点解析：暂无解析6、函数f(x)在x＝x0可导且f’(x0)＝1，则＝________.A、4B、1C、2D、0标准答案：C知识点解析：暂无解析7、设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)，则f’(x)＝0有________个买根．A、3B、1C、0D、2标准答案：D知识点解析：暂无解析8、下列函数中，________不是sin2x的原函数．A、sinxcosxB、sin2xC、－cos2xD、标准答案：A知识点解析：暂无解析9、∫02＝________．A、πB、π/4C、－π/4D、π/2标准答案：A知识点解析：暂无解析四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、函数的定义域是________.标准答案：[－2，1]知识点解析：暂无解析11、设y＝lncos(ex)，则dy＝________．标准答案：－extan(ex)dx知识点解析：暂无解析12、函数y＝x2ex的单调减少的区间为________．标准答案：[－2，0]知识点解析：暂无解析13、设∫f(x)dx＝xe－2x＋c，则f(x)＝________．标准答案：(1－2x)e－2x知识点解析：暂无解析14、y＝∫x1(arctant)2(t＋1)dt，则＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析16、讨论f(x)＝在X＝1处的连续性．标准答案：因f(1)=2，，故函数在X=1处连续．知识点解析：暂无解析17、求由下列参数方程所确定的函数y＝y(x)的导数．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求函数f(x)＝的微分．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求函数y＝3x2－x3的单调区间与极值．标准答案：函数定义域为(-∞，+∞)，y’=3x(2-x)；令y’=0，得x1=0，x2=2；列表如下：所以，函数的单减区间为(-∞，0]∪[2，+∞)，单增区间为[0，2]；极小值为0，极大值为4。知识点解析：暂无解析20、求不定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学三）模拟试卷第2套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、某运输公司规定货物的吨公里运价为：在口公里以内，每公里七元，超过部分为每公里元．求运价y和里程x之间的函数关系．标准答案：根据题意，可列出函数关系如下：这里运价y和里程x的函数关系是用分段函数表示的，定义域为(0，+∞)．知识点解析：暂无解析2、某工厂在一个月生产玩具Q件时，总成本为C(Q)＝4Q＋100(万元)，售出后得到的总收入为R(Q)＝10Q－0．01Q2(万元)，问一个月生产多少件玩具时，该工厂所获利润最大?标准答案：由题设，知利润为L(Q)=R(Q)-C(Q)=10Q-0．01Q2-4Q-100=6Q-0．01Q2-100(0＜Q＜+∞)．显然最大利润一定在(0，+∞)内取得，求导得L’(Q)=6-0．02Q．令L’(Q)=0，得Q=300．又L’’(Q)=-0．02＜0，L’’(300)＜0．所以L(300)=800(万元)为L的一个极大值．从而工厂一个月生产300件玩具时，可获得最大利润800万元．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、证明：对任意实数x1，x2，恒有|sinx1－sinx2|≤|x1－x2|．标准答案：令f(x)=sinx，显然，在任何有限区间上，函数f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，于是有f(x1)-f(x2)=f’(ξ)(x1-x2)，ξ在x1，x2之间．即sinx1-sinx2=(x1-x2)cosξ，ξ在x1，x2之间．所以由|cosξ|≤1，得|sinx1-sinx2|=|x1-x2||cosξ|≤|x1-x2|．知识点解析：暂无解析4、证明方程3x＝∫0x＋1在(0，1)内有唯一实根．标准答案：令f(x)=，则f(x)在[0，1]连续．并且，f(0)=-1＜0，f(1)=＞0，由零点定理，方程f(x)=0在(0，1)至少有一个实根．又，x∈(0，1)时，f’(x)=＞0，从而，f(x)在[0，1]单调递增，因此，方程f(x)=0在(0，1)至多有一个实根．综上，方程f(x)=0，即3x=∫0x+1在(0，1)只有一个实根．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、设f(x)＝，则x＝1为f(x)的________．A、无穷间断点B、可去间断点C、跳跃间断点D、连续点标准答案：B知识点解析：暂无解析6、＝________．A、2B、1C、不存在D、0标准答案：C知识点解析：暂无解析7、函数f(x)＝|sinx|，在点x＝0处f(x)________．A、连续不可导B、间断C、可导D、连续且可导标准答案：A知识点解析：暂无解析8、设f(x)的原函数为1/x，则f’(x)等于________．A、ln|x|B、1/xC、－1/x2D、2/x3标准答案：D知识点解析：暂无解析9、定积分∫abf(x)dx________．A、与f(x)无关B、与区间[a，b]无关C、与∫abf(t)dt相等D、是变量x的函数标准答案：C知识点解析：暂无解析四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、＝________．标准答案：1知识点解析：暂无解析11、设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋100)，则f’(0)＝________．标准答案：1001知识点解析：暂无解析12、当a＝________时，函数f(x)＝asinx＋sin3x在x＝π/3取得极大值．标准答案：2知识点解析：暂无解析13、∫xf(x)dx＝arcsinx＋C，则＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析14、函数f(x)在区间[2，6]上连续且在该区间上的平均值是8，则∫26d(x)dx＝________．标准答案：32知识点解析：暂无解析五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求极限．标准答案：∵3n＜1＋2n＋3n＜＜3·3n．知识点解析：暂无解析17、设函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，求[f(1)f(2)…f(n)]．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求函数的微分．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求函数f(x)＝x1/3(1－x)2/3的极值．标准答案：函数的定义域为(-∞，+∞)；，令f’(x)=0得驻点x=1/3，不可导点x=0，x=1；故列表求极值如下：故x=1/3为极大值点，极大值为；x=1为极小值点，极小值为f(1)=0．知识点解析：暂无解析20、求不定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)＝，求∫02f(x)dx及φ(x)＝∫0xf(t)df．标准答案：∫02f(x)dx=∫01(x+1)dx+∫12当x≤1时，φ(x)=∫0x(t+1)df=x2+x；当x＞1时，φ(x)=-∫01f(t)df+∫1xf(t)df=∫01(t+1)dt+∫1xx2dt知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学三）模拟试卷第3套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求曲线y＝lnx(2≤x≤6)的一条切线，使得该切线与直线x＝2，x＝6及曲线，求斜边长为l的直角三角形的最大面积．标准答案：设所求切线的切点为(x0，lnx0)(x0＞0)，切线方程为：y-lnx0=1/x0(x-x0)，即，所围面积为+4lnx0+2ln2-6ln6，，当x0=4，S最小，∴所求切线：y=x/4+ln4-1．知识点解析：暂无解析2、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如下图所示)，截面的面积为5平方米，问底宽为多少时才能使截面周长最小，从而使建造时所用的材料最省?标准答案：设截面的底宽为x米，周长为l米，显然l=x+2y+πx/2，又截面面积为5，从而，从而，，令，l’=0，得到唯一驻点．根据题意，使得截面周长最小的底宽一定存在，因此，即为所求．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、设0＜a＜b，证明不等式成立．标准答案：令f(x)=lnx，则f(x)在区间[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理可得，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得，由于a2+b2≥2ab＞2aξ，所以．知识点解析：暂无解析4、设f(x)在[0，l2]上连续，证明F(x)＝∫0xtf(t2)dt在(－l，l)上是偶函数．标准答案：∵F(x)=∫0xtf(t2)df，∴F(-x)=∫0-xtf(t0)df∫0xuf(u2)du=∫0xtf(t2)dt=F(x)，故F(x)是偶函数．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、函数y＝的定义域为________．A、(－∞，－3)∪(－3，2)B、(0，3)C、[－3，0)∪(2，3]D、(－∞，＋∞)标准答案：C知识点解析：暂无解析6、设y＝lncosx，则dy＝________．A、secxdxB、－tanxdxC、tanxdxD、－tanX标准答案：B知识点解析：暂无解析7、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是________．A、y＝x2－5x＋6，[2，3]B、y＝xe－x，[0，1]C、D、标准答案：A知识点解析：暂无解析8、下列分部积分中，对u和v’选择合适的是________．A、∫x2cosxdx：u＝cosx，v’＝x2B、∫(x＋1)lnxdx：u＝x＋1，v’＝lnxC、∫xe－xdx：u＝x，v’＝e－xD、∫arcsinadx：u＝1，v’＝arcsinx标准答案：C知识点解析：暂无解析9、设f(x)在[a，b]上连续，φ(x)＝∫axf(t)dt，则________．A、φ(x)是f(x)在[a，b]上的一个原函数B、f(x)是φ(x)在[a，b]上的一个原函数C、φ(x)是f(x)在[a，b]上唯一的一个原函数D、f(x)是φ(x)在[a，b]上唯一的一个原函数标准答案：A知识点解析：暂无解析四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、＝________．标准答案：0知识点解析：暂无解析11、设，则f’(x)＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析12、函数f(x)＝－x3＋x2的单调递增区间为________．标准答案：[0，2/3]知识点解析：暂无解析13、f(x)＝e－x，则＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)是连续函数，且f(t)dt＝x，则f(26)＝________．标准答案：1/27知识点解析：暂无解析五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x)＝，求f(x)的间断点并指出类型．标准答案：，只有x=-1和x=1可能为间断点．所以x=-1不是间断点．所以x=1是间断点，而且是第一类跳跃间断点．知识点解析：暂无解析17、已知f(x)＝，求f’(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求函数的二阶导数．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求函数f(x)＝x3－2x2＋x－1在[0，2]上的极值，最大值及最小值．标准答案：f’(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1)，令f’(x)=0得驻点x1=1/3，x2=1；从而x=1/3为极大值点，极大值；x=1为极小值点；极小值f(1)=-1；又f(0)=-1，f(2)=1，故函数f(x)=x3-2x2+x-1在[0，2]上的最大值为f(2)=1，最小值为f(0)=f(1)=-1．知识点解析：暂无解析20、求不定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求定积分．标准答案：＝1－ln(1＋e)＋ln2．知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学三）模拟试卷第4套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、收音机每台售价为90元，成本为60元，厂商为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为75元．(1)将每台的实际售价p表示成订购量x的函数；(2)将厂方所获得的利润L表示成订购量x的函数；(3)某一厂商订购了1000台，厂方可获利润多少?标准答案：(3)L|x=1000=31×1000-0．01×10002=21000(元)．知识点解析：暂无解析2、求由曲线y＝1/x与直线y＝x，x＝2所围成的平面图形的面积．标准答案：显然，三条线的交点分别为(1,1)，(2，1/2]，(2，2)，∴面积A=∫12知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝2∫01/2sf(x)dx，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＋ξf’(ξ)＝0．标准答案：F(x)=xf(x)，则F(x)在[0，1/2]上连续，由积分中值定理知，至少存在一点η∈(0，1/2)，使∫01/2xf(x)dx=F(η)．∴F(1)=f(1)=2∫01/2xf(x)dx=F(η)，又∵F(x)在[η，1][0，1]上连续，在(η，1)内可导，由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(η，1)(0，1)，使得F’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析4、当0＜x＜π/2时，sinx＋tanx＞2x．标准答案：f(x)=sinx+tanx-2x，x∈(0，π/2]则f’(x)=cos+sec2-2＞cos2x+；从而f(x)在区间[0，π/2)上单调递增，即∈(0，π/2)，有f(x)＞f(0)=0．故sinx+tanx＞2x，x∈(0，π/2)．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、函数的反函数是________．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析6、下列函数中，在x＝0处可导的是________．A、y＝|x|B、y＝|sinx|C、y＝lnxD、y＝|cosx|标准答案：D知识点解析：暂无解析7、设a，b为方程f(x)＝0的两根，f(x)在[a，b]上连续，(a，b)内可导，则f’(x)＝0在(a，b)内________．A、只有一个实根B、至少有一个实根C、没有实根D、至少有两个实根标准答案：B知识点解析：暂无解析8、如果∫df(x)＝∫dg(x)，则下列各式不一定成立的是________．A、f(x)＝g(x)B、f’(x)＝g’(x)C、df(x)＝dg(x)D、d∫(x)dx＝d∫g’(x)dx标准答案：A知识点解析：暂无解析9、积分中值公式∫abf(x)dx＝f(ξ)(b－a)，其中________．A、ξ是[a，b]上的任一点B、ξ是[a，b]上必定存在的某一点C、ξ是[a，b]上唯一的某一点D、ξ是[a，b]的中点标准答案：B知识点解析：暂无解析四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、已知f(x)＝sinx，f[φ(x)]＝1－x2则φ(x)的定义域为________．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设y＝f(esinx)，其中f(x)可导，则dy＝________．标准答案：esinxcosxf’(esianx)dx知识点解析：暂无解析12、函数f(x)＝的单调减少的区间为________．标准答案：[1，2]知识点解析：暂无解析13、已知[lnf(x)]’＝cosx，且f(0)＝1，则f(x)＝________．标准答案：esinx知识点解析：暂无解析14、函数f(x)在[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上可积的________条件．标准答案：充分知识点解析：暂无解析五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析16、讨论f(x)＝的连续性，若有间断点，指出其类型．标准答案：f(x)为初等函数，故在其定义区间(-∞，0)，(0，1)，(1，+∞)内均连续，在其无定义点x=0，x=1间断．据，知x=0为第二类无穷间断点；据，知x=1为第一类跳跃间断点．知识点解析：暂无解析17、求曲线在t＝1处的切线方程和法线方程．标准答案：，故y’|t=1=7/10．当t=1时，x=2，y=2．故曲线在t=1处的切线方程为y-2=(x-2)，即7x-10y+6=0，法线方程为y-2=(x-2)，即10x+7y-34=0．知识点解析：暂无解析18、求函数的导数．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求函数y＝(x－1)x2/3的单调区间．标准答案：函数定义域为(-∞，+∞)，y’=，令y’=0得驻点x=2/5，x=0为不可导点；列表确定函数的单调区间如下：故函数y=(x-1)x2/3在区间(-∞，0]和[2/5，+∞)上单调递增，在区间[0,2/5]上单调递减．知识点解析：暂无解析20、求不定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求定积分∫－11．标准答案：知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学三）模拟试卷第5套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求曲线y3＋2y＋x－3x5＝0在x＝0处的切线方程．标准答案：当x=0时，y=0．对方程两边同时求导得3y2y’+2y’+1-15x4=0，y’=，y’|x=0=-1/2，故切线方程为：．知识点解析：暂无解析2、用输油管把离岸12公里的一座油田和沿岸往下20公里处的炼油厂连接起来(如图所示)．如果输油管的水下铺设成本为5万元／公里，陆地铺设成本为3万元／公里．如何组合水下和陆地的输油管可使铺设费用最省?标准答案：设在岸边距油田水平距离为x公里处铺设水下输油管，则水下输油管长公里，陆地输油管长20-x公里，铺设费用为y万元．则y=+3(20-x)(0≤x≤20)令y’=0，解得x=9y(0)=120，y(9)=108，y(20)=．即x=9时，函数取最小值，所以在距离炼油厂20-x=11公里处铺设输油管道费用最省．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，且F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt，证明：若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．标准答案：因为F(x)=x∫0xf(t)df-∫0x2tf(t)df，所以F’(x)=∫0xf(t)dt+xf(x)-2xf(x)=∫0xf(t)dt-∫0xf(x)dt=∫0xf(t)-f(x)]dt，由题设，讨论如下：(1)若x＞0时，0＜t＜x，f(t)≥f(x)即f(t)-f(x)≥0，则F’(x)≥0：(2)若x＜0时，x＜t＜0，f(x)≥f(t)即f(x)-f(f)≥0，则F’(x)=-∫x0[f(t)-f(x)]dt≥0：所以，总有F’(x)≥0，故F(x)单调不减．知识点解析：暂无解析4、证明恒等式arctanx＋arccotx＝π/2．标准答案：令f(x)=arctanx+arccotx，则f’(x)=，故f(x)=C，(-∞＜x＜+∞)．令x=0得C=π/2，所以arctanx+arccotx=π/2知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、当x→0时，x－sinx是x3的________无穷小．A、高阶B、等价C、同阶但不等价D、低阶标准答案：C知识点解析：暂无解析6、已知，f’(3)＝________．A、1B、-1C、0D、不存在标准答案：B知识点解析：暂无解析7、设f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则f’(x)＝0的实根情况为________．A、三个根分别位于区间(1，2)，(2，3)，(3，4)内B、一个根位于区间(1，4)内C、六个根分别位于区间(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)内D、两个根分别位于区间(1，3)，(2，4)内标准答案：A知识点解析：暂无解析8、下列函数中是同一函数的原函数的是________．A、B、arcsinx与－arccosxC、arctanx与arccotxD、cos2x与cosx标准答案：B知识点解析：暂无解析9、设f(x)在[a，b]上连续且∫abf(x)dx＝0，则________．A、在[a，b]的某个小区间上f(x)＝0B、[a，b]上的一切x均使f(x)＝0C、[a，b]内至少有一点x，使f(x)＝0D、[a，b]内不一定有x，使f(x)＝0标准答案：C知识点解析：暂无解析四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、设函数f(x)的定义域为[0，1]，则f(ex)的定义域为________．标准答案：(－∞，0]知识点解析：暂无解析11、设y＝f(lnx)，其中f’(x)存在，则d2y/dx2＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析12、函数y＝2x2－x＋1在[1，1]上满足拉格朗日中值定理的ξ＝________．标准答案：0知识点解析：暂无解析13、设∫f(x)dx＝ln(1＋x2)＋C，则f(x)＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析14、＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析16、判断函数的奇偶性，并求其反函数．标准答案：因为f(-x)=所以f(x)是奇函数．知识点解析：暂无解析17、设y＝f(sin2x)，其中f(x)二阶可导，求d2y/dx2．标准答案：dy/dx=f’(sin2x)·2sinx·cosx=sin2sf’(sin2x)，d2y/dx2=2cos2xf’(sin2x)+sin2xf’’(sin2x)·2sinxcosx=2cos2xf’(sin2x)+sin22xf’’(sin2x)．知识点解析：暂无解析18、求函数y＝(sinx)cosx的导数．标准答案：两边取对数得lny=cosxlnsinx，两边求导数，得=-sinxlnsinx+cotxcosx，从而y’=(sinx)cosx(-sinxlnsinx+cotxcosx)．知识点解析：暂无解析19、求函数y＝2x3－6x2－18x的单调区间与极值．标准答案：定义域为R，f’(x)=6x2-12x-18=6(x+1)(x-3)，得驻点x=-1，x=3，所以，函数的单增区间为(-∞，-1]∪[3，+∞)，单减区间为[-1，3]：极大值为10，极小值为-54。知识点解析：暂无解析20、求不定积分∫xcos2xsx．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求定积分∫－11．标准答案：知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学三）模拟试卷第6套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、由直线y＝0，x＝8及抛物线y＝x2围成一个曲边三角形，在曲边y＝x2上求一点，使曲线在该点处的切线方程与直线y＝0，x＝8所围成的三角形的面积最大．标准答案：设所求切点为P(x0，y0)，切线为：y-y0=2x0(x-x0)．该切线与X轴和直线x=8的交点分别为(x0，0)，(8，16x0-x02)．从而，所围成的三角形面积为：S=(16x0-x02)，(0＜x0＜8)令S’=0，解得x0=16/3或16(舍去)．根据题意，面积最大的三角形一定存在，而此时有唯一的驻点，因此，当切点为(16/3，256/9)时，切线与直线y=0，x=8所围成的三角形的面积最大．知识点解析：暂无解析2、设某厂生产z件产品的销售收入为R(x)＝(万元)，而成本函数为C(x)＝(万元)，求使总利润最大时的产量?标准答案：总利润为S(x)=R(x)-C(x)=，c＞0．令S’(x)=，得到唯一的驻点x=9．由题意可知，利润最大时的产量一定存在，所以x=9即为所求，即当产量为9时可获得最大利润．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、当0＜x＜时，＜sinx．标准答案：令f(x)=，x∈(0，π/2)则，即f(x)当x∈(0，π/2)时单调递减，从而f(x)＞f(π/2)=0，故sinx/x＜2/π；从而当0＜x＜π/2时，．知识点解析：暂无解析4、证明∫－aaf(x)dx＝∫0a[f(x)＋f(－x)]dx．标准答案：∫－aaf(x)dx＝∫－a0f(x)dx＋∫0af(x)dx，第一个定积分中令x＝－t，有∫－a0f(x)dx＝∫a0f(－t)d(－t)＝∫0af(－t)dt＝∫0af(－x)dx，结论得证．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、下列各组函数中，不是相同函数的是________．A、f(x)＝lnx3和g(x)＝31nxB、f(x)＝1和g(x)＝sin2x＋cos2xC、f(x)＝和g(x)＝xD、f(x)＝|1－x|＋1和g(x)＝标准答案：C知识点解析：暂无解析6、已f’(0)＝6，则＝________．A、3B、-2C、1D、2标准答案：B知识点解析：暂无解析7、函数f(x)＝x3＋2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理，则ξ＝________．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析8、设∫f(x)dx＝－cosx＋C，则f(x)＝________．A、－sinxB、coxxC、－cosxD、sinx标准答案：D知识点解析：暂无解析9、＝________．A、1B、eC、0D、e2标准答案：C知识点解析：暂无解析四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、函数＋lg(1＋x)的定义域为________．标准答案：(－1，3)知识点解析：暂无解析11、己知f’(x0)＝1/3，则＝________．标准答案：1知识点解析：暂无解析12、函数y＝2x3－9x2＋12x的单调减少的区间为________．标准答案：[1，2]知识点解析：暂无解析13、设＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析14、＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、求极限．标准答案：．知识点解析：暂无解析16、讨论函数f(x)＝在x＝0处的连续性，若间断则判断其类型．标准答案：f(01)＝＝e－1，所以f(x)在x＝0处不连续，且x＝0是第一类间断点中的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析17、设f(x)＝，求f’(x)．标准答案：故f’(0)＝1，由于f(x)在x＞0，X＜0时均可导，故f’(x)＝知识点解析：暂无解析18、求函数的导数．标准答案：y’＝知识点解析：暂无解析19、求函数y＝2x＋的单调区间．标准答案：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y’＝，令y’＝0得驻点x1＝2，x2＝－2．列表确定函数的单调区间如下：从而函数y＝2x＋在区间(－∞，－2]和[2，＋∞)上单调递增，在区间[－2，0)和(0，2]上单调递减．知识点解析：暂无解析20、求不定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析21、f(x)具有连续导数，f(0)＝0，φ(x)＝，求φ’(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学三）模拟试卷第7套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、某企业每月生产x件产品的总成本为C(x)＝x2＋60x＋400(万元)，求每月产量为多少件时平均成本最低?标准答案：根据题意，平均成本为f(x)=（x＞0)从而，f’(x)=．令f’(x)=0，得x=200或-200(舍去)．函数f(x)在(0，+∞)内仅有一个驻点x=200，所以每月产量为200件时平均成本最低．知识点解析：暂无解析2、求斜边长为l的直角三角形的最大面积．标准答案：设直角三角形的一条直角边长为x，则该三角形面积为：根据题意，斜边一定的前提下，面积最大的直角三角形一定存在，而函数在(0，l)内只有一个驻点，且在区间内部取得，所以当两条直角边长均为时面积最大，最大面积为l2/4．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、证明方程x3＋2x－＝0只有一个正实根．标准答案：令s(x)=x3+2x-1，则f(0)=-1，f(1)=2；由零点定理得，函数f(x)在(0，1)内至少有一个零点，故方程x3+2x-1=0至少有一正实根．下面证明唯一性．f’(x)=3x2+2，当x＞0时，f’(x)＞2，从而，f(x)在[0，1]上单调递增，即方程f(x)=0在区间(0，1)内只有一正实根．知识点解析：暂无解析4、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≤0，F(x)＝∫axf(t)dt，证明：在(a，b)内有F’(x)≤0．标准答案：F’(x)＝[(x－a)f(x)－∫axf(t)dt]＝．其中ξ∈[a，x][a，b]，η∈(a，ξ)(a，b)，由条件可知结论成立．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、x＝0是f(x)＝的________．A、振荡间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、可去间断点标准答案：D知识点解析：暂无解析6、设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f’(0)＝________．A、(n－1)!B、nC、n!D、0标准答案：C知识点解析：暂无解析7、设f(x)在x0处连续，在x0的某去心邻域内可导，且x≠x0时，(x－x0)f’(x)＞0，则f(x0)是________．A、极小值B、极大值C、x0为f(x)的驻点D、x0不是f(x)的极值点标准答案：A知识点解析：暂无解析8、设f(x)的一个原函数是，则∫xf’(x)dx＝________．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析9、下列不等式成立的是________．A、∫12x2dx＞∫12x3dxB、∫12lnxdx＜∫12(lnx)2dxC、∫01x2dx＞∫01x3dxD、∫01exdx＜∫01(1＋x)dx标准答案：C知识点解析：暂无解析四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、设函数f(x＋1)＝x2＋x，则f(x－1)＝________．标准答案：x2－3x＋2知识点解析：暂无解析11、设，则f’(0)＝________．标准答案：1知识点解析：暂无解析12、函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－3的驻点为________．标准答案：x1＝1，x2＝2知识点解析：暂无解析13、设∫f(x)dx＝sinx＋C，则∫xf(1－x2)dx＝________．标准答案：sin(1－x2)＋C知识点解析：暂无解析14、xsin(t2)dt＝________．标准答案：sint2dt＋3x3sinx6知识点解析：暂无解析五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，且f(x)＝a，g(x)＝．试讨论g(x)在x＝0处的连续性．标准答案：，g(0)＝0，所以当a＝0时，g(x)在x＝0处连续，当a≠0时，g(x)在x＝0处间断．知识点解析：暂无解析17、设在x＝1可导，试求a与b．标准答案：由于f(x)在x=1处连续，故f(x)=a+b，从而a+b=e，由于f(x)在x=1处可导，故a=e，b=0．知识点解析：暂无解析18、求y＝xsinx的导数dy/dx．标准答案：y＝esinxlnx，知识点解析：暂无解析19、求函数y＝2x/lnx的单调区间与极值．标准答案：定义域为(0，1)∪(1，+∞)；，令y’=0得驻点x=e，列表得：故c=e为极小值点，极小值为f(e)=2e；在区间(0，1)，(1，e)上函数单调减小，在区间(e，+∞)上函数单调增加．知识点解析：暂无解析20、求不定积分．标准答案：=∫lncosxdtanx=tanxlncosx+∫tan2xdx=tanxlncosx+∫(sec2x-1)dx=tanxlncosx+tanx-x+C．知识点解析：暂无解析21、求定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析山东省专升本（高等数学三）模拟试卷第8套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求由曲线y＝ex，y＝e－x与直线x＝1所围成图形的面积．标准答案：S＝∫01(ex－ex)dx＝e＋－2．知识点解析：暂无解析2、一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为4000元时，公寓会全部租出去；当月租金每增加200元时，就会多一套公寓租不出去；而租出去的公寓平均每月需花费400元的维修费．试问房